למדוד זווית במד-זווית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד כה קראנו לזוויות בשמות — חדה, ישרה, קהה. עכשיו נמדוד אותן במספר, ולשם כך צריך כלי אחד: מד-זווית.

מאין באה המעלה

יחידת המדידה של זווית נקראת מעלה, ומסמנים אותה בעיגול קטן: 45°45°. היא לא נבחרה סתם — היא חלק מזווית שכבר מוכרת לנו.

1°=1901° = \frac{1}{90}

מזווית ישרה.

1°=11801° = \frac{1}{180}

או, אותו דבר, מזווית שטוחה.

360°360°

וסיבוב שלם — ארבע זוויות ישרות.

ארבעה שלבים, ולא שלושה

הבדיקה שתופסת כל טעות סקאלה: קודם מסתכלים, אחר כך קוראים. זווית חדה חייבת לצאת קטנה מ-90, וזווית קהה חייבת לצאת בין 90 ל-180. שני המספרים שמד-הזווית מציע משלימים זה את זה ל-180°180°.

לחבר ולחסר זוויות

כששתי זוויות יוצאות מאותו קודקוד ויש להן שוק משותפת, הן מתחברות ומתחסרות כמו מספרים רגילים — ואפשר לבדוק את זה ישירות במד-זווית.

שתי זוויות סמוכות

הקרן OBOB יוצאת מבין OAOA ל-OCOC. נתון ∠AOB=35°\angle AOB = 35° ו-∠BOC=48°\angle BOC = 48°.

∠AOC=35+48\angle AOC = 35 + 48

הזווית הגדולה היא סכום השתיים

=83°= 83°

ואפשר לאמת במד-זווית

83−48=3583 - 48 = 35

ובכיוון ההפוך — חיסור

וזה בדיוק מה שמאפשר למדוד זווית גדולה מ-180 — זווית נישאה: מודדים את הזווית הקטנה ומחסרים מ-360°360°.

סיבוב שלם: זוויות סביב נקודה

כשכמה קרניים יוצאות מאותה נקודה ומקיפות אותה מכל הצדדים, הזוויות שביניהן ממלאות סיבוב שלם. לכן סכומן תמיד 360°360° — כמה קרניים שלא יהיו.

95°125°70°70°
95°+125°+70°+70°=360°95° + 125° + 70° + 70° = 360°

והשעון הוא מד-זווית מוסווה בדיוק כזה: 12 המספרים מחלקים את הסיבוב ל-12 חלקים שווים, וכל אחד מהם 360:12=30°360 : 12 = 30°.

מה גודל הזווית בין המחוגים בשעה 5:00? ובשעה 7:00?

להציג את התשובה והפתרון

150°150° בשתיהן. ב-5:00 יש חמש קפיצות של 30°30°: 5⋅30=1505 \cdot 30 = 150. ב-7:00 המחוג הקטן עבר את 6, ולכן סופרים מהצד השני: 12−7=512 - 7 = 5 שעות — שוב 150°150°.

בשעה שאינה עגולה — זהירות: גם המחוג הקטן זז. בחצי שעה הוא עובר חצי מהדרך אל המספר הבא, כלומר 15°15°. ב-9:30 הוא לא על 9, אלא באמצע בין 9 ל-10.

להשוות בלי למדוד בכלל

לפני שהיה מד-זווית, השוו זוויות בדרך אחרת — וכדאי להכיר אותה, כי היא מסבירה מה זווית היא.

מעתיקים זווית אחת על שקף או גוזרים אותה, ומניחים אותה על השנייה: קודקוד על קודקוד, שוק על שוק. ואז יש בדיוק שתי אפשרויות.

α=β\alpha = \beta

השוק השנייה מתלכדת — הזוויות שוות.

α<β\alpha < \beta

השוק השנייה של α\alpha נופלת בין שתי השוקיים של β\beta — ואז α\alpha קטנה יותר.

אפשר לעשות זאת גם בקיפול: מקפלים את הדף לאורך אחת השוקיים, ורואים לאן נופלת השנייה. זו אותה בדיקה בדיוק, בלי שום כלי.

הניחו זווית א על זווית ב, קודקוד על קודקוד ושוק על שוק. השוק השנייה של א נפלה מחוץ לזווית ב. מה אפשר לומר?

להציג את התשובה והפתרון

זווית א גדולה מזווית ב. «בין השוקיים» פירושו קטנה יותר; «מחוץ להן» פירושו גדולה יותר; «מתלכדת» פירושו שוות. שלוש אפשרויות, ואין רביעית.

כששתי זוויות חולקות קודקוד: הסימון במספור

וכאן נכנס סימון שלישי, שטרם ראינו. כשמאותו קודקוד יוצאות כמה זוויות — אחרי חוצה זווית, אלכסון או קרן נוספת — «הזווית BB» כבר לא אומרת על איזו מדובר.

∠B1 , ∠B2\angle B_1 \ , \ \angle B_2

אות עם מספור — הדרך הקצרה והנפוצה בספרי הלימוד.

∠ABC\angle ABC

שלוש אותיות — ארוך יותר, ואף פעם לא מעורפל.

α , β\alpha \ , \ \beta

אות יוונית — כשנוח לתת לזווית שם קצר משלה.

בכל שלוש השיטות מדובר באותן זוויות. בשרטוט מסמנים את המספר הקטן ליד הקודקוד, בתוך הזווית שאליה הוא שייך — ולכן אפשר תמיד לדעת על איזו מדובר.

שלוש הטעויות של המדידה.

חדה=130°\text{חדה} = 130°
חדה=50°\text{חדה} = 50°

קריאה בסקאלה ההפוכה. השתיים משלימות ל-180, ולכן התיקון הוא 180180 פחות מה שקראתם.

מרכז ליד הקודקוד\text{מרכז ליד הקודקוד}
מרכז על הקודקוד\text{מרכז על הקודקוד}

מד-זווית שהוזז אפילו מעט נותן מספר שגוי. המרכז חייב לשבת על הקודקוד.

קרן ארוכה=זווית גדולה\text{קרן ארוכה} = \text{זווית גדולה}
אורך הקרן אינו נמדד\text{אורך הקרן אינו נמדד}

זווית מודדת פתיחה. קרן שמסתיימת לפני קשת מד-הזווית — פשוט מאריכים אותה בסרגל.

עכשיו נתרגל: לקרוא נכון, לחבר, לחסר ולהשוות.

תרגילים

תרגיל 1

כמה מעלות בזווית ישרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

360:4=90360 : 4 = 90

רבע מסיבוב שלם

וזו גם ההגדרה של המעלה: חלק אחד מתוך 90 של זווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

?
הזווית שנמדדה

זווית נראית חדה, ובמד-הזווית נקראו 130°130°. מהי הזווית האמיתית במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

180−130=50180 - 130 = 50

שתי הסקאלות משלימות ל-180

הבדיקה קודמת לקריאה: חדה חייבת לצאת קטנה מ-90.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

35°48°?OABC

∠AOB=35°\angle AOB = 35° ו-∠BOC=48°\angle BOC = 48°, והקרן OBOB נמצאת ביניהן. כמה מעלות ב-∠AOC\angle AOC?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 83

הפתרון:

35+48=8335 + 48 = 83

זוויות מאותו קודקוד מתחברות

התנאי הוא שוק משותפת וקודקוד משותף — בלעדיהם אי אפשר לחבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

47°?112°OABC

∠AOC=112°\angle AOC = 112°, והקרן OBOB מחלקת אותה כך ש-∠AOB=47°\angle AOB = 47°. כמה מעלות ב-∠BOC\angle BOC?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65

הפתרון:

112−47=65112 - 47 = 65

חיסור זוויות

אותו כלל, בכיוון ההפוך. הסכום נתון, וחלק אחד חסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

?

מניחים מד-זווית על זווית קהה. הקרן השנייה עוברת ליד שני מספרים: 3535 ו-145145. כמה מעלות בזווית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 145

הפתרון:

35+145=18035 + 145 = 180

שתי הסקאלות משלימות ל-180

145>90145 > 90

הזווית קהה, ולכן היא המספר הגדול

הטעות: לקרוא 3535 בסקאלה ההפוכה. זווית קהה חייבת לצאת גדולה מ-90.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הקרן הראשונה עוברת דרך ה-0 של הסקאלה הפנימית. הקרן השנייה עוברת ליד 7070 בסקאלה החיצונית וליד 110110 בסקאלה הפנימית. מה גודל הזווית?

  1. 110°110°
  2. 70°70°
  3. 40°40°
  4. 180°180°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 110°110°

הפתרון:

פנימית: 0→110\text{פנימית: } 0 \rightarrow 110

קוראים בסקאלה שמתחילה ב-0 על הקרן הראשונה

70+110=18070 + 110 = 180

והמספר השני משלים ל-180

הסקאלה שקובעת היא זו שה-0 שלה יושב על הקרן הראשונה. 7070 הוא הקריאה בסקאלה ההפוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שני המספרים שהקרן השנייה עוברת לידם במד-הזווית מסתכמים תמיד ל-180°180°.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

50+130=18050 + 130 = 180

דוגמה: זווית של 50°

שתי הסקאלות רצות בכיוונים הפוכים על אותו חצי עיגול, ולכן הן משלימות ל-180°180°. בזה בודקים כל קריאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

היכן מניחים את מרכז מד-הזווית?

  1. על קצה אחת הקרניים
  2. על קודקוד הזווית
  3. באמצע בין שתי הקרניים
  4. לא משנה, העיקר הקריאה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב על קודקוד הזווית

הפתרון:

מרכז→קודקוד\text{מרכז} \rightarrow \text{קודקוד}

על הקודקוד, לא לידו

מד-זווית שהוזז אפילו מעט מהקודקוד נותן מספר שגוי — וזו הטעות השנייה בשכיחותה אחרי הסקאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

75°?

זווית נישאה משלימה זווית של 75°75° לסיבוב שלם. כמה מעלות בה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 285

הפתרון:

360−75=285360 - 75 = 285

הצד הגדול של אותה פתיחה

מד-זווית מודד עד 180, ולכן זווית נישאה נמדדת בעקיפין: מודדים את הקטנה ומחסרים מ-360.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מניחים זווית א על זווית ב — קודקוד על קודקוד, שוק על שוק. השוק השנייה של א נופלת בין שוקי ב. מה נכון?

  1. א גדולה מ-ב
  2. א קטנה מ-ב
  3. הן שוות
  4. אי אפשר לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב א קטנה מ-ב

הפתרון:

α<β\alpha < \beta

נופלת בפנים — קטנה יותר

שלוש אפשרויות בלבד: בפנים — קטנה; מתלכדת — שווה; בחוץ — גדולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הארכת שוקי הזווית בסרגל מגדילה את הזווית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

45°→45°45° \rightarrow 45°

הקרן הוארכה, הפתיחה לא זזה

זווית מודדת פתיחה, לא אורך. מאריכים את הקרניים בדיוק כדי שיגיעו לקשת מד-הזווית — וזה לא משנה את המדידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בשרטוט יוצאות מהקודקוד BB שתי זוויות. מה הסימון הנכון לזווית אחת מהן?

  1. ∠B1\angle B_1
  2. ∠1\angle 1
  3. BB
  4. ∠B\angle B
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ∠B1\angle B_1

הפתרון:

∠B1 , ∠B2\angle B_1 \ , \ \angle B_2

המספור מפריד בין זוויות של אותו קודקוד

«∠B\angle B» אינו מספיק כשיש כמה זוויות באותו קודקוד. המספור — או שלוש האותיות — מסירים את הערפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

השלימו

שתי הסקאלות של מד-הזווית משלימות זו את זו ל-____ מעלות, וסיבוב שלם הוא ____ מעלות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שתי הסקאלות של מד-הזווית משלימות זו את זו ל-180 מעלות, וסיבוב שלם הוא 360 מעלות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

סדרו את שלבי המדידה במד-זווית

  • בוחרים את הסקאלה שמתחילה באפס על הקרן שלנו
  • מניחים את מרכז מד-הזווית על הקודקוד
  • מסובבים עד שקרן אחת עוברת דרך האפס
  • עוקבים אחרי הקרן השנייה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מניחים את מרכז מד-הזווית על הקודקוד · מסובבים עד שקרן אחת עוברת דרך האפס · עוקבים אחרי הקרן השנייה · בוחרים את הסקאלה שמתחילה באפס על הקרן שלנו

הפתרון:

קודקוד→0→קריאה\text{קודקוד} \rightarrow 0 \rightarrow \text{קריאה}

שלושה שלבים

40° או 140°40° \ \text{או} \ 140°

ורק אז בוחרים את הסקאלה

השלב האחרון הוא זה שמפילים בו — והוא גם היחיד שאפשר לבדוק בלי כלי, לפי צורת הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מה משפיע על גודל הזווית?

  • משפיע
  • לא משפיע
  • אורך הקרניים
  • כיוון הסיבוב של השוק השנייה
  • עובי הקו בשרטוט
  • פתיחת הקרניים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: פתיחת הקרניים — משפיע · אורך הקרניים — לא משפיע · עובי הקו בשרטוט — לא משפיע · כיוון הסיבוב של השוק השנייה — משפיע

הפתרון:

פתיחה≠אורך\text{פתיחה} \neq \text{אורך}

רק הפתיחה נמדדת

רק הפתיחה נמדדת. כל השאר — אורך, עובי, צבע — אינם חלק מהזווית בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

?
זווית קהה

תלמיד מדד זווית קהה. שורה אחת שגויה

המרכז על הקודקוד\text{המרכז על הקודקוד}
קרן אחת על האפס\text{קרן אחת על האפס}
הקריאה: 62°\text{הקריאה: } 62°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקריאה: 62°\text{הקריאה: } 62° → הקריאה: 118°\text{הקריאה: } 118°

הפתרון:

62<9062 < 90

אבל הזווית קהה — סתירה

180−62=118180 - 62 = 118

והתיקון

זווית קהה חייבת לצאת בין 90 ל-180. הקריאה 62°62° באה מהסקאלה ההפוכה, והתיקון הוא 180−62180 - 62.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סיבוב שלם: זוויות סביב נקודה

תרגיל 17

90°110°?75°

ארבע קרניים יוצאות מהנקודה OO ויוצרות סביבה ארבע זוויות. שלוש מהן הן 90°90°, 110°110° ו-75°75°. מה גודל הזווית הרביעית, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 85

הפתרון:

90+110+75=27590 + 110 + 75 = 275

סכום שלוש הזוויות הידועות

360−275=85360 - 275 = 85

סביב נקודה — סיבוב שלם

הזוויות סביב נקודה ממלאות סיבוב שלם, 360°360° — ולא 180°180°. מי שמחסר מ-180180 מקבל מספר שלילי, וזה הסימן שהכלל לא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

x2x4x3x

ארבע זוויות סביב נקודה הן xx, 2x2x, 3x3x ו-4x4x. מה גודל הזווית הגדולה מביניהן, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 144

הפתרון:

x+2x+3x+4x=360x + 2x + 3x + 4x = 360

סביב נקודה

10x=360 ⇒ x=36\begin{aligned}10x &= 360 \ \Rightarrow \ x \\ &= 36\end{aligned}
4x=4⋅36=144\begin{aligned}4x &= 4 \cdot 36 \\ &= 144\end{aligned}

הזווית הגדולה

מצאנו x=36x = 36 — אבל השאלה שואלת על הזווית הגדולה, 4x=144°4x = 144°. בדיקה: 36+72+108+144=36036 + 72 + 108 + 144 = 360 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

12369?

מה גודל הזווית (הקטנה) שבין מחוגי השעון בשעה 4:00 בדיוק, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

360:12=30360 : 12 = 30

כל «שעה» על השעון היא 30°30°

4⋅30=1204 \cdot 30 = 120

מ-12 עד 4 — ארבע שעות

סופרים שעות בין המחוגים, לא דקות: ארבע קפיצות של 30°30°. הטעות הנפוצה היא לחלק ב-60 (דקות) במקום ב-12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

12369?

מה גודל הזווית (הקטנה) שבין מחוגי השעון בשעה 9:30 בדיוק, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 105

הפתרון:

30:2=1530 : 2 = 15

בחצי שעה המחוג הקטן עובר חצי מהדרך: 15°15°

9:30→912⋅30=285°9:30 \rightarrow 9\tfrac{1}{2} \cdot 30 = 285°

המחוג הקטן, מ-12 עם כיוון השעון

6⋅30=180°6 \cdot 30 = 180°

המחוג הגדול על 6

285−180=105285 - 180 = 105

המלכודת: לחשוב שהמחוג הקטן עומד על 9 ולקבל 90°90°. בחצי שעה הוא כבר באמצע הדרך בין 9 ל-10 — ולכן הזווית גדולה ב-15°15°.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

התאימו לכל שעה את הזווית הקטנה שבין המחוגים

  • 3:00
  • 2:00
  • 6:00
  • 5:00
  • 150°150°
  • 180°180°
  • 60°60°
  • 90°90°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3:00 — 90°90° · 2:00 — 60°60° · 6:00 — 180°180° · 5:00 — 150°150°

הפתרון:

30°×מספר השעות30° \times \text{מספר השעות}

כל שעה היא 30°30°

סופרים כמה «שעות» מפרידות בין המחוגים וכופלים ב-30°30°: 3⋅30=903 \cdot 30 = 90, 2⋅30=602 \cdot 30 = 60, 6⋅30=1806 \cdot 30 = 180, 5⋅30=1505 \cdot 30 = 150.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

1236990°

בשעה 3:00 בדיוק המחוגים יוצרים זווית ישרה. באיזו שעה עגולה נוספת הזווית ביניהם היא שוב 90°90°?

  1. 4:30
  2. 6:00
  3. 9:00
  4. 12:00
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 9:00

הפתרון:

90:30=390 : 30 = 3

זווית ישרה היא שלוש «שעות»

12−3=912 - 3 = 9

שלוש שעות מהצד השני של 12

ב-9:00 המחוג הקטן רחוק שלוש שעות מ-12 — מהצד השני. 6:00 נותנת זווית שטוחה, ו-12:00 — המחוגים מתלכדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת