סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה 4 — מתקדם. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: פתרונות בקצה התחום, cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x בתוך משוואה, בחירת מודל לפי כמה נתונים, והוכחת זהות.

קצה סגור של תחום (≤\le) הוא מקום שבו פתרון מסתתר. הציבו את הקצה ובדקו.

תרגילים

תרגיל 1

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡(3x−30∘)=12\sin(3x - 30^\circ) = \frac12 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ \le x \le 180^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

−30∘≤3x−30∘≤510∘-30^\circ \le 3x - 30^\circ \le 510^\circ

תחום הזווית שבסוגריים

3x−30∘=30∘ 150∘ 390∘ 510∘\begin{aligned}3x - 30^\circ &= 30^\circ \\ \ 150^\circ \\ \ 390^\circ \\ \ 510^\circ\end{aligned}

כל הזוויות בתחום שהסינוס שלהן 12\frac12

x=20∘ 60∘ 140∘ 180∘\begin{aligned}x &= 20^\circ \\ \ 60^\circ \\ \ 140^\circ \\ \ 180^\circ\end{aligned}

המלכודת: לענות 33 ולפספס את x=180∘x = 180^\circ. הקצה כלול בתחום, והצבה מראה ש-sin⁡510∘=sin⁡150∘=12\sin 510^\circ = \sin 150^\circ = \frac12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון tan⁡α=−34\tan\alpha = -\frac34 ו-90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ. מהו sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha + \cos\alpha?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.2

הפתרון:

sin⁡α=−34cos⁡α\sin\alpha = -\tfrac34\cos\alpha

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

916cos⁡2α+cos⁡2α=1⇒cos⁡2α=1625\begin{aligned}\tfrac{9}{16}\cos^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1 \Rightarrow \cos^2\alpha \\ &= \tfrac{16}{25}\end{aligned}

מציבים בזהות היסודית

cos⁡α=−45sin⁡α=35\begin{aligned}\cos\alpha &= -\tfrac45 \\ \quad \sin\alpha &= \tfrac35\end{aligned}

ברביע השני: קוסינוס שלילי, סינוס חיובי

35−45=−15\tfrac35 - \tfrac45 = -\tfrac15

המלכודת: לקחת sin⁡α=−35\sin\alpha = -\frac35 כי הטנגנס שלילי. המינוס של הטנגנס מגיע מהקוסינוס — ברביע השני הסינוס חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הערך הגדול ביותר של פונקציה הוא 55, הקטן ביותר −1-1, המחזור שלה 90∘90^\circ, ו-f(0)=5f(0) = 5. איזו פונקציה מתאימה?

  1. f(x)=3cos⁡(90x)+2f(x) = 3\cos(90x) + 2
  2. f(x)=6cos⁡(4x)−1f(x) = 6\cos(4x) - 1
  3. f(x)=3sin⁡(4x)+2f(x) = 3\sin(4x) + 2
  4. f(x)=3cos⁡(4x)+2f(x) = 3\cos(4x) + 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד f(x)=3cos⁡(4x)+2f(x) = 3\cos(4x) + 2

הפתרון:

A=5−(−1)2=3c=5+(−1)2=2\begin{aligned}A &= \frac{5 - (-1)}{2} \\ &= 3 \\ \quad c &= \frac{5 + (-1)}{2} \\ &= 2\end{aligned}

אמפליטודה וקו אמצע

360∘b=90∘⇒b=4\begin{aligned}\frac{360^\circ}{b} &= 90^\circ \Rightarrow b \\ &= 4\end{aligned}

המחזור

f(0)=3cos⁡0∘+2=5\begin{aligned}f(0) &= 3\cos 0^\circ + 2 \\ &= 5\end{aligned}

הקוסינוס מתחיל בפסגה; 3sin⁡0∘+2=23\sin 0^\circ + 2 = 2

התשובה: 3cos⁡(4x)+23\cos(4x) + 2. הגרסה עם סינוס מתחילה בקו האמצע ולא בפסגה; cos⁡(90x)\cos(90x) מבלבל מחזור עם מקדם; 6cos⁡(4x)−16\cos(4x) - 1 יורד עד −7-7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הערך הגדול ביותר של mm שעבורו יש פתרון למשוואה 2sin⁡x=m−12\sin x = m - 1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

sin⁡x=m−12\sin x = \frac{m - 1}{2}

בידוד

−1≤m−12≤1⇒−1≤m≤3-1 \le \frac{m - 1}{2} \le 1 \Rightarrow -1 \le m \le 3

תנאי הקיום

m=3⇒sin⁡x=1⇒x=90∘\begin{aligned}m &= 3 \Rightarrow \sin x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 90^\circ\end{aligned}

בקצה עדיין יש פתרון

המלכודת: לענות 22 (שוכחים לחלק ב-22) או לפסול את 33 כקצה. ב-m=3m = 3 הישר משיק למעגל — וזה פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו כי לכל זווית α\alpha שעבורה cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0 מתקיים (1−sin⁡2α)tan⁡2α=sin⁡2α(1 - \sin^2\alpha)\tan^2\alpha = \sin^2\alpha.

  • cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

(1−sin⁡2α)tan⁡2α=sin⁡2α(1 - \sin^2\alpha)\tan^2\alpha = \sin^2\alpha

להציג את התשובה והפתרון
  1. 1−sin⁡2α=cos⁡2α1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha — הזהות היסודית
  2. tan⁡2α=sin⁡2αcos⁡2α\tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} — הגדרת הטנגנס, tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
  3. (1−sin⁡2α)tan⁡2α=cos⁡2α⋅sin⁡2αcos⁡2α(1 - \sin^2\alpha)\tan^2\alpha = \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} — מציבים את שני הביטויים
  4. (1−sin⁡2α)tan⁡2α=sin⁡2α(1 - \sin^2\alpha)\tan^2\alpha = \sin^2\alpha — מצמצמים ב-cos⁡2α≠0\cos^2\alpha \neq 0

הפתרון:

1−sin⁡2α=cos⁡2α1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha

הזהות היסודית

cos⁡2α⋅sin⁡2αcos⁡2α=sin⁡2α\cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha

מצמצמים, כי cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0

המלכודת: לשכוח את התנאי cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0. בלעדיו אי אפשר לצמצם — וב-α=90∘\alpha = 90^\circ הטנגנס בכלל לא מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

עומק המים במעגן מתואר על ידי d(t)=5+3sin⁡(30t)d(t) = 5 + 3\sin(30t) מטר, כאשר tt בשעות. סירה יכולה להיכנס כשהעומק לפחות 6.56.5 מטר. כמה שעות בתחום 0≤t≤120 \le t \le 12 הסירה יכולה להיכנס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

5+3sin⁡(30t)≥6.5⇒sin⁡(30t)≥125 + 3\sin(30t) \ge 6.5 \Rightarrow \sin(30t) \ge \tfrac12

בידוד

0∘≤30t≤360∘0^\circ \le 30t \le 360^\circ

בתחום יש סיבוב אחד בדיוק

30∘≤30t≤150∘⇒1≤t≤530^\circ \le 30t \le 150^\circ \Rightarrow 1 \le t \le 5

הקשת שבה הגובה לפחות 12\frac12

5−1=45 - 1 = 4

המלכודת: לענות 11 או 55 — הרגעים שבהם העומק בדיוק 6.56.5. השאלה שואלת על משך, וזה ההפרש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המשוואה sin⁡(2x+10∘)=cos⁡40∘\sin(2x + 10^\circ) = \cos 40^\circ בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

cos⁡40∘=sin⁡50∘\cos 40^\circ = \sin 50^\circ

cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x

2x+10∘=50∘+360∘k או 2x+10∘=130∘+360∘k\begin{aligned}2x + 10^\circ &= 50^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ 2x + 10^\circ \\ &= 130^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

כלל הסינוס

x=20∘+180∘k או x=60∘+180∘k\begin{aligned}x &= 20^\circ + 180^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 60^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחלקים הכל ב-22

x=20∘ 60∘ 200∘ 240∘\begin{aligned}x &= 20^\circ \\ \ 60^\circ \\ \ 200^\circ \\ \ 240^\circ\end{aligned}

המלכודת: לכתוב 2x+10∘=40∘2x + 10^\circ = 40^\circ. הזווית 40∘40^\circ שייכת לקוסינוס; כדי להשוות סינוס לסינוס עוברים ל-50∘50^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

האם ייתכן שלמשוואה sin⁡(ax)=0.3\sin(ax) = 0.3, כאשר a>0a > 0, יש בדיוק 7 פתרונות בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0∘≤ax<360∘a0^\circ \le ax < 360^\circ a

הזווית עוברת aa סיבובים

a=3.25:0∘≤ax<1170∘a = 3.25:\quad 0^\circ \le ax < 1170^\circ

שלושה סיבובים ועוד 90∘90^\circ

3⋅2+1=73 \cdot 2 + 1 = 7

שני פתרונות בכל סיבוב שלם, ואחד (ax≈1097.5∘ax \approx 1097.5^\circ) ברבע האחרון

ייתכן. המלכודת: לחשוב שמספר הפתרונות תמיד זוגי. זה נכון רק כשהתחום של axax הוא מספר שלם של סיבובים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה את המחזור שלה.

  • y=sin⁡(x2)y = \sin(\frac{x}{2})
  • y=cos⁡(6x)y = \cos(6x)
  • y=tan⁡(2x)y = \tan(2x)
  • y=tan⁡xy = \tan x
  • y=3cos⁡(5x)−1y = 3\cos(5x) - 1
  • 180∘180^\circ
  • 60∘60^\circ
  • 72∘72^\circ
  • 720∘720^\circ
  • 90∘90^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=sin⁡(x2)y = \sin(\frac{x}{2}) — 720∘720^\circ · y=cos⁡(6x)y = \cos(6x) — 60∘60^\circ · y=tan⁡(2x)y = \tan(2x) — 90∘90^\circ · y=tan⁡xy = \tan x — 180∘180^\circ · y=3cos⁡(5x)−1y = 3\cos(5x) - 1 — 72∘72^\circ

הפתרון:

T=360∘aT = \frac{360^\circ}{a}

לסינוס ולקוסינוס

T=180∘aT = \frac{180^\circ}{a}

לטנגנס

sin⁡(x2): T=360∘1/2=720∘\begin{aligned}\sin(\tfrac{x}{2}):\ T &= \frac{360^\circ}{1/2} \\ &= 720^\circ\end{aligned}

מקדם קטן מ-11 מותח את הגל

המלכודת: tan⁡(2x)\tan(2x). המחזור של הטנגנס הוא 180∘180^\circ, ולכן חלוקה ב-22 נותנת 90∘90^\circ ולא 180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מעגל היחידה — שלוש הזוויות
25°155°205°-1-0.500.51-1-0.50.51xy

בציור הנקודות על מעגל היחידה של הזוויות 25∘25^\circ, 155∘155^\circ ו-205∘205^\circ. נתון sin⁡25∘≈0.4226\sin 25^\circ \approx 0.4226. חשבו בלי מחשבון את sin⁡155∘+cos⁡115∘+sin⁡205∘\sin 155^\circ + \cos 115^\circ + \sin 205^\circ, ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.42261826174069944

הפתרון:

sin⁡155∘=sin⁡(180∘−25∘)=sin⁡25∘\begin{aligned}\sin 155^\circ &= \sin(180^\circ - 25^\circ) \\ &= \sin 25^\circ\end{aligned}

שיקוף בציר yy

cos⁡115∘=−cos⁡65∘=−sin⁡25∘\begin{aligned}\cos 115^\circ &= -\cos 65^\circ \\ &= -\sin 25^\circ\end{aligned}

cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\cos(180^\circ - x) = -\cos x, ואחר כך cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x

sin⁡205∘=sin⁡(180∘+25∘)=−sin⁡25∘\begin{aligned}\sin 205^\circ &= \sin(180^\circ + 25^\circ) \\ &= -\sin 25^\circ\end{aligned}

חצי סיבוב

sin⁡25∘−sin⁡25∘−sin⁡25∘=−sin⁡25∘≈−0.423\sin 25^\circ - \sin 25^\circ - \sin 25^\circ = -\sin 25^\circ \approx -0.423

המלכודת: cos⁡115∘\cos 115^\circ. היא נראית רחוקה מ-25∘25^\circ, אבל 115∘=90∘+25∘115^\circ = 90^\circ + 25^\circ — הקוסינוס שלה הוא מינוס הסינוס של 25∘25^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת