תופעות מחזוריות · פונקציות טריגונומטריות · כיתה י׳

תא בגלגל ענק עולה, מגיע לפסגה, יורד, נוגע כמעט בקרקע — ושוב. הגאות והשפל בנמל, הטמפרטורה ביממה ושעות האור בשנה מתנהגים באותו אופן. כל תופעה כזאת היא גל, ואפשר לתאר אותה בפונקציה טריגונומטרית.

גובה התא מעל הקרקע

לפי הגרף: מהו הגובה הנמוך ביותר של התא, מהו הגובה הגבוה ביותר, וכמה זמן נמשך סיבוב אחד?

להציג את התשובה והפתרון

הנמוך $2$ מטר (ב- $t = 0$ ), הגבוה $38$ מטר (ב- $t = 15$ ), והגרף חוזר לנקודת המוצא ב- $t = 30$ : סיבוב אחד נמשך $30$ דקות.

קוראים מודל: $h(t) = A\cos(at) + B$

B = \frac{\max + \min}{2}

קו האמצע — ממוצע הגובה הגבוה והנמוך. כאן $B = 20$ .

|A| = \frac{\max - \min}{2}

האמפליטודה — חצי מהפרש הגבהים. כאן $|A| = 18$ .

a = \frac{360^\circ}{T}

כמה מעלות בכל יחידת זמן. כאן $T = 30$ ולכן $a = 12$ .

התא מתחיל למטה, כלומר בנקודת מינימום. הקוסינוס מתחיל בפסגה, ולכן לוקחים אותו עם סימן מינוס: $h(t) = 20 - 18\cos(12t)$ .

פעילות אינטראקטיבית

גלגל ענק — ארבעה סעיפים

\begin{aligned}h(t) &= 20 - 18\cos(12t) \\ \qquad 0 \le t \le 30\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $t$ בדקות, $h$ במטרים.

\begin{aligned}\cos(12t) &= 1 \Rightarrow h \\ &= 2 \\ \qquad \cos(12t) &= -1 \Rightarrow h \\ &= 38\end{aligned}

הגובה הנמוך והגבוה: מציבים את הקצוות של הקוסינוס.

\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{12} \\ &= 30\end{aligned}

משך סיבוב — $30$ דקות.

\begin{aligned}20 - 18\cos(12t) &= 29 \Rightarrow \cos(12t) \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

מתי התא בגובה $29$ מטר? מבודדים.

\begin{aligned}12t &= 120^\circ \ \text{או}\ 12t \\ &= 240^\circ\end{aligned}

בסיבוב הראשון $0^\circ \le 12t \le 360^\circ$ .

\begin{aligned}t &= 10 \ \text{או}\ t \\ &= 20\end{aligned}

פעם בעלייה ופעם בירידה.

20 - 10 = 10

בין $t = 10$ ל- $t = 20$ התא מעל $29$ מטר: $10$ דקות מכל סיבוב.

הזווית $12t$ נמדדת במעלות, אבל $t$ עצמו בדקות. כל דקה מסובבת את הגלגל ב- $12^\circ$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

לגלגל אחר $h(t) = 25 - 22\cos(15t)$ . כמה זמן נמשך סיבוב, ומה הגובה המרבי?

להציג את התשובה והפתרון

$T = \frac{360}{15} = 24$ דקות, והגובה המרבי $25 + 22 = 47$ מטר.

בונים מודל מהנתונים

עומק המים בנמל

העומק הגדול ביותר $7$ מטר, בשעה $t = 3$ ; העומק הקטן ביותר $1$ מטר, בשעה $t = 9$ . מצאו מודל $d(t) = A\sin(at) + B$ עם $A > 0$ .

\begin{aligned}B &= \frac{7 + 1}{2} \\ &= 4 \\ \qquad A &= \frac{7 - 1}{2} \\ &= 3\end{aligned}

קו אמצע ואמפליטודה

\begin{aligned}\frac{T}{2} &= 9 - 3 \\ &= 6 \Rightarrow T \\ &= 12\end{aligned}

ממקסימום למינימום עובר חצי מחזור

\begin{aligned}a &= \frac{360^\circ}{12} \\ &= 30^\circ\end{aligned}

מעלות לשעה

\begin{aligned}d(t) &= 3\sin(30t) + 4 \\ \qquad d(3) &= 3\sin 90^\circ + 4 \\ &= 7\end{aligned}

בודקים שהמקסימום יוצא בשעה הנכונה

שלוש טעויות בבניית מודל.

A = \max - \min

A = \frac{\max - \min}{2}

האמפליטודה נמדדת מקו האמצע, לא מהתחתית.

T = t_{\max} - t_{\min}

T = 2\,(t_{\min} - t_{\max})

ממקסימום למינימום עובר חצי מחזור.

\begin{aligned}T &= 12 \Rightarrow a \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}a &= \frac{360^\circ}{T} \\ &= 30\end{aligned}

$a$ הוא מעלות ליחידת זמן, לא המחזור עצמו.

אחרי שבניתם מודל, הציבו בו נקודה אחת מהנתונים. אם המקסימום יצא בשעה הלא נכונה — הסימן של $A$ או הבחירה בין סינוס לקוסינוס שגויים.

תרגילים

תרגיל 1

עומק המים בנמל (במטרים) מתואר על ידי $d(t) = 2\sin(30t) + 6$ , כאשר $t$ בשעות. מהו העומק הגדול ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

-1 \le \sin(30t) \le 1

\begin{aligned}d_{\max} &= 2 \cdot 1 + 6 \\ &= 8\end{aligned}

המלכודת: $6$ , קו האמצע. $B$ הוא העומק הממוצע, והגל עולה מעליו ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותו נמל, $d(t) = 2\sin(30t) + 6$ . כל כמה שעות חוזר העומק על עצמו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

T = \frac{360^\circ}{30^\circ}

מעלות בסיבוב חלקי מעלות לשעה

T = 12

המלכודת: $30$ . זה קצב הזווית, לא המחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותו נמל, $d(t) = 2\sin(30t) + 6$ . באיזו שעה $t > 0$ העומק מגיע ל- $7$ מטר לראשונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}2\sin(30t) + 6 &= 7 \Rightarrow \sin(30t) \\ &= \tfrac12\end{aligned}

בידוד

\begin{aligned}30t &= 30^\circ \ \text{או}\ 30t \\ &= 150^\circ\end{aligned}

בסיבוב הראשון

\begin{aligned}t &= 1 \ \text{או}\ t \\ &= 5\end{aligned}

הראשון: $t = 1$

המלכודת: $5$ , שהוא הפעם השנייה — בירידה. השאלה מבקשת את הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גובה של נדנדה נע בין $10$ ס״מ ל- $50$ ס״מ, והתנועה חוזרת על עצמה כל $20$ שניות. איזה מודל מתאים?

$h(t) = 20\sin(18t) + 10$
$h(t) = 40\sin(18t) + 30$
$h(t) = 20\sin(18t) + 30$
$h(t) = 20\sin(20t) + 30$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $h(t) = 20\sin(18t) + 30$

הפתרון:

\begin{aligned}B &= \frac{50 + 10}{2} \\ &= 30\end{aligned}

קו האמצע

\begin{aligned}A &= \frac{50 - 10}{2} \\ &= 20\end{aligned}

אמפליטודה

\begin{aligned}a &= \frac{360^\circ}{20} \\ &= 18^\circ\end{aligned}

התשובה: $20\sin(18t) + 30$ . « $40$ » לקח את כל ההפרש כאמפליטודה; « $\sin(20t)$ » שם את המחזור במקום $a$ ; « $+10$ » שם את הנמוך ביותר כקו האמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הטמפרטורה בחממה

בציור הטמפרטורה בחממה במהלך יומיים, לפי המודל $T(t) = A\cos(at) + B$ ( $t$ בשעות, $A > 0$ ). מהו $a$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}t &= 0 \\ \ t &= 24\end{aligned}

שתי פסגות רצופות

24 \ \text{שעות}

המחזור: יממה אחת

\begin{aligned}a &= \frac{360^\circ}{24} \\ &= 15\end{aligned}

המלכודת: $30$ , מי שמדד ממקסימום למינימום ( $12$ שעות). זה חצי מחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מסה על קפיץ נמצאת במרחק $x(t) = 5\cos(90t)$ ס״מ מנקודת שיווי המשקל, כאשר $t$ בשניות. כמה פעמים עוברת המסה בנקודת שיווי המשקל ( $x = 0$ ) בתחום $0 \le t \le 4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\cos(90t) = 0

90t = 90^\circ + 180^\circ k

הקוסינוס מתאפס כל חצי סיבוב

\begin{aligned}t &= 1 + 2k \Rightarrow t \\ &= 1 \\ \ 3\end{aligned}

$t = 5$ כבר מחוץ לתחום

המלכודת: $1$ , כשכותבים $360^\circ k$ . הקוסינוס מתאפס פעמיים בכל סיבוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במודל $h(t) = A\sin(at) + B$ עם $A > 0$ , ההפרש בין הגובה הגבוה ביותר לנמוך ביותר הוא $2A$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}h_{\max} &= B + A \\ \quad h_{\min} &= B - A\end{aligned}

(B + A) - (B - A) = 2A

נכון. ולכן בבניית מודל $A$ הוא חצי מההפרש — לא ההפרש כולו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגובה של תא בגלגל ענק הוא $h(t) = 15 - 13\cos(9t)$ מטר, כאשר $t$ בדקות. כמה דקות מכל סיבוב נמצא התא מעל $8.5$ מטר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26.67

הפתרון:

\begin{aligned}15 - 13\cos(9t) &= 8.5 \Rightarrow \cos(9t) \\ &= \tfrac12\end{aligned}

בידוד

\begin{aligned}9t &= 60^\circ \ \text{או}\ 9t \\ &= 300^\circ\end{aligned}

בסיבוב הראשון, $0^\circ \le 9t \le 360^\circ$

\begin{aligned}t &= \tfrac{20}{3} \approx 6.67 \\ \quad t &= \tfrac{100}{3} \approx 33.33\end{aligned}

התא עובר את $8.5$ מטר בעלייה ובירידה

\tfrac{100}{3} - \tfrac{20}{3} = \tfrac{80}{3} \approx 26.67

משך הזמן שבין שני הרגעים

המלכודת: לענות $6.67$ , הרגע שבו התא מגיע לגובה. משך הזמן הוא ההפרש בין שני רגעים — ובין שניהם התא מעל $8.5$ , כי הוא מתחיל בתחתית ( $h(0) = 2$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הטמפרטורה ביום אביבי מתוארת על ידי $T(t) = 6\sin(15(t - 8)) + 12$ , כאשר $t$ שעות מחצות. השלימו.

הטמפרטורה הגבוהה ביותר היא ____ מעלות, והיא מתקבלת לראשונה בשעה ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הטמפרטורה הגבוהה ביותר היא 18 מעלות, והיא מתקבלת לראשונה בשעה 14.

הפתרון:

\begin{aligned}T_{\max} &= 6 + 12 \\ &= 18\end{aligned}

15(t - 8) = 90^\circ

הסינוס שווה $1$

\begin{aligned}t - 8 &= 6 \Rightarrow t \\ &= 14\end{aligned}

המלכודת: לשכוח את ההזזה ולענות $t = 6$ . הגל מתחיל לעלות רק בשעה $8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לאיזו מהפונקציות הבאות המחזור אינו $8$ ?

$y = 2\sin(45t + 10^\circ)$
$y = \cos(45t) + 3$
$y = \sin(8t)$
$y = \sin(45t)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y = \sin(8t)$

הפתרון:

\frac{360^\circ}{45^\circ} = 8

שלוש הפונקציות עם $45t$

\frac{360^\circ}{8^\circ} = 45

המחזור של $\sin(8t)$

התשובה: $\sin(8t)$ — המחזור שלה $45$ . הזזה, מתיחה והוספת קבוע אינן משנות את המחזור; רק המקדם של $t$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

קוראים מודל: h(t)=Acos⁡(at)+Bh(t) = A\cos(at) + Bh(t)=Acos(at)+B

בונים מודל מהנתונים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

קוראים מודל: $h(t) = A\cos(at) + B$