סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה 2 — בינוני. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: זהות יסודית עם סימן לפי רביע, פתרון כללי של משוואה עם axax, מחזור וטווח, ומודל פשוט.

בפתרון כללי מחלקים ב-aa גם את 360∘k360^\circ k. מחזור המשוואה קטן, ובתחום נכנסים יותר פתרונות.

תרגילים

תרגיל 1

נתון cos⁡α=−1213\cos\alpha = -\frac{12}{13} ו-90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ. מהו tan⁡α\tan\alpha? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.4166666666666667

הפתרון:

sin⁡2α=1−144169=25169\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - \frac{144}{169} \\ &= \frac{25}{169}\end{aligned}

הזהות היסודית

sin⁡α=513\sin\alpha = \frac{5}{13}

ברביע השני הסינוס חיובי

tan⁡α=5/13−12/13=−512≈−0.417\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{5/13}{-12/13} \\ &= -\frac{5}{12} \approx -0.417\end{aligned}

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

המלכודת: לקחת sin⁡α=−513\sin\alpha = -\frac{5}{13} בגלל שהקוסינוס שלילי. לכל אחד מהם סימן משלו לפי הרביע — וברביע השני הסינוס חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את המשוואה 2sin⁡x+1=02\sin x + 1 = 0 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 330

הפתרון:

sin⁡x=−12\sin x = -\tfrac12

בידוד

x=180∘+30∘=210∘\begin{aligned}x &= 180^\circ + 30^\circ \\ &= 210^\circ\end{aligned}

רביע שלישי

x=360∘−30∘=330∘\begin{aligned}x &= 360^\circ - 30^\circ \\ &= 330^\circ\end{aligned}

רביע רביעי

המלכודת: 150∘150^\circ. זו זווית שהסינוס שלה +12+\frac12. ערך שלילי של סינוס נמצא רק בחצי התחתון של המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו הפתרון הכללי של המשוואה cos⁡(2x)=12\cos(2x) = \frac12?

  1. x=±60∘+180∘kx = \pm 60^\circ + 180^\circ k
  2. x=±30∘+360∘kx = \pm 30^\circ + 360^\circ k
  3. x=±30∘+180∘kx = \pm 30^\circ + 180^\circ k
  4. x=30∘+180∘kx = 30^\circ + 180^\circ k או x=60∘+180∘kx = 60^\circ + 180^\circ k
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x=±30∘+180∘kx = \pm 30^\circ + 180^\circ k

הפתרון:

2x=±60∘+360∘k2x = \pm 60^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס על הזווית 2x2x

x=±30∘+180∘kx = \pm 30^\circ + 180^\circ k

מחלקים את שני האיברים ב-22

התשובה: x=±30∘+180∘kx = \pm 30^\circ + 180^\circ k. מי שבחר 360∘k360^\circ k חילק רק את הזווית; מי שבחר ±60∘\pm 60^\circ לא חילק כלל; ומי שבחר 30∘30^\circ ו-60∘60^\circ השתמש בכלל של הסינוס, 2x=180∘−60∘2x = 180^\circ - 60^\circ — ואכן cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡(2x)=−12\sin(2x) = -\frac12 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

0∘≤2x≤720∘0^\circ \le 2x \le 720^\circ

תחום הזווית שבסוגריים: שני סיבובים

2x=210∘ 330∘ 570∘ 690∘\begin{aligned}2x &= 210^\circ \\ \ 330^\circ \\ \ 570^\circ \\ \ 690^\circ\end{aligned}

שני פתרונות בכל סיבוב

x=105∘ 165∘ 285∘ 345∘\begin{aligned}x &= 105^\circ \\ \ 165^\circ \\ \ 285^\circ \\ \ 345^\circ\end{aligned}

המלכודת: לענות 22. הזווית 2x2x עוברת שני סיבובים שלמים כאשר xx עובר סיבוב אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בחישוב של sin⁡210∘\sin 210^\circ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

210∘=180∘+30∘210^\circ = 180^\circ + 30^\circ
∣sin⁡210∘∣=sin⁡30∘=12\begin{aligned}|\sin 210^\circ| &= \sin 30^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}
sin⁡210∘=12\sin 210^\circ = \tfrac12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡210∘=12\sin 210^\circ = \tfrac12 → sin⁡210∘=−12\sin 210^\circ = -\tfrac12

הפתרון:

210∘=180∘+30∘210^\circ = 180^\circ + 30^\circ

נכון: רביע שלישי, נשען על 30∘30^\circ

∣sin⁡210∘∣=12|\sin 210^\circ| = \tfrac12

נכון: הגודל נלקח מ-30∘30^\circ

sin⁡210∘=−12\sin 210^\circ = -\tfrac12

ברביע השלישי הנקודה מתחת לציר xx, והסינוס שלילי

השורה השגויה היא האחרונה: היא לקחה את הגודל ושכחה את הסימן. הגודל נלקח מ-30∘30^\circ, הסימן מהרביע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה f(x)=3−4cos⁡xf(x) = 3 - 4\cos x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

−1≤cos⁡x≤1-1 \le \cos x \le 1
−4≤−4cos⁡x≤4-4 \le -4\cos x \le 4

הכפלה במספר שלילי הופכת את הסדר, אבל הטווח נשאר סימטרי

−1≤f(x)≤7-1 \le f(x) \le 7

מוסיפים 33

המלכודת: לענות −4-4, או לחפש את המינימום ב-cos⁡x=−1\cos x = -1 ולקבל 77. בגלל המינוס שלפני 44, המינימום מתקבל דווקא כאשר cos⁡x=1\cos x = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡(3x)+1f(x) = 2\sin(3x) + 1. השלימו.

המחזור של ff הוא ____ מעלות, הערך הגדול ביותר שלה הוא ____, והערך הקטן ביותר שלה הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המחזור של ff הוא 120 מעלות, הערך הגדול ביותר שלה הוא 3, והערך הקטן ביותר שלה הוא -1.

הפתרון:

T=360∘3=120∘\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{3} \\ &= 120^\circ\end{aligned}

המקדם של xx

−2≤2sin⁡(3x)≤2-2 \le 2\sin(3x) \le 2

האמפליטודה

−1≤f(x)≤3-1 \le f(x) \le 3

הזזה ב-11

המלכודת: לחשוב שה-33 שבתוך הסוגריים משנה את הגובה. הוא משנה רק את המחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הטמפרטורה בעיר מדבר מתוארת על ידי T(t)=23−5cos⁡(15t)T(t) = 23 - 5\cos(15t) (במעלות צלזיוס), כאשר tt הוא מספר השעות מחצות (0≤t≤240 \le t \le 24). באיזו שעה הטמפרטורה הגבוהה ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

T מרבית  ⟺  cos⁡(15t)=−1T \text{ מרבית} \iff \cos(15t) = -1

מחסירים את הערך השלילי ביותר

15t=180∘15t = 180^\circ

בתחום 0∘≤15t≤360∘0^\circ \le 15t \le 360^\circ

t=12t = 12

בצהריים; T=28T = 28

המלכודת: לענות t=0t = 0, שם cos⁡(15t)=1\cos(15t) = 1. בגלל המינוס שלפני 55, זה דווקא הרגע הקר ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

האם ייתכן ש-tan⁡α=−1\tan\alpha = -1 עבור זווית α\alpha ברביע הראשון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

0∘<α<90∘⇒sin⁡α>0, cos⁡α>00^\circ < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \sin\alpha > 0,\ \cos\alpha > 0

ברביע הראשון שניהם חיוביים

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α>0\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > 0

מנה של חיוביים

לא ייתכן. tan⁡α=−1\tan\alpha = -1 מתקבל ב-135∘135^\circ וב-315∘315^\circ, שם לסינוס ולקוסינוס סימנים הפוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו את המשוואה tan⁡x=3\tan x = \sqrt3 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

x=60∘+180∘kx = 60^\circ + 180^\circ k

המחזור של הטנגנס הוא 180∘180^\circ

x=60∘ 240∘\begin{aligned}x &= 60^\circ \\ \ 240^\circ\end{aligned}

k=0k = 0 ו-k=1k = 1

המלכודת: 120∘120^\circ, מתוך הרגל של הסינוס. בטנגנס הפתרון השני נמצא חצי סיבוב אחרי הראשון — ברביע השלישי, שם גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת