משוואות טריגונומטריות בסיסיות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

המחשבון נותן לכל משוואה זווית אחת. המעגל מראה שבכל סיבוב יש בדרך כלל שתיים, ושהסיבובים לא נגמרים. זו לא טעות חישוב — זו השאלה מה בדיוק מבקשים למצוא.

מתי יש פתרון בכלל

הסינוס והקוסינוס הם שיעורים של נקודה על מעגל שרדיוסו 11, ולכן הם תמיד בין −1-1 ל-11. הטנגנס, לעומתם, מקבל כל ערך.

sin⁡x=a cos⁡x=a\begin{aligned}\sin x &= a \\ \ \cos x &= a\end{aligned}

יש פתרון רק כאשר −1≤a≤1-1 \le a \le 1.

tan⁡x=a\tan x = a

יש פתרון לכל aa.

למי מהמשוואות יש פתרון: cos⁡x=−0.9\cos x = -0.9, sin⁡x=1.1\sin x = 1.1, tan⁡x=1.1\tan x = 1.1?

להציג את התשובה והפתרון

ל-cos⁡x=−0.9\cos x = -0.9 ול-tan⁡x=1.1\tan x = 1.1 יש. ל-sin⁡x=1.1\sin x = 1.1 אין — הישר בגובה 1.11.1 עובר מעל המעגל.

הפתרון הכללי

אחרי סיבוב שלם חוזרים לאותה נקודה, ולכן לכל פתרון מוסיפים 360∘k360^\circ k, כאשר kk מספר שלם. זה הפתרון הכללי — כל הפתרונות בבת אחת.

sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+360∘k או x=180∘−α+360∘k\begin{aligned}\sin x &= \sin\alpha \iff x \\ &= \alpha + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 180^\circ - \alpha + 360^\circ k\end{aligned}

שתי נקודות באותו גובה, סימטריות לציר yy.

cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=±α+360∘k\begin{aligned}\cos x &= \cos\alpha \iff x \\ &= \pm\alpha + 360^\circ k\end{aligned}

שתי נקודות באותו רוחב, סימטריות לציר xx.

tan⁡x=tan⁡α  ⟺  x=α+180∘k\begin{aligned}\tan x &= \tan\alpha \iff x \\ &= \alpha + 180^\circ k\end{aligned}

הטנגנס חוזר על עצמו כל חצי סיבוב.

פתרון כללי ופתרונות בתחום

פתרו sin⁡x=−12\sin x = -\frac12: פתרון כללי, ופתרונות בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ.

α=−30∘\alpha = -30^\circ

זווית שהסינוס שלה −12-\frac12 (המחשבון נותן אותה)

x=−30∘+360∘k או x=210∘+360∘k\begin{aligned}x &= -30^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 210^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

180∘−(−30∘)=210∘180^\circ - (-30^\circ) = 210^\circ

k=1: x=330∘k=0: x=210∘\begin{aligned}k &= 1:\ x \\ &= 330^\circ \qquad k \\ &= 0:\ x \\ &= 210^\circ\end{aligned}

בוחרים kk כך שהפתרון ייכנס לתחום

x=210∘ 330∘\begin{aligned}x &= 210^\circ \\ \ 330^\circ\end{aligned}

שני פתרונות, שניהם בחצי התחתון של המעגל

פתרו cos⁡x=12\cos x = \frac12 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ.

להציג את התשובה והפתרון

x=±60∘+360∘kx = \pm 60^\circ + 360^\circ k. מ-+60∘+60^\circ עם k=0k=0 מקבלים 60∘60^\circ, ומ-−60∘-60^\circ עם k=1k=1 מקבלים 300∘300^\circ. שימו לב: הכלל של הקוסינוס הוא ±\pm, לא 180∘180^\circ פחות.

התחום קובע כמה פתרונות רושמים

0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ

סיבוב אחד — לרוב שני פתרונות.

0∘≤x≤90∘0^\circ \le x \le 90^\circ

לפעמים רק אחד נכנס.

x כלשהוx \ \text{כלשהו}

אינסוף פתרונות — כותבים את הפתרון הכללי.

שלוש הטעויות של המשוואות.

sin⁡x=12⇒x=30∘\begin{aligned}\sin x &= \tfrac12 \Rightarrow x \\ &= 30^\circ\end{aligned}
x=30∘+360∘k או x=150∘+360∘k\begin{aligned}x &= 30^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 150^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

הפתרון השני אינו בונוס. בלעדיו הסעיף חלקי.

cos⁡x=a⇒x=180∘−α\begin{aligned}\cos x &= a \Rightarrow x \\ &= 180^\circ - \alpha\end{aligned}
cos⁡x=a⇒x=±α+360∘k\begin{aligned}\cos x &= a \Rightarrow x \\ &= \pm\alpha + 360^\circ k\end{aligned}

ערבוב בין שני הכללים: 180∘180^\circ פחות שייך לסינוס.

tan⁡x=a⇒x=α+360∘k\begin{aligned}\tan x &= a \Rightarrow x \\ &= \alpha + 360^\circ k\end{aligned}
x=α+180∘kx = \alpha + 180^\circ k

מחזור הטנגנס הוא 180∘180^\circ — עם 360∘360^\circ מאבדים חצי מהפתרונות.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו sin⁡x=0.5\sin x = 0.5 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

x1=30°x_1 = 30°

המחשבון

180−30=150°180 - 30 = 150°

והכלל

שתי תשובות: 30°30° ו-150°150°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו cos⁡x=0.5\cos x = 0.5 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 300

הפתרון:

x1=60°x_1 = 60°
360−60=300°360 - 60 = 300°

כלל הקוסינוס

360360 פחות, לא 180180 פחות. זה ההבדל בין שני הכללים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה פתרונות יש ל-sin⁡x=1\sin x = 1 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

∣a∣=1|a| = 1

הישר משיק למעגל

x=90°x = 90°

נקודה אחת בלבד

המקרה היחיד עם פתרון אחד. בכל ערך אחר בתחום יש שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה פתרונות יש ל-sin⁡x=2\sin x = 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

∣2∣>1|2| > 1

מחוץ לתחום הסינוס

הישר עובר מחוץ למעגל. הסינוס לעולם אינו עולה על 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון sin⁡x1=a\sin x_1 = a ו-x1x_1 פתרון. מהו הפתרון השני?

  1. 180°−x1180° - x_1
  2. −x1-x_1
  3. x1+180°x_1 + 180°
  4. 360°−x1360° - x_1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 180°−x1180° - x_1

הפתרון:

sin⁡(180∘−x1)=sin⁡x1\sin(180^\circ - x_1) = \sin x_1

הסינוס חיובי ברביעים I ו-II

360°−x1360° - x_1 הוא כלל הקוסינוס, ו-x1+180°x_1 + 180° כלל הטנגנס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו sin⁡x=−0.5\sin x = -0.5 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הקטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 210

הפתרון:

sin⁡x<0\sin x < 0

הסינוס שלילי ברביעים III ו-IV

x=210°  330°\begin{aligned}x &= 210° \ \\ \ 330°\end{aligned}

ערך שלילי מזיז את שני הפתרונות למחצית התחתונה של המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו tan⁡x=1\tan x = 1 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הגדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 225

הפתרון:

x1=45°x_1 = 45°
45+180=225°45 + 180 = 225°

מחזור הטנגנס

הטנגנס חוזר כל 180°180°, ולכן ההפרש בין הפתרונות הוא 180180 ולא 360360.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כמה פתרונות יש ל-sin⁡x=0.5\sin x = 0.5 בתחום 0°≤x<180°0° \leq x < 180°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

30° ו-150°30° \ \text{ו-} 150°

שניהם קטנים מ-180°180°

כאן שניהם נכנסים. בתחום 0°0° עד 90°90° היה נכנס רק אחד — התחום קובע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו הפתרון הכללי של המשוואה cos⁡x=−22\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}?

  1. x=±45∘+360∘kx = \pm 45^\circ + 360^\circ k
  2. x=135∘+360∘kx = 135^\circ + 360^\circ k או x=45∘+360∘kx = 45^\circ + 360^\circ k
  3. x=135∘+180∘kx = 135^\circ + 180^\circ k
  4. x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k

הפתרון:

cos⁡135∘=−22\cos 135^\circ = -\tfrac{\sqrt2}{2}

זווית אחת: רביע שני, נשען על 45∘45^\circ

x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס

k=1: −135∘+360∘=225∘\begin{aligned}k &= 1:\ -135^\circ + 360^\circ \\ &= 225^\circ\end{aligned}

בדיקה: 225∘225^\circ ברביע השלישי, גם שם הקוסינוס שלילי

התשובה: x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k. «135∘135^\circ או 45∘45^\circ» הוא כלל הסינוס (180∘180^\circ פחות), ו-±45∘\pm 45^\circ שוכח את המינוס של aa.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: לאילו משוואות יש פתרון?

  • יש פתרון
  • אין פתרון
  • cos⁡x=−1\cos x = -1
  • cos⁡x=3\cos x = \sqrt3
  • cos⁡x=1.5\cos x = 1.5
  • sin⁡x=−1.2\sin x = -1.2
  • sin⁡x=0.99\sin x = 0.99
  • tan⁡x=50\tan x = 50
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡x=0.99\sin x = 0.99 — יש פתרון · cos⁡x=−1\cos x = -1 — יש פתרון · tan⁡x=50\tan x = 50 — יש פתרון · sin⁡x=−1.2\sin x = -1.2 — אין פתרון · cos⁡x=3\cos x = \sqrt3 — אין פתרון · cos⁡x=1.5\cos x = 1.5 — אין פתרון

הפתרון:

−1≤sin⁡x≤1,  −1≤cos⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1,\ \ -1 \le \cos x \le 1

סינוס וקוסינוס כלואים

3≈1.73>1\sqrt3 \approx 1.73 > 1

מחוץ לתחום

tan⁡x∈R\tan x \in \mathbb{R}

לטנגנס אין הגבלה

המלכודת: tan⁡x=50\tan x = 50. המספר גדול, אבל לטנגנס יש פתרון לכל ערך — רק סינוס וקוסינוס מוגבלים ל-[−1, 1][-1,\,1].

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת