תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: ערכים וסימנים על מעגל היחידה, זהויות וסימטריות, מחזור ותחום ערכים של גרף, משוואות טריגונומטריות ומודל של תופעה מחזורית. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהו sin⁡300∘\sin 300^\circ?

  1. −12-\frac12
  2. 12\frac12
  3. 32\frac{\sqrt3}{2}
  4. −32-\frac{\sqrt3}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −32-\frac{\sqrt3}{2}

הפתרון:

300∘=360∘−60∘300^\circ = 360^\circ - 60^\circ

רביע רביעי — הסינוס שלילי

sin⁡300∘=−sin⁡60∘=−32\begin{aligned}\sin 300^\circ &= -\sin 60^\circ \\ &= -\frac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

הגודל לפי הזווית החדה 60∘60^\circ

sin⁡300∘=−32\sin 300^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}. מי שבחר −12-\frac12 התבלבל בין סינוס לקוסינוס של 60∘60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו המחזור של הפונקציה y=sin⁡(4x)y = \sin(4x), במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

T=360∘4=90∘\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{4} \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הזווית שבסוגריים גדלה פי 44 מהר יותר

המחזור 90∘90^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לכל זווית α\alpha מתקיים cos⁡(−α)=−cos⁡α\cos(-\alpha) = -\cos\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha

שיקוף בציר xx לא משנה את שיעור ה-xx

cos⁡(−60∘)=12≠−12\cos(-60^\circ) = \frac12 \neq -\frac12

דוגמה נגדית

הטענה שגויה: הקוסינוס זוגי. הסינוס הוא שמחליף סימן: sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתון sin⁡α=−0.28\sin\alpha = -0.28 ו-180∘<α<270∘180^\circ < \alpha < 270^\circ. מהו cos⁡α\cos\alpha?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.96

הפתרון:

cos⁡2α=1−0.0784=0.9216\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.0784 \\ &= 0.9216\end{aligned}

הזהות היסודית. עדיין אין סימן

cos⁡α=−0.96\cos\alpha = -0.96

ברביע השלישי הנקודה משמאל לציר yy

cos⁡α=−0.96\cos\alpha = -0.96. הגודל מהזהות, הסימן מהרביע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את המשוואה 2cos⁡x+3=02\cos x + \sqrt3 = 0 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 210

הפתרון:

cos⁡x=−32\cos x = -\frac{\sqrt3}{2}

מבודדים

x=±150∘+360∘kx = \pm 150^\circ + 360^\circ k

cos⁡150∘=−32\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}, והכלל של הקוסינוס

x=150∘ x=210∘\begin{aligned}x &= 150^\circ \\ \ x &= 210^\circ\end{aligned}

בתחום

הפתרון הגדול 210∘210^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡(3x)=0\cos(3x) = 0 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ \le x \le 180^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

0∘≤3x≤540∘0^\circ \le 3x \le 540^\circ

קודם תחום הזווית שבסוגריים

3x=90∘ 270∘ 450∘\begin{aligned}3x &= 90^\circ \\ \ 270^\circ \\ \ 450^\circ\end{aligned}

האפסים של הקוסינוס בתחום הזה

x=30∘ 90∘ 150∘\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 90^\circ \\ \ 150^\circ\end{aligned}

שלושה פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו תחום הערכים של f(x)=5−2sin⁡(3x)f(x) = 5 - 2\sin(3x)?

  1. [3, 7][3,\,7]
  2. [−7, −3][-7,\,-3]
  3. [5, 7][5,\,7]
  4. [−2, 2][-2,\,2]
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א [3, 7][3,\,7]

הפתרון:

−1≤sin⁡(3x)≤1-1 \le \sin(3x) \le 1

ה-33 שבפנים משנה את המחזור, לא את הטווח

−2≤−2sin⁡(3x)≤2-2 \le -2\sin(3x) \le 2
3≤5−2sin⁡(3x)≤73 \le 5 - 2\sin(3x) \le 7

תחום הערכים [3, 7][3,\,7]: קו אמצע 55, אמפליטודה 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

העומק של המים ברציף בנמל אשדוד הוא d(t)=1.5cos⁡(30t)+4d(t) = 1.5\cos(30t) + 4 מטר, כאשר tt בשעות והזווית 30t30t נמדדת במעלות. באיזו שעה t>0t > 0 העומק מגיע ל-3.253.25 מטר לראשונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

1.5cos⁡(30t)+4=3.25⇒cos⁡(30t)=−0.5\begin{aligned}1.5\cos(30t) + 4 &= 3.25 \Rightarrow \cos(30t) \\ &= -0.5\end{aligned}
30t=±120∘+360∘k30t = \pm 120^\circ + 360^\circ k
30t=120∘⇒t=4\begin{aligned}30t &= 120^\circ \Rightarrow t \\ &= 4\end{aligned}

הערך החיובי הקטן ביותר

אחרי 44 שעות. בדיקה: 1.5⋅(−0.5)+4=3.251.5 \cdot (-0.5) + 4 = 3.25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6, ו-α\alpha זווית חדה. חשבו את sin⁡(180∘−α)⋅cos⁡(180∘+α)\sin(180^\circ - \alpha) \cdot \cos(180^\circ + \alpha).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.48

הפתרון:

cos⁡α=1−0.36=0.8\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{1 - 0.36} \\ &= 0.8\end{aligned}

זווית חדה — חיובי

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α=0.6\begin{aligned}\sin(180^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ &= 0.6\end{aligned}

שיקוף בציר yy

cos⁡(180∘+α)=−cos⁡α=−0.8\begin{aligned}\cos(180^\circ + \alpha) &= -\cos\alpha \\ &= -0.8\end{aligned}

שיקוף בראשית — שני השיעורים מחליפים סימן

0.6⋅(−0.8)=−0.480.6 \cdot (-0.8) = -0.48

התוצאה −0.48-0.48.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

תא בגלגל ענק בפארק מתחיל בנקודה הנמוכה ביותר, בגובה 33 מטר. הגובה הגבוה ביותר הוא 4343 מטר, וסיבוב שלם נמשך 3636 דקות. הגובה מתואר במודל h(t)=Acos⁡(at)+Bh(t) = A\cos(at) + B (tt בדקות, הזווית במעלות). כמה דקות מתוך כל סיבוב נמצא התא בגובה של יותר מ-3333 מטר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

B=43+32=23∣A∣=43−32=20a=360∘36=10\begin{aligned}B &= \frac{43 + 3}{2} \\ &= 23 \\ \quad |A| &= \frac{43 - 3}{2} \\ &= 20 \\ \quad a &= \frac{360^\circ}{36} \\ &= 10\end{aligned}

קו אמצע, אמפליטודה, מעלות לדקה

h(t)=23−20cos⁡(10t)h(t) = 23 - 20\cos(10t)

מתחילים למטה — קוסינוס עם מינוס

23−20cos⁡(10t)>33  ⟺  cos⁡(10t)<−0.523 - 20\cos(10t) > 33 \iff \cos(10t) < -0.5
120∘<10t<240∘  ⟺  12<t<24120^\circ < 10t < 240^\circ \iff 12 < t < 24

בסיבוב הראשון

התא מעל 3333 מטר 24−12=1224 - 12 = 12 דקות בכל סיבוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת