פותרים יחד · פונקציות טריגונומטריות · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: ערכים מתוך נתון אחד, משוואה עם זווית מורכבת, פרמטרים מתוך גרף, תנאי קיום עם פרמטר, ומודל של תופעה מחזורית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומחכה לכם למטה בגרסה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בשורה הבאה. הפער בין מה שתכננתם לבין השלב שמופיע — שם הלמידה.

1 — מנתון אחד לכל הערכים

פעילות אינטראקטיבית

נתון $\sin\alpha = -0.6$ ו- $180^\circ < \alpha < 270^\circ$ . א. מצאו את $\cos\alpha$ ואת $\tan\alpha$ . ב. הביעו באמצעות מספרים את $\sin(180^\circ - \alpha)$ ואת $\cos(90^\circ - \alpha)$ .

\begin{aligned}\sin\alpha &= -0.6 \\ \qquad 180^\circ < \alpha < 270^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הרביע נתון — הוא יחליט על כל סימן.

זהות

\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}

הזהות היסודית. עדיין אין סימן.

סימן

\cos\alpha = -0.8

ברביע השלישי הנקודה משמאל לציר $y$ .

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-0.6}{-0.8} \\ &= 0.75\end{aligned}

שלילי חלקי שלילי: חיובי, כמו שצריך ברביע השלישי.

\begin{aligned}\sin(180^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ &= -0.6\end{aligned}

שיקוף בציר $y$ שומר על הגובה.

\begin{aligned}\cos(90^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ &= -0.6\end{aligned}

הזווית המשלימה.

המלכודת של סעיף ב: לחשב זווית במחשבון. הזהויות נותנות את התשובה המדויקת בלי למצוא את $\alpha$ בכלל.

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה $\cos(-\alpha)$ באותה שאלה?

להציג את התשובה והפתרון

$\cos(-\alpha) = \cos\alpha = -0.8$ . שיקוף בציר $x$ לא משנה את ה- $x$ של הנקודה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואה עם זווית מורכבת בתחום

פעילות אינטראקטיבית

פותרים בתחום, צעד אחרי צעד

פתרו את המשוואה $2\sin(2x + 30^\circ) = \sqrt3$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ .

מה עושים קודם?

מחלקים ב- $2$ : $\sin(2x + 30^\circ) = \frac{\sqrt3}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

מבודדים את הסינוס, ובודקים ש- $\frac{\sqrt3}{2} \le 1$ .

מחלקים את הזווית ב- $2$ : $2\sin(x + 15^\circ)$

להציג את התשובה והפתרון

ה- $2$ שבחוץ והזווית שבפנים הם שני דברים שונים. אי אפשר להכניס אותו לסוגריים.

כותבים $2x + 30^\circ = \sqrt3$

להציג את התשובה והפתרון

$\sqrt3$ הוא ערך של סינוס, לא זווית.

\sin(2x + 30^\circ) = \tfrac{\sqrt3}{2}

איך נראה הפתרון הכללי?

$2x + 30^\circ = 60^\circ + 360^\circ k$ או $2x + 30^\circ = 120^\circ + 360^\circ k$

להציג את התשובה והפתרון

כלל הסינוס, על כל הזווית שבסוגריים.

$2x + 30^\circ = \pm 60^\circ + 360^\circ k$

להציג את התשובה והפתרון

זה כלל הקוסינוס. $\sin(-60^\circ)$ שלילי.

\begin{aligned}x &= 15^\circ + 180^\circ k \ \ \text{או}\ \ x \\ &= 45^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחסירים $30^\circ$ ומחלקים הכל ב- $2$ .

אילו ערכי $k$ נכנסים?

$k = 0$ ו- $k = 1$ בכל משפחה

להציג את התשובה והפתרון

$15^\circ, 195^\circ$ ו- $45^\circ, 225^\circ$ . ב- $k = 2$ עוברים את $360^\circ$ .

רק $k = 0$

להציג את התשובה והפתרון

המחזור אחרי החלוקה הוא $180^\circ$ , ולכן בתחום של $360^\circ$ יש שני סיבובים.

\begin{aligned}x &= 15^\circ \\ \ 45^\circ \\ \ 195^\circ \\ \ 225^\circ\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

ארבעה פתרונות: $15^\circ$ , $45^\circ$ , $195^\circ$ , $225^\circ$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטרים מתוך גרף

הגרף של f — שאלה 3

פעילות אינטראקטיבית

בציור הגרף של $f(x) = A\cos(bx) + c$ , כאשר $A > 0$ ו- $b > 0$ . א. מצאו את $A$ , $b$ ו- $c$ . ב. פתרו $f(x) = 5$ בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ .

f(x) = A\cos(bx) + c

לחצו «להתחיל». קוראים מהגרף שלושה מספרים: הגבוה, הנמוך, והמרחק בין שתי פסגות.

קריאה

\begin{aligned}\max &= 7 \\ \quad \min &= -1\end{aligned}

הפסגות והעמקים.

\begin{aligned}c &= \frac{7 + (-1)}{2} \\ &= 3 \\ \quad A &= \frac{7 - (-1)}{2} \\ &= 4\end{aligned}

קו האמצע והאמפליטודה.

\begin{aligned}\text{מחזור} &= 180^\circ \Rightarrow b \\ &= \frac{360^\circ}{180^\circ} \\ &= 2\end{aligned}

פסגה ב- $0^\circ$ ושוב ב- $180^\circ$ .

\begin{aligned}4\cos(2x) + 3 &= 5 \Rightarrow \cos(2x) \\ &= \tfrac12\end{aligned}

מבודדים.

\begin{aligned}2x &= \pm 60^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x \\ &= \pm 30^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ\end{aligned}

$k = 0$ נותן $30^\circ$ , ו- $-30^\circ + 180^\circ = 150^\circ$ .

בדיקה בגרף: הישר $y = 5$ חותך את הגל בתחום $0^\circ$ עד $180^\circ$ בדיוק פעמיים.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה פתרונות יש ל- $f(x) = 5$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ארבעה: $30^\circ$ , $150^\circ$ , $210^\circ$ , $330^\circ$ . בתחום יש שני מחזורים, ובכל אחד שני חיתוכים.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פרמטר ותנאי קיום

פעילות אינטראקטיבית

עבור אילו ערכי m?

נתונה המשוואה $3\cos x = m - 1$ . א. עבור אילו ערכי $m$ יש למשוואה פתרון? ב. עבור אילו ערכי $m$ יש לה בדיוק פתרון אחד בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ?

איך מתחילים?

מבודדים: $\cos x = \frac{m - 1}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

את התנאי שמים על מה שהקוסינוס שווה לו.

דורשים $-1 \le m - 1 \le 1$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את $3$ : הקוסינוס שווה ל- $\frac{m-1}{3}$ , לא ל- $m - 1$ .

\cos x = \frac{m - 1}{3}

מה התנאי לקיום?

$-1 \le \frac{m-1}{3} \le 1$

להציג את התשובה והפתרון

הקוסינוס כלוא בין $-1$ ל- $1$ , כולל הקצוות.

$-1 < \frac{m-1}{3} < 1$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $\cos x = 1$ ו- $\cos x = -1$ יש פתרונות: $0^\circ$ ו- $180^\circ$ .

-3 \le m - 1 \le 3 \Rightarrow -2 \le m \le 4

סעיף א.

כמה פתרונות יש ל- $\cos x = a$ בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ?

בדיוק אחד לכל $-1 \le a \le 1$

להציג את התשובה והפתרון

בחצי העליון של המעגל כל ישר אנכי פוגש את המעגל פעם אחת בלבד: הקוסינוס יורד מ- $1$ ל- $-1$ .

שניים, כמו בכל סיבוב

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון השני הוא $-\alpha$ — והוא בחצי התחתון, מחוץ לתחום.

-2 \le m \le 4

סעיף ב: אותו תחום בדיוק.

להציג את התשובה והפתרון

א. $-2 \le m \le 4$ . ב. גם כן $-2 \le m \le 4$ : בתחום $0^\circ$ עד $180^\circ$ הקוסינוס מקבל כל ערך פעם אחת.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם במקום $\cos$ היה $\sin$ — האם גם אז היה פתרון יחיד בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $\sin x = a$ עם $0 \le a < 1$ נותן שני פתרונות, $\alpha$ ו- $180^\circ - \alpha$ . פתרון יחיד רק ב- $a = 1$ ( $x = 90^\circ$ ); וב- $a < 0$ אין אף פתרון בתחום.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — גלגל ענק

פעילות אינטראקטיבית

הגובה של תא בגלגל ענק הוא $h(t) = 25 - 22\cos(15t)$ מטר, כאשר $t$ בדקות. א. מה הגובה הנמוך והגבוה ביותר? ב. כמה זמן נמשך סיבוב? ג. מתי התא מגיע לראשונה לגובה $36$ מטר? ד. כמה דקות מכל סיבוב נמצא התא מעל $36$ מטר?

h(t) = 25 - 22\cos(15t)

לחצו «להתחיל».

\begin{aligned}h_{\min} &= 25 - 22 \\ &= 3 \\ \quad h_{\max} &= 25 + 22 \\ &= 47\end{aligned}

$\cos(15t)$ בין $-1$ ל- $1$ .

\frac{360^\circ}{15} = 24

סיבוב של $24$ דקות.

\begin{aligned}25 - 22\cos(15t) &= 36 \Rightarrow \cos(15t) \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

מבודדים.

\begin{aligned}15t &= 120^\circ \ \text{או}\ 15t \\ &= 240^\circ\end{aligned}

בסיבוב הראשון.

\begin{aligned}t &= 8 \ \text{או}\ t \\ &= 16\end{aligned}

לראשונה: $t = 8$ .

16 - 8 = 8

בין שני הרגעים התא מעל $36$ מטר.

בסעיף ד משך הזמן הוא הפרש בין שני פתרונות — לא אחד מהם.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתון $\cos\alpha = 0.8$ ו- $270^\circ < \alpha < 360^\circ$ . מהו $\tan\alpha$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.75

הפתרון:

\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - 0.64 \\ &= 0.36\end{aligned}

הזהות היסודית

\sin\alpha = -0.6

ברביע הרביעי הגובה שלילי

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-0.6}{0.8} \\ &= -0.75\end{aligned}

המלכודת: $0.75$ . הקוסינוס חיובי, אבל ברביע הרביעי הסינוס שלילי — ולכן הטנגנס שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה פתרונות יש למשוואה $2\cos(2x - 20^\circ) = 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\cos(2x - 20^\circ) = \tfrac12

בידוד

2x - 20^\circ = \pm 60^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס

\begin{aligned}x &= 40^\circ + 180^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= -20^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחלקים הכל ב- $2$

\begin{aligned}x &= 40^\circ \\ \ 220^\circ \\ \ 160^\circ \\ \ 340^\circ\end{aligned}

ב- $-20^\circ$ מתחילים מ- $k = 1$

המלכודת: $3$ , מי שפסל את $-20^\circ$ ושכח לנסות $k = 2$ במשפחה הזאת. ספירת בדיקה: שני מחזורים, שני פתרונות בכל אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הגרף של $f(x) = A\sin(bx) + c$ , כאשר $A > 0$ ו- $b > 0$ , נע בין $1$ ל- $7$ , והמחזור שלו $90^\circ$ . מהו $b$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}A &= \frac{7 - 1}{2} \\ &= 3 \\ \quad c &= \frac{7 + 1}{2} \\ &= 4\end{aligned}

אמפליטודה וקו אמצע

\frac{360^\circ}{b} = 90^\circ

המחזור

b = 4

המלכודת: לענות $3$ בגלל האמפליטודה, או $90$ בגלל המחזור. $b$ נקבע רק מהמחזור: $\frac{360^\circ}{b} = 90^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

למשוואה $\sin x = \frac{m + 1}{2}$ יש פתרון לכל $m$ שמקיים $-3 \le m \le 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

-1 \le \frac{m + 1}{2} \le 1

תנאי הקיום

-2 \le m + 1 \le 2

כופלים ב- $2$

-3 \le m \le 1

נכון, והקצוות נכללים: ב- $m = 1$ מקבלים $\sin x = 1$ , וב- $m = -3$ מקבלים $\sin x = -1$ — ולשתיהן יש פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הגובה של תא בגלגל ענק הוא $h(t) = 30 - 26\cos(10t)$ מטר, כאשר $t$ בדקות והזווית $10t$ נמדדת במעלות. אחרי כמה דקות מגיע התא לראשונה לגובה $43$ מטר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}30 - 26\cos(10t) &= 43 \Rightarrow \cos(10t) \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

בידוד

\begin{aligned}10t &= 120^\circ \ \text{או}\ 10t \\ &= 240^\circ\end{aligned}

בסיבוב הראשון

\begin{aligned}t &= 12 \ \text{או}\ t \\ &= 24\end{aligned}

לראשונה: $t = 12$

המלכודת: $24$ , הפעם השנייה (בירידה), או $6$ — מי שכתב $10t = 60^\circ$ ושכח את המינוס של $-\frac12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — מנתון אחד לכל הערכים

2 — משוואה עם זווית מורכבת בתחום

3 — פרמטרים מתוך גרף

4 — פרמטר ותנאי קיום

5 — גלגל ענק

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev