משוואות טריגונומטריות כלליות · פונקציות טריגונומטריות · כיתה י׳

המשוואה $2\sin(2x - 30^\circ) + 1 = 0$ נראית חדשה, אבל בתוכה מסתתרת משוואה מוכרת. מסתכלים על כל הביטוי שבסוגריים כעל זווית אחת, $u = 2x - 30^\circ$ , ומקבלים $\sin u = -\frac12$ — משוואה שכבר יודעים לפתור.

פעילות אינטראקטיבית

פותרים שלב אחרי שלב

\begin{aligned}2\sin(2x - 30^\circ) + 1 &= 0 \\ \qquad 0^\circ \le x \le 360^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». לפני כל לחיצה נסו לומר מה השלב הבא.

בידוד

\sin(2x - 30^\circ) = -\tfrac12

מעבירים את $1$ ומחלקים ב- $2$ .

קיום

-1 \le -\tfrac12 \le 1

יש פתרון.

זווית

\sin(-30^\circ) = -\tfrac12

זווית אחת שהסינוס שלה $-\frac12$ .

פתרון כללי

\begin{aligned}2x - 30^\circ &= -30^\circ + 360^\circ k \ \ \text{או}\ \ 2x - 30^\circ \\ &= 210^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

הכלל של הסינוס, על כל הביטוי שבסוגריים.

בידוד x

\begin{aligned}x &= 180^\circ k \ \ \text{או}\ \ x \\ &= 120^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מוסיפים $30^\circ$ ומחלקים ב- $2$ — גם את $360^\circ k$ .

הצבת k

\begin{aligned}k &= 0 \\ 1 \\ 2:\ \ x &= 0^\circ \\ \ 180^\circ \\ \ 360^\circ \qquad k &= 0 \\ 1:\ \ x &= 120^\circ \\ \ 300^\circ\end{aligned}

מציבים עד שיוצאים מהתחום.

תשובה

\begin{aligned}x &= 0^\circ \\ \ 120^\circ \\ \ 180^\circ \\ \ 300^\circ \\ \ 360^\circ\end{aligned}

חמישה פתרונות: התחום סגור, והקצוות נכנסים.

המחזור של $\sin(2x - 30^\circ)$ הוא $180^\circ$ , ולכן בתחום של $360^\circ$ יש פי שניים פתרונות.

לעשות את הפעילות ב-elev

חמשת השלבים

1

מבודדים את הפונקציה הטריגונומטרית: $\sin(ax+b) = c$ .

2

בודקים קיום: לסינוס ולקוסינוס צריך $-1 \le c \le 1$ .

3

כותבים פתרון כללי לביטוי שבסוגריים.

4

מבודדים את $x$ — כל האיברים מתחלקים, כולל $360^\circ k$ .

5

מציבים ערכי $k$ ובוחרים את מה שבתחום.

למה בשלב 4 חייבים לחלק גם את $360^\circ k$ ב- $2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי $2x = 30^\circ + 360^\circ k$ פירושו $x = 15^\circ + 180^\circ k$ — חלוקה של כל האגף. מי שכותב $x = 15^\circ + 360^\circ k$ מאבד את $195^\circ$ , שגם הוא פתרון: $\sin 390^\circ = \sin 30^\circ$ .

משוואת קוסינוס בתחום

פתרו $\cos(3x) = \frac12$ בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ .

3x = \pm 60^\circ + 360^\circ k

הכלל של הקוסינוס

x = \pm 20^\circ + 120^\circ k

מחלקים הכל ב- $3$

\begin{aligned}k &= 0:\ 20^\circ \qquad k \\ &= 1:\ 100^\circ \\ \ 140^\circ\end{aligned}

$-20^\circ + 120^\circ = 100^\circ$ ו- $20^\circ + 120^\circ = 140^\circ$

\begin{aligned}x &= 20^\circ \\ \ 100^\circ \\ \ 140^\circ\end{aligned}

ב- $k=2$ כבר יוצאים מהתחום

פעילות אינטראקטיבית

משוואת טנגנס

פתרו את המשוואה $\tan(x + 45^\circ) = \sqrt3$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ .

צריך לבדוק קיום?

לא — לטנגנס יש פתרון לכל ערך

להציג את התשובה והפתרון

רק סינוס וקוסינוס כלואים ב- $[-1,\,1]$ .

כן, ו- $\sqrt3 > 1$ ולכן אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

זה נכון לסינוס ולקוסינוס, לא לטנגנס.

\tan 60^\circ = \sqrt3

זווית אחת.

איך נראה הפתרון הכללי?

$x + 45^\circ = 60^\circ + 180^\circ k$

להציג את התשובה והפתרון

מחזור הטנגנס $180^\circ$ , ומשפחה אחת מספיקה.

$x + 45^\circ = 60^\circ + 360^\circ k$ או $120^\circ + 360^\circ k$

להציג את התשובה והפתרון

זה כלל הסינוס. $\tan 120^\circ = -\sqrt3$ .

x = 15^\circ + 180^\circ k

מחסירים $45^\circ$ .

אילו $k$ נכנסים לתחום?

$k = 0$ ו- $k = 1$

להציג את התשובה והפתרון

$15^\circ$ ו- $195^\circ$ ; $k=2$ נותן $375^\circ$ .

רק $k = 0$

להציג את התשובה והפתרון

הטנגנס חוזר כל $180^\circ$ , ולכן בתחום של $360^\circ$ יש שניים.

\begin{aligned}x &= 15^\circ \\ \ 195^\circ\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

$x = 15^\circ$ או $x = 195^\circ$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה פתרונות יש ל- $3\sin x + 5 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

אף אחד. $\sin x = -\frac53$ , ו- $-\frac53 < -1$ . בודקים קיום לפני שמחפשים זוויות.

איפה הפתרונות הולכים לאיבוד.

\begin{aligned}2x &= 30^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x \\ &= 15^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

x = 15^\circ + 180^\circ k

מחלקים את כל האגף, כולל המחזור.

\begin{aligned}\sin(2x) &= \tfrac12 \Rightarrow x \\ &= 15^\circ \ \text{או}\ x \\ &= 165^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}2x &= 150^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x \\ &= 75^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

את $180^\circ$ פחות מפעילים על הזווית שבסוגריים, לפני החלוקה.

k = 0 \ \text{בלבד}

\begin{aligned}k &= 0 \\ 1 \\ 2 \\ \dots\end{aligned}

ממשיכים להציב $k$ עד שהפתרון יוצא מהתחום — וגם $k$ שלילי, אם התחום מתחיל לפני האפס.

בדיקת מספר הפתרונות: אם $|c| < 1$ , ו- $a$ מספר שלם חיובי, למשוואה $\sin(ax+b) = c$ יש $2a$ פתרונות בכל תחום באורך $360^\circ$ (עם קצה אחד פתוח). ספרתם פחות? חסר $k$ .

תרגילים

תרגיל 1

פתרו $2\cos x - 1 = 0$ בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ . מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 300

הפתרון:

\cos x = \tfrac12

בידוד

x = \pm 60^\circ + 360^\circ k

הכלל של הקוסינוס

\begin{aligned}x &= 60^\circ \\ \ 300^\circ\end{aligned}

$-60^\circ + 360^\circ = 300^\circ$

המלכודת: $120^\circ$ , מהכלל של הסינוס. ב- $120^\circ$ הקוסינוס שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הפתרון הכללי של $\sin(2x) = \frac{\sqrt3}{2}$ ?

$x = 30^\circ + 360^\circ k$ או $x = 60^\circ + 360^\circ k$
$x = 30^\circ + 180^\circ k$ או $x = 150^\circ + 180^\circ k$
$x = 30^\circ + 180^\circ k$ או $x = 60^\circ + 180^\circ k$
$x = 60^\circ + 180^\circ k$ או $x = 120^\circ + 180^\circ k$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x = 30^\circ + 180^\circ k$ או $x = 60^\circ + 180^\circ k$

הפתרון:

\begin{aligned}2x &= 60^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ 2x \\ &= 120^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

הכלל על הזווית $2x$

\begin{aligned}x &= 30^\circ + 180^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 60^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחלקים הכל ב- $2$

התשובה: $30^\circ + 180^\circ k$ או $60^\circ + 180^\circ k$ . « $150^\circ$ » מתקבל ממי שחילק קודם והפעיל $180^\circ$ פחות אחר כך; « $360^\circ k$ » שכח לחלק את המחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה פתרונות יש למשוואה $\sin(3x) = \frac12$ בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}3x &= 30^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ 3x \\ &= 150^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 10^\circ + 120^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 50^\circ + 120^\circ k\end{aligned}

מחלקים ב- $3$

10^\circ,\ 130^\circ,\ 250^\circ,\ 50^\circ,\ 170^\circ,\ 290^\circ

$k = 0, 1, 2$ בכל משפחה

המלכודת: $2$ . שלושה גלים שלמים נכנסים ב- $360^\circ$ , ובכל גל שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו $4\sin(x - 20^\circ) + 2 = 0$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ . מהו הפתרון הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 230

הפתרון:

\sin(x - 20^\circ) = -\tfrac12

בידוד

\begin{aligned}x - 20^\circ &= -30^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x - 20^\circ \\ &= 210^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

\begin{aligned}x &= -10^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 230^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 350^\circ \ (k=1) \\ \quad x &= 230^\circ \ (k=0)\end{aligned}

המלכודת: $-10^\circ$ . הוא פתרון של המשוואה, אבל לא בתחום — צריך $k = 1$ ומקבלים $350^\circ$ . הקטן בתחום הוא $230^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

למשוואה $2\cos(5x) + 3 = 0$ אין פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\cos(5x) = -\tfrac32

בידוד

-\tfrac32 < -1

מחוץ לתחום הערכים

נכון. המקדם $5$ שבפנים משנה את מספר הגלים, אבל אף גל לא יורד מתחת ל- $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בפתרון של $\cos(2x) = 0$ בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2x = \pm 90^\circ + 360^\circ k

x = \pm 45^\circ + 360^\circ k

\begin{aligned}x &= 45^\circ \\ \ 135^\circ \\ \ 225^\circ \\ \ 315^\circ\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x = \pm 45^\circ + 360^\circ k$ → $x = \pm 45^\circ + 180^\circ k$

הפתרון:

2x = \pm 90^\circ + 360^\circ k

נכון: $\cos 90^\circ = 0$

x = \pm 45^\circ + 180^\circ k

מחלקים גם את $360^\circ k$

45^\circ,\ 225^\circ,\ 135^\circ,\ 315^\circ

$k = 0, 1$ ו- $k = 1, 2$

המלכודת: $360^\circ k$ שלא חולק. עם השורה השגויה מקבלים רק $45^\circ$ ו- $315^\circ$ — חצי מהפתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו $\tan(2x) = 1$ בתחום $0^\circ < x < 360^\circ$ . מהו הפתרון הגדול? (במעלות, אפשר עם נקודה עשרונית)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 292.5

הפתרון:

2x = 45^\circ + 180^\circ k

מחזור הטנגנס

x = 22.5^\circ + 90^\circ k

מחלקים ב- $2$

22.5^\circ,\ 112.5^\circ,\ 202.5^\circ,\ 292.5^\circ

$k = 0, 1, 2, 3$

המלכודת: $202.5^\circ$ , מי שחילק ל- $180^\circ k$ ועצר אחרי $k=1$ . אחרי החלוקה המחזור הוא $90^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרו את שלבי הפתרון של $3\cos(2x + 10^\circ) - 1 = 0$ בתחום נתון.

בודקים ש- $\frac13$ בין $-1$ ל- $1$
כותבים פתרון כללי לזווית $2x + 10^\circ$
מבודדים את $x$ ומחלקים גם את $360^\circ k$
מבודדים: $\cos(2x + 10^\circ) = \frac13$
מציבים ערכי $k$ ובוחרים את מה שבתחום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מבודדים: $\cos(2x + 10^\circ) = \frac13$ · בודקים ש- $\frac13$ בין $-1$ ל- $1$ · כותבים פתרון כללי לזווית $2x + 10^\circ$ · מבודדים את $x$ ומחלקים גם את $360^\circ k$ · מציבים ערכי $k$ ובוחרים את מה שבתחום

הפתרון:

\cos(2x+10^\circ) = \tfrac13

בידוד

2x + 10^\circ = \pm\alpha + 360^\circ k

פתרון כללי לזווית

x = \frac{\pm\alpha - 10^\circ}{2} + 180^\circ k

בידוד $x$

המלכודת: להציב $k$ לפני שבודדים את $x$ . אז התחום נבדק על $2x + 10^\circ$ ולא על $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

עבור אילו ערכי $m$ יש פתרון למשוואה $\sin x = m - 2$ ?

$-1 \le m \le 1$
$1 \le m \le 3$
$m \le 3$
$1 < m < 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $1 \le m \le 3$

הפתרון:

-1 \le m - 2 \le 1

תנאי הקיום

1 \le m \le 3

מוסיפים $2$

התשובה: $1 \le m \le 3$ . « $-1 \le m \le 1$ » שם את התנאי על $m$ במקום על $m-2$ ; « $1 < m < 3$ » מפסיד את $\sin x = \pm 1$ , שיש להן פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו $\cos(x + 60^\circ) = -1$ בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ . מהו $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

x + 60^\circ = 180^\circ + 360^\circ k

הקוסינוס שווה $-1$ רק בנקודה השמאלית של המעגל

x = 120^\circ + 360^\circ k

x = 120^\circ

פתרון יחיד בתחום

המלכודת: לחפש פתרון שני עם $\pm$ . ב- $\pm 180^\circ$ שתי הזוויות הן אותה נקודה, ולכן יש רק פתרון אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חמשת השלבים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev