הגרפים ומחזוריות · פונקציות טריגונומטריות · כיתה י׳

במעגל היחידה ראינו נקודה אחת מסתובבת. עכשיו פורשים את הסיבוב על ציר: הזווית $x$ על הציר האופקי, והסינוס או הקוסינוס שלה על הציר האנכי. מה שמתקבל הוא גל שחוזר על עצמו.

הגרפים של y = sin x ושל y = cos x

y = sin x
y = cos x

לפי הגרף: באילו ערכי $x$ בתחום $-180^\circ \le x \le 540^\circ$ מקבל $\cos x$ את ערכו הגדול ביותר? ומה הערך?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x = 0^\circ$ וב- $x = 360^\circ$ , והערך הוא $1$ — שם הנקודה על המעגל נמצאת בקצה הימני. הערך אחד, המקומות רבים.

מחזור, תחום ערכים, אפסים

\sin(x + 360^\circ) = \sin x

המחזור של $\sin x$ ושל $\cos x$ הוא $360^\circ$ : אחרי $360^\circ$ הגרף חוזר על עצמו.

-1 \le \sin x \le 1

תחום הערכים של שתיהן הוא $[-1,\,1]$ .

\begin{aligned}\sin x &= 0 \iff x \\ &= 180^\circ k\end{aligned}

האפסים של הסינוס. של הקוסינוס: $x = 90^\circ + 180^\circ k$ .

הסימטריות מהשיעור הקודם נראות כאן בעין: $\cos(-x) = \cos x$ — הגרף של הקוסינוס סימטרי לציר $y$ , כלומר זוגי. $\sin(-x) = -\sin x$ — הגרף של הסינוס סימטרי לראשית, אי-זוגי.

הגרף של y = tan x

לטנגנס אסימפטוטות אנכיות במקומות שבהם $\cos x = 0$ , תחום הערכים שלו הוא כל המספרים, והמחזור שלו $180^\circ$ .

מה המחזור של $y = \tan 2x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

המחזור של $\tan$ הוא $180^\circ$ , והכפל ב- $2$ מכווץ אותו פי $2$ : $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ .

הפונקציה $y = A\sin(ax) + B$

|A|

האמפליטודה: הגל עולה ויורד $|A|$ מעל ומתחת לקו האמצע.

\frac{360^\circ}{|a|}

המחזור: $a$ גדול יותר — גל צפוף יותר.

y = B

קו האמצע. הערך הגדול ביותר $B + |A|$ , והקטן ביותר $B - |A|$ .

פעילות אינטראקטיבית

קוראים פונקציה בלי לשרטט

נתונה $f(x) = -3\cos(2x) + 1$ . מצאו את המחזור, את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f$ , ואת מקום המקסימום הראשון בתחום $x \ge 0$ .

מה המחזור?

$\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

המקדם של $x$ מכווץ את המחזור.

$360^\circ \cdot 2 = 720^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

כפל ב- $2$ בפנים מאיץ את הגל, הוא לא מאט אותו.

$360^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

זה המחזור של $\cos x$ לפני הכיווץ.

\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{2} \\ &= 180^\circ\end{aligned}

מהו תחום הערכים?

$[-2,\,4]$

להציג את התשובה והפתרון

$\cos(2x)$ בין $-1$ ל- $1$ ; כפל ב- $-3$ נותן בין $-3$ ל- $3$ ; ועוד $1$ .

$[-4,\,2]$

להציג את התשובה והפתרון

כך מקבלים אם מוסיפים $-1$ במקום $1$ .

$[-3,\,3]$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את ההזזה $+1$ .

-3 \le -3\cos(2x) \le 3 \ \Rightarrow\ -2 \le f(x) \le 4

המינוס לא משנה את גודל האמפליטודה.

היכן המקסימום הראשון?

כאשר $\cos(2x) = -1$

להציג את התשובה והפתרון

בגלל המינוס, הערך הגדול ביותר מתקבל כשהקוסינוס הכי קטן.

כאשר $\cos(2x) = 1$ , כלומר ב- $x = 0^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$f(0) = -3 + 1 = -2$ — זה המינימום.

\begin{aligned}2x &= 180^\circ \ \Rightarrow\ x \\ &= 90^\circ \\ \quad f(90^\circ) &= 4\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

המחזור $180^\circ$ , הערך הגדול ביותר $4$ (לראשונה ב- $x = 90^\circ$ ), הערך הקטן ביותר $-2$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

עוד פונקציה אחת

מצאו מחזור ותחום ערכים של $y = 2\sin(3x) - 5$ .

\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{3} \\ &= 120^\circ\end{aligned}

המחזור

-2 \le 2\sin(3x) \le 2

אמפליטודה $2$

-7 \le y \le -3

הזזה ב- $-5$

שלוש טעויות קריאה.

\begin{aligned}y &= \sin(2x) \Rightarrow T \\ &= 720^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{2} \\ &= 180^\circ\end{aligned}

המקדם של $x$ מחלק את המחזור.

\begin{aligned}y &= -4\sin x + 1 \Rightarrow \max \\ &= -3\end{aligned}

\begin{aligned}\max &= 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

האמפליטודה היא $|A|$ . המינוס רק הופך את הגל.

y = 2\sin x \Rightarrow -1 \le y \le 1

-2 \le y \le 2

הכפל מחוץ לסינוס מותח את הגל לגובה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו המחזור של $f(x) = \sin(4x)$ , במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

T = \frac{360^\circ}{4}

המקדם של $x$ מחלק את המחזור

T = 90^\circ

המלכודת: $1440^\circ$ . כפל ב- $4$ בתוך הסינוס מאיץ את הגל — ארבעה גלים שלמים בכל $360^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הערך הגדול ביותר של $f(x) = -3\cos x + 2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

-1 \le \cos x \le 1

-3 \le -3\cos x \le 3

כפל במספר שלילי הופך את הסדר

-1 \le f(x) \le 5

המלכודת: $-1$ , מי שהציב $\cos x = 1$ . בגלל המקדם השלילי, המקסימום מתקבל דווקא כש- $\cos x = -1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו תחום הערכים של $f(x) = 4\sin(2x) - 1$ ?

$[-3,\,5]$
$[-1,\,1]$
$[-4,\,4]$
$[-5,\,3]$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $[-5,\,3]$

הפתרון:

-4 \le 4\sin(2x) \le 4

אמפליטודה $4$

-5 \le f(x) \le 3

הזזה ב- $-1$

התשובה: $[-5,\,3]$ . « $[-4,\,4]$ » שכח את ההזזה; « $[-3,\,5]$ » הזיז למעלה במקום למטה. ה- $2$ שבפנים משנה את המחזור בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

התאימו לכל פונקציה את המחזור שלה.

$y = \sin(3x)$
$y = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$
$y = \tan x$
$y = \tan(2x)$
$y = 5\sin x$

$120^\circ$
$180^\circ$
$360^\circ$
$720^\circ$
$90^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y = \sin(3x)$ — $120^\circ$ · $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ — $720^\circ$ · $y = \tan x$ — $180^\circ$ · $y = \tan(2x)$ — $90^\circ$ · $y = 5\sin x$ — $360^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{360^\circ}{3} &= 120^\circ \\ \quad \frac{360^\circ}{1/2} &= 720^\circ\end{aligned}

סינוס וקוסינוס

\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ

לטנגנס מחזור בסיסי $180^\circ$

5\sin x

המקדם בחוץ לא משנה את המחזור

המלכודת: $5\sin x$ . המקדם מחוץ לסינוס משנה את הגובה בלבד, והמחזור נשאר $360^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הגרף של $y = \cos x$ סימטרי ביחס לציר $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\cos(-x) = \cos x

שיקוף בציר $x$ על מעגל היחידה שומר על ה- $x$

(x,\,y) \in \text{גרף} \Rightarrow (-x,\,y) \in \text{גרף}

זו בדיוק סימטריה לציר $y$

נכון: הקוסינוס זוגי. המלכודת היא לייחס את אותה סימטריה לסינוס — הסינוס אי-זוגי, וגרפו סימטרי לראשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הגרף של f

בציור הגרף של פונקציה $f$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ . איזו פונקציה מתאימה לגרף?

$f(x) = 2\sin x + 1$
$f(x) = 2\cos x + 1$
$f(x) = \sin x + 2$
$f(x) = \sin(2x) + 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $f(x) = 2\sin x + 1$

הפתרון:

f(0^\circ) = 1

הגרף יוצא מגובה $1$ ועולה — מתאים לסינוס, לא לקוסינוס

\begin{aligned}\max &= 3 \\ \ \min &= -1\end{aligned}

קו האמצע $1$ , אמפליטודה $2$

T = 360^\circ

גל שלם אחד בתחום

התשובה: $2\sin x + 1$ . « $2\cos x + 1$ » מתחיל ב- $3$ ; « $\sin(2x) + 1$ » משלים שני גלים; « $\sin x + 2$ » נע בין $1$ ל- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה נקודות חיתוך עם ציר $x$ יש לגרף של $y = \sin x$ בתחום $0^\circ \le x \le 720^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}\sin x &= 0 \iff x \\ &= 180^\circ k\end{aligned}

האפסים

\begin{aligned}x &= 0^\circ \\ \ 180^\circ \\ \ 360^\circ \\ \ 540^\circ \\ \ 720^\circ\end{aligned}

חמישה ערכים של $k$ : מ- $0$ עד $4$

המלכודת: $4$ . התחום סגור, ושני הקצוות $0^\circ$ ו- $720^\circ$ הם אפסים בעצמם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $f(x) = 5\cos(2x) - 3$ . השלימו.

הערך הגדול ביותר של $f$ הוא ____, הערך הקטן ביותר הוא ____, והמחזור הוא ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הערך הגדול ביותר של $f$ הוא 2, הערך הקטן ביותר הוא -8, והמחזור הוא 180 מעלות.

הפתרון:

-5 \le 5\cos(2x) \le 5

-8 \le f(x) \le 2

הזזה ב- $-3$

\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{2} \\ &= 180^\circ\end{aligned}

המלכודת: לחשוב שה- $2$ שבפנים משפיע על הגובה. הוא משפיע רק על המחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגרף של y = A cos(ax)

בציור הגרף של $y = A\cos(ax)$ , כאשר $A > 0$ ו- $a > 0$ . מהו $a$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}\max &= 3 \Rightarrow A \\ &= 3\end{aligned}

הגובה המרבי

T = 180^\circ

מקסימום ב- $0^\circ$ ושוב ב- $180^\circ$

\begin{aligned}\frac{360^\circ}{a} &= 180^\circ \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

המלכודת: למדוד את המחזור ממקסימום למינימום ( $90^\circ$ ) ולקבל $a = 4$ . זה חצי מחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: האם כל ערכי הפונקציה נמצאים בין $-1$ ל- $1$ ?

כן
לא

$y = -\sin x$
$y = \cos(x - 40^\circ)$
$y = \sin x + 1$
$y = \sin(5x)$
$y = \tan x$
$y = 2\cos x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y = \sin(5x)$ — כן · $y = \cos(x - 40^\circ)$ — כן · $y = -\sin x$ — כן · $y = 2\cos x$ — לא · $y = \tan x$ — לא · $y = \sin x + 1$ — לא

הפתרון:

\sin(5x),\ \cos(x-40^\circ)

שינוי בתוך הסוגריים לא משנה את הגובה

-1 \le -\sin x \le 1

שיקוף משאיר את התחום

2\cos x \le 2,\ \ \sin x + 1 \le 2,\ \ \tan x \in \mathbb{R}

המלכודת: $\cos(x - 40^\circ)$ . ההזזה אופקית, והגל נשאר באותו גובה בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מחזור, תחום ערכים, אפסים

הפונקציה y=Asin⁡(ax)+By = A\sin(ax) + By=Asin(ax)+B

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

הפונקציה $y = A\sin(ax) + B$