סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה 3 — מאתגר. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: משוואות עם הזזה בזווית, קריאת פרמטרים מגרף, תנאי קיום עם פרמטר, זהויות וסימטריות, וגלגל ענק.

לפני שעונים כמה פתרונות יש, כתבו את תחום הזווית שבסוגריים. שם רואים כמה סיבובים נכנסים.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואה 2cos⁡(x+40∘)=22\cos(x + 40^\circ) = \sqrt2 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 275

הפתרון:

cos⁡(x+40∘)=22\cos(x + 40^\circ) = \tfrac{\sqrt2}{2}

בידוד

x+40∘=±45∘+360∘kx + 40^\circ = \pm 45^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס

x=5∘+360∘k או x=−85∘+360∘k\begin{aligned}x &= 5^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= -85^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

מחסירים 40∘40^\circ

x=5∘ 275∘\begin{aligned}x &= 5^\circ \\ \ 275^\circ\end{aligned}

במשפחה השנייה k=1k = 1

המלכודת: לפסול את −85∘-85^\circ ולשכוח לנסות k=1k = 1. פתרון שלילי אינו סוף המשפחה — מוסיפים לו 360∘360^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה פתרונות יש למשוואה 4sin⁡2x=34\sin^2 x = 3 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

sin⁡2x=34\sin^2 x = \tfrac34
sin⁡x=32 או sin⁡x=−32\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{\sqrt3}{2} \ \text{או}\ \sin x \\ &= -\tfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

לשורש שני סימנים — שתי משוואות

x=60∘ 120∘ 240∘ 300∘\begin{aligned}x &= 60^\circ \\ \ 120^\circ \\ \ 240^\circ \\ \ 300^\circ\end{aligned}

שני פתרונות לכל משוואה

המלכודת: לענות 22 ולשכוח את sin⁡x=−32\sin x = -\frac{\sqrt3}{2}. הוצאת שורש מ-sin⁡2x\sin^2 x פותחת שני מקרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הביעו באמצעות sin⁡α\sin\alpha את הביטוי sin⁡(180∘+α)⋅cos⁡(90∘−α)\sin(180^\circ + \alpha) \cdot \cos(90^\circ - \alpha).

  1. sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha
  2. sin⁡2α\sin^2\alpha
  3. −sin⁡2α-\sin^2\alpha
  4. −sin⁡αcos⁡α-\sin\alpha\cos\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −sin⁡2α-\sin^2\alpha

הפתרון:

sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha

חצי סיבוב הופך את הגובה

cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

הזווית המשלימה

(−sin⁡α)⋅sin⁡α=−sin⁡2α(-\sin\alpha)\cdot\sin\alpha = -\sin^2\alpha

התשובה: −sin⁡2α-\sin^2\alpha. מי שבחר −sin⁡αcos⁡α-\sin\alpha\cos\alpha השאיר את cos⁡(90∘−α)\cos(90^\circ - \alpha) כקוסינוס; מי שבחר sin⁡2α\sin^2\alpha איבד את המינוס של חצי הסיבוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של f
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°360°-4-3-2-1012xy

בציור הגרף של f(x)=Asin⁡(bx)+cf(x) = A\sin(bx) + c, כאשר A>0A > 0 ו-b>0b > 0. מהו bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

max⁡=1min⁡=−3\begin{aligned}\max &= 1 \\ \quad \min &= -3\end{aligned}

קוראים מהגרף

A=1−(−3)2=2c=1+(−3)2=−1\begin{aligned}A &= \frac{1 - (-3)}{2} \\ &= 2 \\ \quad c &= \frac{1 + (-3)}{2} \\ &= -1\end{aligned}

אמפליטודה וקו אמצע

T=120∘T = 120^\circ

מפסגה לפסגה: 30∘30^\circ ו-150∘150^\circ

360∘b=120∘⇒b=3\begin{aligned}\frac{360^\circ}{b} &= 120^\circ \Rightarrow b \\ &= 3\end{aligned}

המלכודת: למדוד ממקסימום למינימום (60∘60^\circ) ולקבל b=6b = 6. זה חצי מחזור. ו-bb אינו האמפליטודה: A=2A = 2, ו-bb נקבע רק מהמחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

עבור אילו ערכי kk יש פתרון למשוואה 4sin⁡(2x)=k−34\sin(2x) = k - 3?

  1. −1<k<7-1 < k < 7
  2. k≤7k \le 7
  3. 2≤k≤42 \le k \le 4
  4. −1≤k≤7-1 \le k \le 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −1≤k≤7-1 \le k \le 7

הפתרון:

sin⁡(2x)=k−34\sin(2x) = \frac{k - 3}{4}

בידוד

−1≤k−34≤1-1 \le \frac{k - 3}{4} \le 1

תנאי הקיום — הקצוות כלולים

−4≤k−3≤4⇒−1≤k≤7-4 \le k - 3 \le 4 \Rightarrow -1 \le k \le 7

התשובה: −1≤k≤7-1 \le k \le 7. 2≤k≤42 \le k \le 4 שוכח לחלק ב-44; אי-שוויון חזק מפסיד את k=7k = 7, שבו sin⁡(2x)=1\sin(2x) = 1 ויש פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את המשוואה tan⁡(x−30∘)=−1\tan(x - 30^\circ) = -1 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 345

הפתרון:

x−30∘=−45∘+180∘kx - 30^\circ = -45^\circ + 180^\circ k

המחזור של הטנגנס 180∘180^\circ

x=−15∘+180∘kx = -15^\circ + 180^\circ k
x=165∘ 345∘\begin{aligned}x &= 165^\circ \\ \ 345^\circ\end{aligned}

k=1k = 1 ו-k=2k = 2

המלכודת: להוסיף 360∘360^\circ במקום 180∘180^\circ ולמצוא רק 345∘345^\circ — או להחסיר את 30∘30^\circ במקום להוסיף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: לכל זווית α\alpha מתקיים sin⁡α+cos⁡α≤1\sin\alpha + \cos\alpha \le 1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

α=45∘\alpha = 45^\circ

דוגמה נגדית

sin⁡45∘+cos⁡45∘=22+22=2\begin{aligned}\sin 45^\circ + \cos 45^\circ &= \tfrac{\sqrt2}{2} + \tfrac{\sqrt2}{2} \\ &= \sqrt2\end{aligned}
2≈1.41>1\sqrt2 \approx 1.41 > 1

הטענה מופרכת

הטענה שגויה. כל אחד מהם לבד לכל היותר 11, אבל הסכום יכול לעבור את 11. דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להפריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגובה של תא בגלגל ענק הוא h(t)=20−18cos⁡(12t)h(t) = 20 - 18\cos(12t) מטר, כאשר tt בדקות. כמה דקות מכל סיבוב נמצא התא מעל 1111 מטר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

T=360∘12=30\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{12} \\ &= 30\end{aligned}

סיבוב של 3030 דקות

20−18cos⁡(12t)=11⇒cos⁡(12t)=12\begin{aligned}20 - 18\cos(12t) &= 11 \Rightarrow \cos(12t) \\ &= \tfrac12\end{aligned}

הרגעים שבהם התא בדיוק בגובה 1111

12t=60∘ 300∘⇒t=5 25\begin{aligned}12t &= 60^\circ \\ \ 300^\circ \Rightarrow t &= 5 \\ \ 25\end{aligned}

בסיבוב הראשון: עולה ב-55, יורד ב-2525

25−5=2025 - 5 = 20

בין שני הרגעים התא גבוה מ-1111 מטר

המלכודת: לענות 55, הרגע שבו התא עובר את 1111 מטר בפעם הראשונה. השאלה שואלת על משך, וזה ההפרש בין שני הרגעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו את המשוואה cos⁡x=sin⁡50∘\cos x = \sin 50^\circ בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 320

הפתרון:

sin⁡50∘=cos⁡40∘\sin 50^\circ = \cos 40^\circ

cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x

cos⁡x=cos⁡40∘⇒x=±40∘+360∘k\begin{aligned}\cos x &= \cos 40^\circ \Rightarrow x \\ &= \pm 40^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

כלל הקוסינוס

x=40∘ 320∘\begin{aligned}x &= 40^\circ \\ \ 320^\circ\end{aligned}

המלכודת: לענות 50∘50^\circ או 310∘310^\circ. הזווית 50∘50^\circ שייכת לסינוס — לקוסינוס אותו ערך ב-40∘40^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: אילו שוויונות נכונים לכל זווית α\alpha?

  • נכון לכל α\alpha
  • לא תמיד נכון
  • cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha
  • cos⁡(180∘−α)=cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = \cos\alpha
  • sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha) = \sin\alpha
  • sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha
  • sin⁡(360∘+α)=sin⁡α\sin(360^\circ + \alpha) = \sin\alpha
  • sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha — נכון לכל α\alpha · sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha — נכון לכל α\alpha · sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha — נכון לכל α\alpha · cos⁡(180∘−α)=cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = \cos\alpha — לא תמיד נכון · sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha) = \sin\alpha — לא תמיד נכון · sin⁡(360∘+α)=sin⁡α\sin(360^\circ + \alpha) = \sin\alpha — נכון לכל α\alpha

הפתרון:

cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha

שיקוף בציר yy הופך את שיעור ה-xx

sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha

שיקוף בציר xx הופך את הגובה

α=30∘: cos⁡150∘=−32≠32\begin{aligned}\alpha &= 30^\circ:\ \cos 150^\circ \\ &= -\tfrac{\sqrt3}{2} \neq \tfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

דוגמה נגדית אחת מספיקה

המלכודת: cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha). בסינוס זה אותו ערך, ובקוסינוס הסימן מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת