הסתברות ושכיחות יחסית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הסתברות היא מספר בין 0 ל-1. היא אומרת עד כמה תוצאה צפויה לקרות.

00

בלתי אפשרי — לא יקרה אף פעם

12\frac{1}{2}

סיכוי שווה — אותו סיכוי לקרות ולא לקרות

11

ודאי — יקרה תמיד

בשק 10 כדורים, כולם כחולים. מה ההסתברות להוציא כדור אדום? ומה ההסתברות להוציא כדור כחול?

להציג את התשובה והפתרון

אדום — 0, בלתי אפשרי. כחול — 1, ודאי.

כשחוזרים על ניסוי הרבה פעמים

מטילים מטבע. אי אפשר לדעת מה ייצא בהטלה אחת.

אבל אחרי הרבה הטלות, השכיחות היחסית של «עץ» מתקרבת ל-0.50.5.

אחרי הרבה ניסיונות, השכיחות היחסית היא אומדן להסתברות

לסמוך על מעט ניסיונות.

34=0.75\frac{3}{4} = 0.75
≈0.5\approx 0.5

הטילו מטבע 4 פעמים, ו«עץ» יצא 3 פעמים. ההסתברות ל«עץ» היא לא 0.750.75: ארבע הטלות הן מעט מדי.

כשאי אפשר לחשב — מודדים

הנעץ שנופל

נעץ נופל על הראש או על הצד. אי אפשר לחשב מראש את ההסתברות. לכן הטילו אותו 200 פעמים, והוא נפל 120 פעמים על הצד.

120200=0.6\frac{120}{200} = 0.6

השכיחות היחסית של «על הצד»

≈0.6\approx 0.6

האומדן להסתברות שהנעץ ייפול על הצד

0.6⋅50=300.6 \cdot 50 = 30

אם נטיל אותו עוד 50 פעמים, נצפה לבערך 30 נפילות על הצד

הסתברות מתוך נתונים

בשכבה 120 תלמידים, ו-30 מהם בחרו פנטזיה כסוג הספר האהוב.

בוחרים תלמיד אחד באקראי. ההסתברות שהוא בחר פנטזיה שווה לשכיחות היחסית: 30120=0.25\frac{30}{120} = 0.25.

באותה שכבה, 18 תלמידים בחרו קומדיה. מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי בחר קומדיה?

להציג את התשובה והפתרון

18120=320=0.15\frac{18}{120} = \frac{3}{20} = 0.15.

כשבוחרים באקראי מתוך קבוצה, ההסתברות של ערך שווה לשכיחות היחסית שלו בקבוצה.

תרגילים

להכיר

תרגיל 1

בשק 5 כדורים, וכולם אדומים. מה ההסתברות להוציא כדור אדום?

  1. 0.5
  2. 0
  3. 5
  4. 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 1

הפתרון:

55=1\frac{5}{5} = 1

כל התוצאות מתאימות

כל כדור בשק הוא אדום — זה ודאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

סדרו מהפחות צפוי ליותר צפוי

  • להוציא כדור ירוק משק שיש בו רק כדורים כחולים
  • להוציא כדור כחול משק של 9 כחולים ואדום אחד
  • לקבל «עץ» בהטלת מטבע
  • לקבל 6 בהטלת קובייה
  • שאחרי יום ראשון יבוא יום שני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: להוציא כדור ירוק משק שיש בו רק כדורים כחולים · לקבל 6 בהטלת קובייה · לקבל «עץ» בהטלת מטבע · להוציא כדור כחול משק של 9 כחולים ואדום אחד · שאחרי יום ראשון יבוא יום שני

הפתרון:

0<16<12<910<10 < \frac{1}{6} < \frac{1}{2} < \frac{9}{10} < 1

מבלתי אפשרי עד ודאי

מסדרים לפי ההסתברות, מ-0 עד 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

להתאמן

תרגיל 3

72 כרטיסי הגרלה ממוספרים מ-1 עד 72. הכרטיסים מ-1 עד 9 ומ-46 עד 72 זוכים. עדה מושכת כרטיס אחד. מה ההסתברות שהכרטיס לא זוכה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

9+27=369 + 27 = 36

הכרטיסים הזוכים

72−36=3672 - 36 = 36

הכרטיסים שלא זוכים

3672=0.5\frac{36}{72} = 0.5

ההסתברות

חצי מהכרטיסים לא זוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותה הגרלה, ההסתברות למשוך כרטיס זוכה גדולה מההסתברות למשוך כרטיס שלא זוכה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

3672=3672\frac{36}{72} = \frac{36}{72}

סיכוי שווה

יש 36 כרטיסים זוכים ו-36 שלא — ההסתברויות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נעץ הוטל 400 פעמים, ונפל על הראש 140 פעמים. מהו האומדן להסתברות שהנעץ ייפול על הראש? כתבו שבר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.35

הפתרון:

140400=35100=0.35\begin{aligned}\frac{140}{400} &= \frac{35}{100} \\ &= 0.35\end{aligned}

שכיחות חלקי מספר ההטלות

השכיחות היחסית היא האומדן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האומדן להסתברות שנורה תהיה פגומה הוא 0.020.02. בארגז 500 נורות. בכמה נורות פגומות נצפה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

0.02⋅500=100.02 \cdot 500 = 10

ההסתברות כפול מספר הנורות

בערך 10 נורות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ילד הטיל קובייה 12 פעמים, והמספר 6 לא יצא אף פעם. מה נכון?

  1. ההסתברות לקבל 6 בקובייה הזאת היא 0
  2. בהטלה הבאה בטוח ייצא 6
  3. הקובייה בוודאות מזויפת
  4. 12 הטלות הן מעט מדי כדי לאמוד הסתברות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 12 הטלות הן מעט מדי כדי לאמוד הסתברות

הפתרון:

012=0\frac{0}{12} = 0

השכיחות היחסית — מעט ניסיונות

16≈0.17\frac{1}{6} \approx 0.17

ההסתברות בקובייה הוגנת

בקובייה הוגנת ההסתברות ל-6 היא 16\frac{1}{6}. בפחות מעשרים הטלות, תוצאה כזאת קורית לא מעט. וגם לקובייה אין זיכרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

036912151821602111829364+מספר האחיםמספר תלמידים

60 תלמידים ענו כמה אחים יש להם. בוחרים תלמיד אחד באקראי. מה ההסתברות שיש לו 2 אחים? כתבו שבר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

1860=310=0.3\begin{aligned}\frac{18}{60} &= \frac{3}{10} \\ &= 0.3\end{aligned}

18 מתוך 60

ההסתברות היא השכיחות היחסית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לחשוב

תרגיל 9

036912151821602111829364+מספר האחיםמספר תלמידים

באותה דיאגרמה — מה ההסתברות שלתלמיד שנבחר באקראי יש לפחות 3 אחים? כתבו שבר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

9+6=159 + 6 = 15

שתי העמודות האחרונות

1560=0.25\frac{15}{60} = 0.25

ההסתברות

«לפחות 3» הם 3 אחים, וגם 4 ויותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הסתברות של תוצאה יכולה להיות 1.21.2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

0≤…≤10 \le \ldots \le 1

הקו מ-0 עד 1

הסתברות היא תמיד בין 0 ל-1. גם השכיחות היחסית לא יכולה לעבור את 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

השלימו

מטילים קובייה הוגנת 600 פעמים. נצפה שהמספר 6 ייצא בערך ____ פעמים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מטילים קובייה הוגנת 600 פעמים. נצפה שהמספר 6 ייצא בערך 100 פעמים.

הפתרון:

16⋅600=100\frac{1}{6} \cdot 600 = 100

שישית מההטלות

ההסתברות כפול מספר ההטלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: מתי אפשר לחשב את ההסתברות מראש, ומתי צריך למדוד אותה בניסוי?

  • מחשבים מראש
  • מודדים בניסוי
  • להוציא כדור אדום משק שיודעים מה יש בו
  • לקבל 4 בקובייה הוגנת
  • שנורה מהמפעל תהיה פגומה
  • שנעץ ייפול על הצד
  • ששחקן יקלע בזריקת עונשין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לקבל 4 בקובייה הוגנת — מחשבים מראש · שנעץ ייפול על הצד — מודדים בניסוי · להוציא כדור אדום משק שיודעים מה יש בו — מחשבים מראש · שנורה מהמפעל תהיה פגומה — מודדים בניסוי · ששחקן יקלע בזריקת עונשין — מודדים בניסוי

הפתרון:

16\frac{1}{6}

קובייה — מחשבים

120200\frac{120}{200}

נעץ — מודדים

כשהתוצאות שוות סיכוי וידועות — מחשבים. כשלא — מודדים שכיחות יחסית בהרבה ניסיונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת