סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה 5 — לקראת הבגרות. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: שאלות בנוסח הבגרות: חקירת פונקציה מחזורית בתחום, פרמטר ומספר פתרונות, הוכיחו או הפריכו, ומודל מהחיים.

כתבו כל שלב כמו במחברת הבחינה: בידוד, בדיקת קיום, פתרון כללי, ורק בסוף הצבת kk.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡(2x−60∘)+1f(x) = 2\sin(2x - 60^\circ) + 1 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ \le x \le 180^\circ. כמה נקודות חיתוך יש לגרף שלה עם ציר xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

2sin⁡(2x−60∘)+1=0⇒sin⁡(2x−60∘)=−12\begin{aligned}2\sin(2x - 60^\circ) + 1 &= 0 \Rightarrow \sin(2x - 60^\circ) \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx: f(x)=0f(x) = 0

−60∘≤2x−60∘≤300∘-60^\circ \le 2x - 60^\circ \le 300^\circ

תחום הזווית שבסוגריים

2x−60∘=−30∘ 210∘\begin{aligned}2x - 60^\circ &= -30^\circ \\ \ 210^\circ\end{aligned}

הזוויות בתחום שהסינוס שלהן −12-\frac12

x=15∘ 135∘\begin{aligned}x &= 15^\circ \\ \ 135^\circ\end{aligned}

המלכודת: לחפש רק ב-[0∘,360∘][0^\circ, 360^\circ] ולפספס את −30∘-30^\circ, או להכניס את 330∘330^\circ שמחוץ לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

עבור אותה פונקציה, f(x)=2sin⁡(2x−60∘)+1f(x) = 2\sin(2x - 60^\circ) + 1 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ \le x \le 180^\circ: מהו שיעור ה-xx של נקודת המקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

f מרבית  ⟺  sin⁡(2x−60∘)=1f \text{ מרבית} \iff \sin(2x - 60^\circ) = 1

האמפליטודה חיובית

2x−60∘=90∘2x - 60^\circ = 90^\circ

היחידה בתחום [−60∘,300∘][-60^\circ, 300^\circ]

x=75∘f(75∘)=3\begin{aligned}x &= 75^\circ \\ \quad f(75^\circ) &= 3\end{aligned}

המלכודת: לענות 45∘45^\circ (שוכחים את ההזזה) או 90∘90^\circ (מציבים את הזווית שבסוגריים במקום xx).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה g(x)=2sin⁡(2x−60∘)+1+kg(x) = 2\sin(2x - 60^\circ) + 1 + k. עבור אילו ערכי kk לגרף של gg אין נקודות משותפות עם ציר xx?

  1. k>3k > 3 או k<−1k < -1
  2. k≥1k \ge 1 או k≤−3k \le -3
  3. k>1k > 1 או k<−3k < -3
  4. −3<k<1-3 < k < 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג k>1k > 1 או k<−3k < -3

הפתרון:

−1≤2sin⁡(2x−60∘)+1≤3-1 \le 2\sin(2x - 60^\circ) + 1 \le 3

הטווח של ff

−1+k≤g(x)≤3+k-1 + k \le g(x) \le 3 + k

ההזזה מזיזה את כל הטווח

−1+k>0 או 3+k<0-1 + k > 0 \ \text{או}\ 3 + k < 0

הטווח כולו מעל ציר xx או כולו מתחתיו

k>1 או k<−3k > 1 \ \text{או}\ k < -3

התשובה: k>1k > 1 או k<−3k < -3. −3<k<1-3 < k < 1 הוא בדיוק המקרה ההפוך (יש חיתוך); הגרסה עם ≥\ge שוכחת שב-k=1k = 1 המינימום נוגע בציר; ו-k>3k > 3 או k<−1k < -1 מחליפה בין המינימום למקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: אם sin⁡α=sin⁡β\sin\alpha = \sin\beta, אז α=β\alpha = \beta.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

α=30∘ β=150∘\begin{aligned}\alpha &= 30^\circ \\ \ \beta &= 150^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית

sin⁡30∘=sin⁡150∘=12\begin{aligned}\sin 30^\circ &= \sin 150^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}

אותו גובה על המעגל

30∘≠150∘30^\circ \neq 150^\circ

הטענה מופרכת

הטענה שגויה. זו בדיוק הסיבה שלמשוואה sin⁡x=a\sin x = a יש שתי משפחות פתרונות: α\alpha ו-180∘−α180^\circ - \alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

גובה של קצה להב בטורבינת רוח הוא h(t)=40+25sin⁡(72t)h(t) = 40 + 25\sin(72t) מטר, כאשר tt בשניות והזווית 72t72t נמדדת במעלות. כמה שניות מתוך כל סיבוב הקצה נמצא בגובה של יותר מ-52.552.5 מטר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.6666666666666667

הפתרון:

T=360∘72=5\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{72} \\ &= 5\end{aligned}

סיבוב בן 55 שניות

40+25sin⁡(72t)>52.5⇒sin⁡(72t)>1240 + 25\sin(72t) > 52.5 \Rightarrow \sin(72t) > \tfrac12

בידוד

30∘<72t<150∘30^\circ < 72t < 150^\circ

בסיבוב הראשון

512<t<2512⇒2512−512=53≈1.67\tfrac{5}{12} < t < \tfrac{25}{12} \Rightarrow \tfrac{25}{12} - \tfrac{5}{12} = \tfrac53 \approx 1.67

המלכודת: לענות 2.082.08, הרגע שבו הקצה יורד חזרה מתחת ל-52.552.5 מטר. המשך הוא ההפרש בין שני הרגעים, לא אחד מהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון sin⁡α=13\sin\alpha = \frac13 ו-90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ. חשבו את sin⁡(180∘−α)+cos⁡(−α)\sin(180^\circ - \alpha) + \cos(-\alpha), ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.60947570824873

הפתרון:

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α=13\begin{aligned}\sin(180^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ &= \tfrac13\end{aligned}

שיקוף בציר yy

cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha

שיקוף בציר xx

cos⁡α=−1−19=−223\begin{aligned}\cos\alpha &= -\sqrt{1 - \tfrac19} \\ &= -\tfrac{2\sqrt2}{3}\end{aligned}

ברביע השני הקוסינוס שלילי

13−223=1−223≈−0.61\tfrac13 - \tfrac{2\sqrt2}{3} = \tfrac{1 - 2\sqrt2}{3} \approx -0.61

המלכודת: cos⁡(−α)=−cos⁡α\cos(-\alpha) = -\cos\alpha. זה הכלל של הסינוס. הקוסינוס זוגי, והמינוס בתשובה מגיע מהרביע השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפתרון הכללי של המשוואה tan⁡(3x+15∘)=−3\tan(3x + 15^\circ) = -\sqrt3 נכתב בצורה x=p+qkx = p + q k, כאשר 0<p<q0 < p < q. השלימו.

pp = ____ מעלות, qq = ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: pp = 35 מעלות, qq = 60 מעלות.

הפתרון:

3x+15∘=−60∘+180∘k3x + 15^\circ = -60^\circ + 180^\circ k

tan⁡(−60∘)=−3\tan(-60^\circ) = -\sqrt3

x=−25∘+60∘kx = -25^\circ + 60^\circ k

מחסירים 15∘15^\circ ומחלקים הכל ב-33

x=35∘+60∘kx = 35^\circ + 60^\circ k

אותה משפחה, מתחילים מ-k=1k = 1

המלכודת: q=120∘q = 120^\circ, מתוך הרגל של 360∘360^\circ בסינוס. המחזור של הטנגנס הוא 180∘180^\circ, ואחרי חלוקה ב-33 נשארים 60∘60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

עבור אילו ערכי mm יש למשוואה cos⁡x=2m−3\cos x = 2m - 3 בדיוק פתרון אחד בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ?

  1. m=2m = 2 בלבד
  2. m=1m = 1 או m=2m = 2
  3. 1≤m≤21 \le m \le 2
  4. אין ערך כזה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב m=1m = 1 או m=2m = 2

הפתרון:

−1<c<1-1 < c < 1

נסמן c=2m−3c = 2m - 3. ישר אנכי x=cx = c חותך את המעגל פעמיים: שני פתרונות

c=1⇒x=0∘;c=−1⇒x=180∘\begin{aligned}c &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0^\circ;\quad c \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= 180^\circ\end{aligned}

בקצוות הישר משיק: פתרון אחד

2m−3=1⇒m=2;2m−3=−1⇒m=1\begin{aligned}2m - 3 &= 1 \Rightarrow m \\ &= 2;\quad 2m - 3 \\ &= -1 \Rightarrow m \\ &= 1\end{aligned}

התשובה: m=1m = 1 או m=2m = 2. 1≤m≤21 \le m \le 2 מתאר מתי יש פתרון, לא מתי הוא יחיד; ומי שבחר m=2m = 2 בלבד שכח ש-cos⁡x=−1\cos x = -1 מתקבל רק ב-180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגרף של f
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°360°-2-101234xy

בציור הגרף של f(x)=2cos⁡(x−b)+1f(x) = 2\cos(x - b) + 1, כאשר 0∘<b<180∘0^\circ < b < 180^\circ. מהו bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

max⁡=3 ב-x=60∘\begin{aligned}\max &= 3 \text{ ב-} x \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הפסגה הראשונה בגרף

cos⁡(x−b)=1  ⟺  x−b=0∘\begin{aligned}\cos(x - b) &= 1 \iff x - b \\ &= 0^\circ\end{aligned}

לקוסינוס יש פסגה כשהזווית שבסוגריים אפס

b=60∘b = 60^\circ

המלכודת: לקרוא את החיתוך עם ציר yy (f(0)=2f(0) = 2) ולנחש משם. ההזזה נקראת מהמקום שבו הפסגה עברה — מ-0∘0^\circ ל-60∘60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הוכיחו כי לכל זווית α\alpha מתקיים sin⁡4α−cos⁡4α=sin⁡2α−cos⁡2α\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha.

  • α\alpha זווית כלשהי
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

sin⁡4α−cos⁡4α=sin⁡2α−cos⁡2α\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha

להציג את התשובה והפתרון
  1. sin⁡4α−cos⁡4α=(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) — נוסחת הכפל המקוצר להפרש ריבועים
  2. sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 — הזהות היסודית
  3. sin⁡4α−cos⁡4α=sin⁡2α−cos⁡2α\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha — מציבים 11 בגורם השני

הפתרון:

sin⁡4α−cos⁡4α=(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)

הפרש ריבועים

=(sin⁡2α−cos⁡2α)⋅1= (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)\cdot 1

הזהות היסודית

המלכודת: להציב כמה זוויות, לראות שוויון ולהכריז שהוכחתם. שוויון בכמה דוגמאות אינו הוכחה לכל α\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת