זהויות וסימטריות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הנקודה PP של הזווית α\alpha יושבת על מעגל סימטרי לגמרי. משקפים אותה בציר xx, בציר yy או באלכסון y=xy=x — ומקבלים נקודה של זווית אחרת, עם אותם מספרים בדיוק, אולי עם סימן הפוך. כל הזהויות של הפרק הן שיקופים כאלה.

הנקודה P בזווית α, והשיקופים שלה Q ו-R
PQR-1-0.500.51-1-0.50.51xy

בציור QQ היא השיקוף של PP בציר xx. לאיזו זווית QQ מתאימה, ומה אפשר להסיק על sin⁡(−α)\sin(-\alpha)?

להציג את התשובה והפתרון

QQ מתאימה לזווית −α-\alpha (סיבוב באותו גודל עם כיוון השעון). השיקוף בציר xx שומר על ה-xx והופך את הגובה, ולכן cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha ו-sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha.

הסימטריות

sin⁡(−α)=−sin⁡αcos⁡(−α)=cos⁡α\begin{aligned}\sin(-\alpha) &= -\sin\alpha \\ \quad \cos(-\alpha) &= \cos\alpha\end{aligned}

שיקוף בציר xx.

sin⁡(180∘−α)=sin⁡αcos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\begin{aligned}\sin(180^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ \quad \cos(180^\circ - \alpha) &= -\cos\alpha\end{aligned}

שיקוף בציר yy — הנקודה RR בציור.

sin⁡(α+360∘)=sin⁡αcos⁡(α+360∘)=cos⁡α\begin{aligned}\sin(\alpha + 360^\circ) &= \sin\alpha \\ \quad \cos(\alpha + 360^\circ) &= \cos\alpha\end{aligned}

סיבוב שלם — מחזוריות.

הזווית המשלימה: cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

במשולש ישר זווית שתי הזוויות החדות משלימות ל-90∘90^\circ, והניצב שמול האחת הוא הניצב שליד השנייה. על המעגל זה שיקוף באלכסון y=xy=x: השיקוף מחליף בין xx ל-yy.

cos⁡(90∘−α)=sin⁡αsin⁡(90∘−α)=cos⁡α\begin{aligned}\cos(90^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ \qquad \sin(90^\circ - \alpha) &= \cos\alpha\end{aligned}

השלימו: cos⁡70∘=sin⁡ ?\cos 70^\circ = \sin\ ?

להציג את התשובה והפתרון

cos⁡70∘=sin⁡(90∘−70∘)=sin⁡20∘\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ. בודקים במחשבון: שניהם בערך 0.3420.342.

הטנגנס

tan⁡α=sin⁡αcos⁡αcos⁡α≠0\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ \qquad \cos\alpha \neq 0\end{aligned}

הטנגנס הוא השיפוע של הקרן OPOP. ב-90∘90^\circ וב-270∘270^\circ הקרן אנכית — ואין לה שיפוע.

מסימן המונה והמכנה: הטנגנס חיובי ברביעים I ו-III ושלילי ב-II וב-IV.

ערכים מדויקים מתוך קוסינוס

נתון cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13} ו-α\alpha ברביע השלישי. מצאו את sin⁡α\sin\alpha ואת tan⁡α\tan\alpha.

sin⁡2α=1−25169=144169\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - \tfrac{25}{169} \\ &= \tfrac{144}{169}\end{aligned}

הזהות היסודית

sin⁡α=−1213\sin\alpha = -\tfrac{12}{13}

ברביע השלישי הסינוס שלילי

tan⁡α=−12/13−5/13=125\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-12/13}{-5/13} \\ &= \tfrac{12}{5}\end{aligned}

מינוס חלקי מינוס — הטנגנס חיובי ברביע השלישי

שלוש החלפות שעולות נקודות.

sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha) = \sin\alpha
sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha

הקוסינוס זוגי, הסינוס אי-זוגי. השיקוף בציר xx הופך את הגובה.

tan⁡α=cos⁡αsin⁡α\tan\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

שיפוע הוא yx\frac{y}{x}, והגובה הוא הסינוס.

sin⁡2α=0.64⇒sin⁡α=0.8\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 0.64 \Rightarrow \sin\alpha \\ &= 0.8\end{aligned}
sin⁡α=±0.8\sin\alpha = \pm 0.8

הזהות לא יודעת באיזה רביע אתם — הנתון על הרביע כן.

זהות נכונה לכל זווית, ומוכיחים אותה. משוואה נכונה רק לזוויות מסוימות, ופותרים אותה. «הוכיחו כי» מבקש זהות — אסור להציב זווית אחת ולהכריז שהוכחתם.

תרגילים

תרגיל 1

נתון cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13} ו-180∘<α<270∘180^\circ < \alpha < 270^\circ. מהו tan⁡α\tan\alpha? (תשובה עשרונית)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.4

הפתרון:

sin⁡2α=1−25169=144169\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - \tfrac{25}{169} \\ &= \tfrac{144}{169}\end{aligned}

הזהות היסודית

sin⁡α=−1213\sin\alpha = -\tfrac{12}{13}

רביע שלישי

tan⁡α=−12/13−5/13=125=2.4\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-12/13}{-5/13} \\ &= \tfrac{12}{5} \\ &= 2.4\end{aligned}

שני שליליים

המלכודת: −2.4-2.4. ברביע השלישי גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן הטנגנס חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לאיזה ביטוי שווה cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha) לכל זווית α\alpha?

  1. −sin⁡α-\sin\alpha
  2. −cos⁡α-\cos\alpha
  3. sin⁡α\sin\alpha
  4. cos⁡α\cos\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −cos⁡α-\cos\alpha

הפתרון:

180∘−α180^\circ - \alpha

שיקוף של PP בציר yy

(x, y)→(−x, y)(x,\,y) \to (-x,\,y)

ה-xx מתהפך והגובה נשאר

cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha

הקוסינוס הוא ה-xx

התשובה: −cos⁡α-\cos\alpha. «cos⁡α\cos\alpha» מבלבל עם cos⁡(−α)\cos(-\alpha); «sin⁡α\sin\alpha» מבלבל עם cos⁡(90∘−α)\cos(90^\circ - \alpha).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הביעו באמצעות sin⁡α\sin\alpha את הביטוי cos⁡2α−1\cos^2\alpha - 1.

  1. sin⁡2α\sin^2\alpha
  2. −sin⁡2α-\sin^2\alpha
  3. 1−sin⁡2α1 - \sin^2\alpha
  4. −sin⁡α-\sin\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −sin⁡2α-\sin^2\alpha

הפתרון:

cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha

מהזהות היסודית

cos⁡2α−1=1−sin⁡2α−1\cos^2\alpha - 1 = 1 - \sin^2\alpha - 1

מציבים

=−sin⁡2α= -\sin^2\alpha

מצמצמים

התשובה: −sin⁡2α-\sin^2\alpha. «1−sin⁡2α1 - \sin^2\alpha» הוא cos⁡2α\cos^2\alpha עצמו — שכחו להחסיר את ה-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

האם ייתכן ש-tan⁡α=3\tan\alpha = 3, וגם sin⁡α<0\sin\alpha < 0 וגם cos⁡α>0\cos\alpha > 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

sin⁡α<0, cos⁡α>0\sin\alpha < 0,\ \cos\alpha > 0

רביע רביעי

tan⁡α=−+<0\tan\alpha = \frac{-}{+} < 0

ברביע הרביעי הטנגנס שלילי

3>03 > 0

סתירה

לא ייתכן. טנגנס חיובי דורש סינוס וקוסינוס באותו סימן — רביע I או III.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון tan⁡α=2\tan\alpha = 2 ו-α\alpha זווית חדה. מהו cos⁡2α\cos^2\alpha? (תשובה עשרונית)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

sin⁡α=2cos⁡α\sin\alpha = 2\cos\alpha

מ-tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=2\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2

4cos⁡2α+cos⁡2α=14\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

מציבים בזהות היסודית

cos⁡2α=15=0.2\begin{aligned}\cos^2\alpha &= \tfrac15 \\ &= 0.2\end{aligned}

המלכודת: להציב sin⁡α=2\sin\alpha = 2. הנתון הוא על היחס, לא על הסינוס — ולכן מבטאים את הסינוס באמצעות הקוסינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון cos⁡α=0.28\cos\alpha = 0.28 ו-270∘<α<360∘270^\circ < \alpha < 360^\circ. בחישוב של sin⁡α\sin\alpha שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha
sin⁡2α=1−0.0784=0.9216\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - 0.0784 \\ &= 0.9216\end{aligned}
sin⁡α=0.96\sin\alpha = 0.96
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡α=0.96\sin\alpha = 0.96 → sin⁡α=−0.96\sin\alpha = -0.96

הפתרון:

sin⁡2α=0.9216\sin^2\alpha = 0.9216

עד כאן נכון

sin⁡α=±0.96\sin\alpha = \pm 0.96

לשורש שני סימנים

270∘<α<360∘⇒sin⁡α<0270^\circ<\alpha<360^\circ \Rightarrow \sin\alpha<0

ברביע הרביעי הגובה שלילי

המלכודת: לקחת את השורש החיובי מתוך הרגל. הרביע הרביעי נמצא מתחת לציר xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל ביטוי את הביטוי השווה לו, לכל α\alpha שבו הם מוגדרים.

  • sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha)
  • cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha)
  • sin⁡(−α)\sin(-\alpha)
  • cos⁡(−α)\cos(-\alpha)
  • tan⁡(α+180∘)\tan(\alpha + 180^\circ)
  • −cos⁡α-\cos\alpha
  • −sin⁡α-\sin\alpha
  • cos⁡α\cos\alpha
  • sin⁡α\sin\alpha
  • tan⁡α\tan\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha) — sin⁡α\sin\alpha · cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha) — −cos⁡α-\cos\alpha · sin⁡(−α)\sin(-\alpha) — −sin⁡α-\sin\alpha · cos⁡(−α)\cos(-\alpha) — cos⁡α\cos\alpha · tan⁡(α+180∘)\tan(\alpha + 180^\circ) — tan⁡α\tan\alpha

הפתרון:

180∘−α180^\circ - \alpha

שיקוף בציר yy: הגובה נשאר, ה-xx מתהפך

−α-\alpha

שיקוף בציר xx: ה-xx נשאר, הגובה מתהפך

α+180∘\alpha + 180^\circ

הנקודה הנגדית: שני הסימנים מתהפכים, והמנה לא משתנה

המלכודת: להחליף בין sin⁡(−α)\sin(-\alpha) ל-sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha). במינוס הגובה מתהפך; ב-180∘180^\circ פחות הוא נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו כי לכל זווית α\alpha מתקיים (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2.

  • α\alpha זווית כלשהי
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

(sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2

להציג את התשובה והפתרון
  1. (sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha — נוסחת הכפל המקוצר לסכום
  2. (sin⁡α−cos⁡α)2=sin⁡2α−2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha — נוסחת הכפל המקוצר להפרש
  3. (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2sin⁡2α+2cos⁡2α(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha — מחברים — האיברים המעורבים מתבטלים
  4. 2sin⁡2α+2cos⁡2α=2(sin⁡2α+cos⁡2α)2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = 2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) — הוצאת גורם משותף
  5. (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2 — הזהות היסודית

הפתרון:

2(sin⁡2α+cos⁡2α)=2⋅1=2\begin{aligned}2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) &= 2 \cdot 1 \\ &= 2\end{aligned}

פותחים, מבטלים, ומציבים את הזהות

המלכודת: להציב α=0∘\alpha = 0^\circ, לקבל 22 ולהכריז שהוכחתם. דוגמה אחת לא מוכיחה זהות — צריך לעבוד עם α\alpha כללית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון sin⁡20∘≈0.342\sin 20^\circ \approx 0.342. חשבו בלי מחשבון את cos⁡70∘+sin⁡160∘+sin⁡(−20∘)\cos 70^\circ + \sin 160^\circ + \sin(-20^\circ). (שלוש ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.342

הפתרון:

cos⁡70∘=sin⁡20∘\cos 70^\circ = \sin 20^\circ

הזווית המשלימה

sin⁡160∘=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡20∘\begin{aligned}\sin 160^\circ &= \sin(180^\circ - 20^\circ) \\ &= \sin 20^\circ\end{aligned}

שיקוף בציר yy

sin⁡(−20∘)=−sin⁡20∘\sin(-20^\circ) = -\sin 20^\circ

שיקוף בציר xx

sin⁡20∘+sin⁡20∘−sin⁡20∘=sin⁡20∘≈0.342\sin 20^\circ + \sin 20^\circ - \sin 20^\circ = \sin 20^\circ \approx 0.342

המלכודת: sin⁡(−20∘)\sin(-20^\circ) הוא מינוס sin⁡20∘\sin 20^\circ. מי שהתעלם מהמינוס קיבל 1.0261.026.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פשטו את tan⁡α⋅cos⁡α\tan\alpha \cdot \cos\alpha (עבור cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0).

  1. sin⁡α\sin\alpha
  2. sin⁡2α\sin^2\alpha
  3. 11
  4. cos⁡2αsin⁡α\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א sin⁡α\sin\alpha

הפתרון:

tan⁡α⋅cos⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡α\tan\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha

מציבים את הגדרת הטנגנס

=sin⁡α= \sin\alpha

מצמצמים את cos⁡α\cos\alpha

התשובה: sin⁡α\sin\alpha. «cos⁡2αsin⁡α\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}» מתקבל ממי שהפך את הטנגנס ל-cos⁡sin⁡\frac{\cos}{\sin}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת