סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה 1 — קל. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: ערכים על מעגל היחידה, סימנים ברביעים, מחזור וטווח של גרף, ומשוואות בסיסיות בתחום אחד.

בכל שאלה שאלו קודם: באיזה רביע אני? הסימן נקבע שם, והגודל נקבע לפי הזווית החדה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו sin⁡330∘\sin 330^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.5

הפתרון:

330∘=360∘−30∘330^\circ = 360^\circ - 30^\circ

רביע רביעי, נשען על 30∘30^\circ

∣sin⁡330∘∣=sin⁡30∘=12\begin{aligned}|\sin 330^\circ| &= \sin 30^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}

הגודל

sin⁡330∘=−12\sin 330^\circ = -\tfrac12

ברביע הרביעי הנקודה מתחת לציר xx

המלכודת: לענות 0.50.5. הגודל נכון, אבל הסימן נקבע לפי הרביע — וברביע הרביעי הסינוס שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו cos⁡135∘\cos 135^\circ?

  1. −12-\frac12
  2. −32-\frac{\sqrt3}{2}
  3. 22\frac{\sqrt2}{2}
  4. −22-\frac{\sqrt2}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −22-\frac{\sqrt2}{2}

הפתרון:

135∘=180∘−45∘135^\circ = 180^\circ - 45^\circ

רביע שני, נשען על 45∘45^\circ

cos⁡135∘=−cos⁡45∘\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ

שיקוף בציר yy הופך את שיעור ה-xx

cos⁡135∘=−22\cos 135^\circ = -\tfrac{\sqrt2}{2}

התשובה: −22-\frac{\sqrt2}{2}. מי שבחר 22\frac{\sqrt2}{2} שכח שברביע השני הקוסינוס שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו המחזור של הפונקציה y=cos⁡(3x)y = \cos(3x), במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

T=360∘3T = \frac{360^\circ}{3}

המחזור של cos⁡(ax)\cos(ax) הוא 360∘a\frac{360^\circ}{a}

T=120∘T = 120^\circ

המלכודת: לכפול ולקבל 1080∘1080^\circ. מקדם גדול בתוך הסוגריים מכווץ את הגל — המחזור קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את המשוואה sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt3}{2} בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

x1=60∘x_1 = 60^\circ

הזווית החדה שהסינוס שלה 32\frac{\sqrt3}{2}

x2=180∘−60∘=120∘\begin{aligned}x_2 &= 180^\circ - 60^\circ \\ &= 120^\circ\end{aligned}

הפתרון השני של סינוס: באותו גובה, ברביע השני

המלכודת: לענות 300∘300^\circ, כמו בקוסינוס. בסינוס הפתרון השני הוא 180∘−α180^\circ - \alpha, לא 360∘−α360^\circ - \alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לכל זווית xx מתקיים sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x→−xx \to -x

שיקוף של הנקודה בציר xx

(cos⁡x, sin⁡x)→(cos⁡x, −sin⁡x)(\cos x,\ \sin x) \to (\cos x,\ -\sin x)

שיעור ה-yy מתהפך

נכון לכל xx. אל תבלבלו עם הקוסינוס: cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x, כי שיעור ה-xx לא משתנה בשיקוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה f(x)=2sin⁡x+5f(x) = 2\sin x + 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

−1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1

הסינוס כלוא

−2≤2sin⁡x≤2-2 \le 2\sin x \le 2

כופלים ב-22

3≤f(x)≤73 \le f(x) \le 7

מוסיפים 55

המלכודת: לענות 55 או 22. מוסיפים את האמפליטודה לקו האמצע: 5+2=75 + 2 = 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל זווית את הרביע שבו היא נמצאת.

  • 100∘100^\circ
  • 200∘200^\circ
  • 300∘300^\circ
  • 45∘45^\circ
  • רביע ראשון
  • רביע רביעי
  • רביע שלישי
  • רביע שני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100∘100^\circ — רביע שני · 200∘200^\circ — רביע שלישי · 300∘300^\circ — רביע רביעי · 45∘45^\circ — רביע ראשון

הפתרון:

90∘<100∘<180∘90^\circ < 100^\circ < 180^\circ

רביע שני

180∘<200∘<270∘180^\circ < 200^\circ < 270^\circ

רביע שלישי

270∘<300∘<360∘270^\circ < 300^\circ < 360^\circ

רביע רביעי

המלכודת: 100∘100^\circ. היא רק קצת מעבר ל-90∘90^\circ, אבל כבר ברביע השני — משמאל לציר yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מעגל היחידה — P ברביע השני
P-1-0.500.51-1-0.50.51xy

בציור הנקודה PP על מעגל היחידה, ברביע השני. הגובה שלה הוא 0.80.8, והיא מתאימה לזווית α\alpha. מהו cos⁡α\cos\alpha?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.6

הפתרון:

sin⁡α=0.8\sin\alpha = 0.8

הגובה של הנקודה הוא הסינוס

cos⁡2α=1−0.64=0.36\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.64 \\ &= 0.36\end{aligned}

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

cos⁡α=−0.6\cos\alpha = -0.6

ברביע השני הנקודה משמאל לציר yy

המלכודת: לענות 0.60.6. השורש נותן ±0.6\pm 0.6, והציור מראה שהנקודה משמאל — שיעור ה-xx שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡x=0\cos x = 0 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

cos⁡x=0\cos x = 0

שיעור ה-xx של הנקודה הוא 00: הנקודה על ציר yy

x=90∘ 270∘\begin{aligned}x &= 90^\circ \\ \ 270^\circ\end{aligned}

למעלה ולמטה

המלכודת: לענות 11 ולזכור רק את 90∘90^\circ. גם הנקודה התחתונה (0, −1)(0,\,-1) נמצאת על ציר yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לאיזו מהמשוואות הבאות אין פתרון?

  1. cos⁡x=−1\cos x = -1
  2. sin⁡x=−0.3\sin x = -0.3
  3. sin⁡x=1.2\sin x = 1.2
  4. tan⁡x=5\tan x = 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג sin⁡x=1.2\sin x = 1.2

הפתרון:

−1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1

הסינוס הוא גובה של נקודה על מעגל שרדיוסו 11

1.2>11.2 > 1

אין נקודה על המעגל בגובה 1.21.2

tan⁡x=5\tan x = 5

לטנגנס אין הגבלה: יש פתרון לכל מספר

התשובה: sin⁡x=1.2\sin x = 1.2. המשוואה cos⁡x=−1\cos x = -1 נראית חשודה בגלל המינוס, אבל יש לה פתרון: x=180∘x = 180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת