שיקופים וזוגיות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

לפני כל כלל — תמונה. הגרף של y=xy=\sqrt{x} יוצא מהראשית ועולה ימינה. יש שלוש דרכים «להפוך» אותו: להפוך למטה, להפוך לצד השני, או לעשות את שני הדברים יחד. כל אחת מהן נכתבת בעזרת מינוס אחד — והמקום של המינוס הוא כל ההבדל.

ארבעת הגרפים של שורש x
-5-4-3-2-1012345-3-2-1123xy
  • y = √x
  • y = −√x
  • y = √(−x)
  • y = −√(−x)
עקבו אחרי הנקודה (4,2)(4,2): ב-−f(x)-f(x) היא עוברת ל-(4,−2)(4,-2), ב-f(−x)f(-x) ל-(−4,2)(-4,2), וב-−f(−x)-f(-x) ל-(−4,−2)(-4,-2).

שיקוף בציר ה-xx: y=−f(x)y=-f(x)

המינוס נמצא מחוץ לפונקציה, ולכן הוא פוגע בתוצאה: כל נקודה (a, b)(a,\,b) עוברת ל-(a, −b)(a,\,-b). מה שהיה מעל ציר ה-xx יורד מתחתיו. נקודות האפס לא זזות, תחום ההגדרה לא משתנה, ונקודת מקסימום הופכת לנקודת מינימום.

לפונקציה ff יש נקודת מקסימום (2, 5)(2,\,5). מה ידוע על הגרף של y=−f(x)y=-f(x) ב-x=2x=2?

להציג את התשובה והפתרון

יש לו נקודת מינימום (2, −5)(2,\,-5). השיקוף הופך את הגובה: הנקודה שהייתה הגבוהה ביותר בסביבתה הופכת לנמוכה ביותר.

שיקוף בציר ה-yy: y=f(−x)y=f(-x)

עכשיו המינוס נמצא בתוך הפונקציה, צמוד ל-xx. הגובה לא משתנה, אבל הצד מתחלף: (a, b)(a,\,b) עוברת ל-(−a, b)(-a,\,b). לכן גם תחום ההגדרה משתקף: x\sqrt{x} מוגדרת עבור x≥0x\ge 0, ו-−x\sqrt{-x} מוגדרת עבור x≤0x\le 0. נקודת החיתוך עם ציר ה-yy לא זזה — היא יושבת על ציר השיקוף.

מאיזו נקודה יוצא הגרף של y=4−xy=\sqrt{4-x}, ולאיזה כיוון הוא הולך?

להציג את התשובה והפתרון

מ-(4, 0)(4,\,0), שמאלה. התנאי 4−x≥04-x\ge 0 נותן x≤4x\le 4. אפשר לראות זאת גם כטרנספורמציות: 4−x=−(x−4)\sqrt{4-x}=\sqrt{-(x-4)} — שיקוף בציר ה-yy, ואחריו הזזה ימינה ב-4.

−f(x)-f(x)

(a,b)→(a,−b)(a,b)\rightarrow(a,-b) — שיקוף בציר ה-xx

f(−x)f(-x)

(a,b)→(−a,b)(a,b)\rightarrow(-a,b) — שיקוף בציר ה-yy

−f(−x)-f(-x)

(a,b)→(−a,−b)(a,b)\rightarrow(-a,-b) — שיקוף ביחס לראשית

כשהשיקוף לא משנה דבר — זוגיות

יש פונקציות שהשיקוף בציר ה-yy מחזיר בדיוק לאותו גרף: f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) לכל xx. אלה הפונקציות הזוגיות. ויש פונקציות ששיקוף ביחס לראשית מחזיר אותן לעצמן: −f(−x)=f(x)-f(-x)=f(x), כלומר f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). אלה האי-זוגיות. הזוגיות היא לא נושא חדש — היא בדיוק השאלה «האם השיקוף הזיז משהו?».

שני שיקופים של אותה פרבולה

נתונה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x. מצאו את f(−x)f(-x) ואת −f(x)-f(x), ואת הקדקוד של כל אחת.

f(x)=(x−2)2−4f(x)=(x-2)^2-4

קדקוד ff: (2, −4)(2,\,-4)

f(−x)=(−x)2−4(−x)=x2+4x\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^2-4(-x) \\ &= x^2+4x\end{aligned}

מציבים −x-x בסוגריים במקום כל xx

x2+4x=(x+2)2−4x^2+4x=(x+2)^2-4

קדקוד (−2, −4)(-2,\,-4) — עבר לצד השני, אותו גובה

−f(x)=−x2+4x=−(x−2)2+4\begin{aligned}-f(x) &= -x^2+4x \\ &= -(x-2)^2+4\end{aligned}

קדקוד (2, 4)(2,\,4) — אותו xx, והפרבולה נהפכה: עכשיו זו נקודת מקסימום

שתי הטעויות של השיקוף.

f(x)=x2−4x⇒f(−x)=−x2−4x\begin{aligned}f(x) &= x^2-4x \Rightarrow f(-x) \\ &= -x^2-4x\end{aligned}
f(−x)=(−x)2−4(−x)=x2+4x\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^2-4(-x) \\ &= x^2+4x\end{aligned}

מציבים −x-x עם סוגריים בכל מקום שבו מופיע xx. (−x)2(-x)^2 הוא x2x^2, לא −x2-x^2.

f(−x)=−f(x)  לכל ff(-x)=-f(x)\ \ \text{לכל}\ f
x2−4x:  f(−x)≠−f(x)x^2-4x:\ \ f(-x)\neq -f(x)

השוויון הזה מתקיים רק בפונקציה אי-זוגית. באופן כללי אלה שני גרפים שונים.

האם ייתכן שהגרף של y=−f(x)y=-f(x) זהה לגרף של y=f(x)y=f(x)?

להציג את התשובה והפתרון

כן, אבל רק כאשר f(x)=−f(x)f(x)=-f(x) לכל xx, כלומר f(x)=0f(x)=0. הפונקציה היחידה ששיקוף בציר ה-xx לא משנה אותה היא פונקציית האפס.

תרגילים

תרגיל 1

הנקודה (3, −2)(3,\,-2) נמצאת על הגרף של y=f(x)y=f(x). איזו נקודה נמצאת בוודאות על הגרף של y=f(−x)y=f(-x)?

  1. (−3, 2)(-3,\,2)
  2. (−3, −2)(-3,\,-2)
  3. (3, 2)(3,\,2)
  4. (−2, 3)(-2,\,3)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (−3, −2)(-3,\,-2)

הפתרון:

f(−x) ב- x=−3: f(3)=−2\begin{aligned}f(-x)\ \text{ב-}\ x &= -3:\ f(3) \\ &= -2\end{aligned}

מציבים x=−3x=-3 ומקבלים את הערך שבנקודה הנתונה

(3,−2)→(−3,−2)(3,-2)\rightarrow(-3,-2)

שיקוף בציר ה-yy: ה-xx מחליף סימן, הגובה נשאר

המלכודת: להפוך את הגובה. הנקודה (3, 2)(3,\,2) שייכת ל-−f(x)-f(x), והנקודה (−3, 2)(-3,\,2) ל-−f(−x)-f(-x). התשובה: (−3, −2)(-3,\,-2).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x3−2x2+5f(x)=x^3-2x^2+5. מהי f(−x)f(-x)?

  1. −x3+2x2+5-x^3+2x^2+5
  2. −x3−2x2+5-x^3-2x^2+5
  3. x3+2x2+5x^3+2x^2+5
  4. −x3+2x2−5-x^3+2x^2-5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −x3−2x2+5-x^3-2x^2+5

הפתרון:

f(−x)=(−x)3−2(−x)2+5f(-x)=(-x)^3-2(-x)^2+5

מציבים −x-x בסוגריים

(−x)3=−x3(−x)2=x2\begin{aligned}(-x)^3 &= -x^3 \\ \quad (-x)^2 &= x^2\end{aligned}

חזקה אי-זוגית מחליפה סימן, זוגית לא

f(−x)=−x3−2x2+5f(-x)=-x^3-2x^2+5

התוצאה

המלכודת: להפוך את כל הסימנים. −x3+2x2−5-x^3+2x^2-5 היא −f(x)-f(x), לא f(−x)f(-x). התשובה: −x3−2x2+5-x^3-2x^2+5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הפונקציה y=6−xy=\sqrt{6-x} מוגדרת עבור x≤cx\le c. מהו cc?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

6−x≥06-x\ge 0

תנאי הקיום של השורש

x≤6x\le 6

מעבירים אגף

6−x=−(x−6)\sqrt{6-x}=\sqrt{-(x-6)}

שיקוף בציר ה-yy והזזה ימינה ב-6: הגרף יוצא מ-(6,0)(6,0) שמאלה

המלכודת: לכתוב x≥6x\ge 6. בגלל המינוס ליד ה-xx, השורש מוגדר משמאל ל-6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציה ff יש נקודת מקסימום (−1, 4)(-1,\,4). מה ידוע על הגרף של y=−f(x)y=-f(x)?

  1. יש לו נקודת מינימום (−1, −4)(-1,\,-4)
  2. יש לו נקודת מינימום (1, 4)(1,\,4)
  3. יש לו נקודת מקסימום (1, −4)(1,\,-4)
  4. יש לו נקודת מקסימום (−1, −4)(-1,\,-4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א יש לו נקודת מינימום (−1, −4)(-1,\,-4)

הפתרון:

(−1,4)→(−1,−4)(-1,4)\rightarrow(-1,-4)

שיקוף בציר ה-xx: הגובה מחליף סימן

f(x)≤4⇒−f(x)≥−4f(x)\le 4 \Rightarrow -f(x)\ge -4

בסביבת x=−1x=-1 — ולכן זו נקודת מינימום

המלכודת: לשכוח שהשיקוף הופך את סוג הקיצון. התשובה: נקודת מינימום (−1, −4)(-1,\,-4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לכל פונקציה ff, הגרפים של y=−f(x)y=-f(x) ושל y=f(−x)y=f(-x) שונים זה מזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x3f(x)=x^3

דוגמה נגדית

−f(x)=−x3f(−x)=(−x)3=−x3\begin{aligned}-f(x) &= -x^3 \\ \quad f(-x) &= (-x)^3 \\ &= -x^3\end{aligned}

שני הביטויים שווים

הטענה אינה נכונה. בכל פונקציה אי-זוגית שני השיקופים נותנים אותו גרף. מספיקה דוגמה נגדית אחת כדי להפריך «לכל».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הנקודה (2, 5)(2,\,5) נמצאת על הגרף של y=f(x)y=f(x). התאימו לכל פונקציה נקודה על הגרף שלה.

  • y=−f(x)y=-f(x)
  • y=f(−x)y=f(-x)
  • y=−f(−x)y=-f(-x)
  • y=−f(x)+5y=-f(x)+5
  • (−2, −5)(-2,\,-5)
  • (−2, 5)(-2,\,5)
  • (2, −5)(2,\,-5)
  • (2, 0)(2,\,0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=−f(x)y=-f(x) — (2, −5)(2,\,-5) · y=f(−x)y=f(-x) — (−2, 5)(-2,\,5) · y=−f(−x)y=-f(-x) — (−2, −5)(-2,\,-5) · y=−f(x)+5y=-f(x)+5 — (2, 0)(2,\,0)

הפתרון:

−f(2)=−5-f(2)=-5

שיקוף בציר ה-xx

f(−(−2))=f(2)=5\begin{aligned}f(-(-2)) &= f(2) \\ &= 5\end{aligned}

שיקוף בציר ה-yy

−f(−(−2))=−5-f(-(-2))=-5

שני השיקופים

−5+5=0-5+5=0

שיקוף ואחריו הזזה למעלה ב-5

המלכודת: לשכוח שב-−f(x)+5-f(x)+5 קודם משקפים ורק אחר כך מזיזים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5, ונגדיר g(x)=f(−x)g(x)=f(-x). מהו שיעור ה-xx של קדקוד הפרבולה gg?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f(x)=(x−3)2−4f(x)=(x-3)^2-4

קדקוד ff: (3, −4)(3,\,-4)

g(x)=x2+6x+5=(x+3)2−4\begin{aligned}g(x) &= x^2+6x+5 \\ &= (x+3)^2-4\end{aligned}

או ישירות: הצבת −x-x

(3,−4)→(−3,−4)(3,-4)\rightarrow(-3,-4)

שיקוף בציר ה-yy

המלכודת: לשקף גם את הגובה ולקבל (−3, 4)(-3,\,4). שיקוף בציר ה-yy משנה רק את xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו: האם שיקוף בציר ה-yy משנה את הגרף?

  • לא משנה
  • משנה
  • y=1x2y=\frac{1}{x^2}
  • y=xy=\sqrt{x}
  • y=∣x∣+1y=|x|+1
  • y=x3y=x^3
  • y=x4−x2y=x^4-x^2
  • y=x+1y=x+1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=x4−x2y=x^4-x^2 — לא משנה · y=∣x∣+1y=|x|+1 — לא משנה · y=1x2y=\frac{1}{x^2} — לא משנה · y=x3y=x^3 — משנה · y=x+1y=x+1 — משנה · y=xy=\sqrt{x} — משנה

הפתרון:

(−x)4−(−x)2=x4−x2(-x)^4-(-x)^2=x^4-x^2

זוגית

∣−x∣+1=∣x∣+1|-x|+1=|x|+1

זוגית

1(−x)2=1x2\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}

זוגית

(−x)3=−x3(-x)^3=-x^3

משתנה

−x+1≠x+1-x+1\neq x+1

משתנה

−x: x≤0\sqrt{-x}:\ x\le 0

אפילו תחום ההגדרה עובר צד

המלכודת: x\sqrt{x}. היא לא «מתהפכת», אבל השיקוף מעביר אותה כולה לצד השמאלי — ולכן הגרף משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x+9f(x)=\sqrt{x+9}. השלימו על הגרף של y=f(−x)y=f(-x).

y=f(−x)y=f(-x) מוגדרת עבור x≤x \le ____, והגרף שלה חותך את ציר ה-yy בנקודה שבה y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=f(−x)y=f(-x) מוגדרת עבור x≤x \le 9, והגרף שלה חותך את ציר ה-yy בנקודה שבה y=y= 3

הפתרון:

f(−x)=9−xf(-x)=\sqrt{9-x}

הצבת −x-x

9−x≥0⇒x≤99-x\ge 0 \Rightarrow x\le 9

תחום ההגדרה

f(−0)=9=3\begin{aligned}f(-0) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-yy לא זז

המלכודת: לכתוב x≤−9x\le -9. ff מוגדרת עבור x≥−9x\ge -9, והשיקוף הופך את התחום ל-x≤9x\le 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה פונקציה ff ונקודה (a, b)(a,\,b) על הגרף שלה. נגדיר g(x)=−f(−x)g(x)=-f(-x). הוכיחו שהנקודה (−a, −b)(-a,\,-b) נמצאת על הגרף של gg.

  • (a, b)(a,\,b) נמצאת על הגרף של ff, כלומר f(a)=bf(a)=b
  • g(x)=−f(−x)g(x)=-f(-x)

g(−a)=−bg(-a)=-b

להציג את התשובה והפתרון
  1. f(a)=bf(a)=b — נתון — הנקודה על הגרף של ff
  2. g(−a)=−f(−(−a))g(-a)=-f\left(-(-a)\right) — הצבת x=−ax=-a בהגדרת gg
  3. −(−a)=a-(-a)=a — מינוס כפול מינוס
  4. g(−a)=−f(a)g(-a)=-f(a) — הצבת הפישוט
  5. g(−a)=−bg(-a)=-b — הצבת הנתון

הפתרון:

g(−a)=−f(a)=−b\begin{aligned}g(-a) &= -f(a) \\ &= -b\end{aligned}

הצבה ישירה

המלכודת: להציב x=ax=a. כדי שבתוך ff יתקבל aa, מציבים x=−ax=-a — ולכן הנקודה עוברת לצד השני וגם מתהפכת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת