שלוש דרכים לפתור משוואה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

משוואה היא שוויון שיש בו נעלם. מטרתנו אחת: לגלות איזה מספר צריך לשבת במקום ה-xx כדי שהשוויון יתקיים.

הדימוי שעובד הכי טוב הוא מאזניים. סימן השווה הוא הציר, ושני האגפים הם שתי הכפות.

כל עוד עושים אותו דבר בדיוק לשתי הכפות, המאזניים נשארים מאוזנים.

שלוש דרכים לפתור

11

משיקולים מספריים — «איזה מספר כפול 3 נותן 12?». עובד למשוואות פשוטות, ונשבר מהר.

22

משיקולי איזון — מורידים או מוסיפים אותו דבר לשני האגפים. זו ההבנה.

33

העברת אגפים — הקיצור של דרך 2, וזו הדרך שנשתמש בה תמיד.

העברת אגפים — הקיצור

כשמעבירים איבר מאגף לאגף, הוא מחליף סימן. זה לא כלל שרירותי — זה בדיוק מה שקורה כשמחסרים אותו משני האגפים, רק בלי לכתוב שורה נוספת.

הבדיקה אינה מותרות. מציבים את התשובה במשוואה המקורית ורואים ששני האגפים יוצאים שווים. עשר שניות שתופסות כל טעות סימן.

סדר העבודה

11

פותחים סוגריים, אם יש.

22

מכנסים איברים דומים בכל אגף בנפרד.

33

מעבירים: נעלמים לאגף אחד, מספרים לשני.

44

מחלקים במקדם של xx.

55

בודקים.

שתי הטעויות של המשוואות.

3x+4=19 ⇒ 3x=19+4\begin{aligned}3x + 4 &= 19 \ \Rightarrow \ 3x \\ &= 19 + 4\end{aligned}
3x=19−43x = 19 - 4

איבר שעובר אגף מחליף סימן. ה-4 היה חיובי, ולכן הוא מגיע כשלילי.

3x=15 ⇒ x=15−3\begin{aligned}3x &= 15 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15 - 3\end{aligned}
x=15:3x = 15 : 3

המקדם 3 כופל את ה-xx — ולכן מבטלים אותו בחילוק, לא בחיסור.

מהו משתנה?

להציג את התשובה והפתרון

אות שמייצגת מספר שעוד לא ידוע. ה-xx אינו «סתם אות» — הוא מספר עם מסכה.

מה ההבדל בין ביטוי למשוואה?

להציג את התשובה והפתרון

למשוואה יש סימן שוויון — היא טענה שאפשר לפתור. ביטוי הוא רק חשבון עם אות, בלי טענה.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: 3x+4=193x + 4 = 19

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

3x=19−4=15\begin{aligned}3x &= 19 - 4 \\ &= 15\end{aligned}

ה-4 עובר ומחליף סימן

x=5x = 5

מחלקים ב-3

בדיקה: 3⋅5+4=193 \cdot 5 + 4 = 19.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו: 5x−3=2x+125x - 3 = 2x + 12

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

5x−2x=12+35x - 2x = 12 + 3

נעלמים לאגף אחד, מספרים לשני

3x=153x = 15

מכנסים

x=5x = 5

מחלקים

בדיקה: שני האגפים נותנים 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו: 7x=427x = 42

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

x=42:7=6\begin{aligned}x &= 42 : 7 \\ &= 6\end{aligned}

מחלקים במקדם

המקדם כופל — ולכן מבטלים אותו בחילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו: 2(x+3)=162(x + 3) = 16

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2x+6=162x + 6 = 16

קודם פותחים סוגריים

2x=102x = 10

מעבירים

x=5x = 5

מחלקים

אפשר גם לחלק ב-2 מיד: x+3=8x + 3 = 8. אותה תשובה, פחות עבודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו: x+8=3x + 8 = 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

x=3−8x = 3 - 8

ה-8 עובר ומחליף סימן

x=−5x = -5

תוצאה שלילית — לגמרי תקינה

פתרון של משוואה יכול להיות שלילי. אין בזה שום בעיה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מה קורה כשמעבירים איבר מאגף לאגף?

  1. הוא נשאר אותו דבר
  2. הוא מוכפל ב-2
  3. הוא מחליף סימן
  4. הוא מתחלף במקומו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הוא מחליף סימן

הפתרון:

+4 → −4+4 \ \rightarrow \ -4

הסימן מתהפך

כי זה בעצם חיסור של אותו איבר משני האגפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו: 10x=5x−4510x = 5x - 45

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -9

הפתרון:

10x−5x=−4510x - 5x = -45

ה-5x5x עובר שמאלה ומחליף סימן

5x=−45⇒x=−9\begin{aligned}5x &= -45 \Rightarrow x \\ &= -9\end{aligned}

מכנסים ומחלקים ב-5

בדיקה: 10⋅(−9)=−9010 \cdot (-9) = -90, וגם 5⋅(−9)−45=−905 \cdot (-9) - 45 = -90.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו: −x−18=−2x-x - 18 = -2x

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

−x+2x=18-x + 2x = 18

ה-2x−2x- עובר שמאלה והופך ל-2x+2x+; ה-18−18- עובר ימינה והופך ל-18+18+

x=18x = 18

מכנסים

שני איברים עברו צד בבת אחת — ושניהם החליפו סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו: 7x−120=19x7x - 120 = 19x

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -10

הפתרון:

7x−19x=1207x - 19x = 120

האיקסים שמאלה, המספרים ימינה

−12x=120⇒x=−10\begin{aligned}-12x &= 120 \Rightarrow x \\ &= -10\end{aligned}

מחלקים ב-(−12)(-12)

חילוק במספר שלילי — התוצאה שלילית. בדיקה: 7⋅(−10)−120=−190=19⋅(−10)7 \cdot (-10) - 120 = -190 = 19 \cdot (-10).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו: 2x−9=x+12x - 9 = x + 1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2x−x=1+92x - x = 1 + 9

כל צבע לצד שלו — עם היפוך סימן

x=10x = 10

מכנסים

בדיקה: 2⋅10−9=11=10+12 \cdot 10 - 9 = 11 = 10 + 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתרו: 7−6x=5x−597 - 6x = 5x - 59

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

7+59=5x+6x7 + 59 = 5x + 6x

האיקסים ימינה הפעם — לאן שנוח

66=11x⇒x=6\begin{aligned}66 &= 11x \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

מחלקים ב-11

מותר לאסוף את האיקסים דווקא בצד ימין — חוסך מינוסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

פתרו: 1+5x=−4x−621 + 5x = -4x - 62

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

5x+4x=−62−15x + 4x = -62 - 1

מעבירים ומחליפים סימנים

9x=−63⇒x=−7\begin{aligned}9x &= -63 \Rightarrow x \\ &= -7\end{aligned}

מחלקים ב-9

בדיקה: 1+5(−7)=−341 + 5(-7) = -34, וגם −4(−7)−62=−34-4(-7) - 62 = -34.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

פתרו: −x−14=−5x−6-x - 14 = -5x - 6

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

−x+5x=−6+14-x + 5x = -6 + 14

שני מינוסים הופכים לפלוסים במעבר

4x=8⇒x=2\begin{aligned}4x &= 8 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים ב-4

כשיש הרבה מינוסים — לאט ובזהירות. כל מעבר צד הוא היפוך אחד בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

פתרו: 2−3x=5−9x2 - 3x = 5 - 9x

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

9x−3x=5−29x - 3x = 5 - 2

האיקסים שמאלה, המספרים ימינה

6x=3⇒x=12\begin{aligned}6x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

הפתרון אינו חייב להיות שלם!

בדיקה: 2−1.5=0.52 - 1.5 = 0.5, וגם 5−4.5=0.55 - 4.5 = 0.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

פתרו: 0.8x+1.2=40.8−3.6x0.8x + 1.2 = 40.8 - 3.6x

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

0.8x+3.6x=40.8−1.20.8x + 3.6x = 40.8 - 1.2

עשרוניים מתנהגים בדיוק כמו שלמים

4.4x=39.6⇒x=9\begin{aligned}4.4x &= 39.6 \Rightarrow x \\ &= 9\end{aligned}

מחלקים ב-4.4

מי שלא אוהב עשרוניים יכול לכפול הכול ב-10 קודם: 8x+12=408−36x8x + 12 = 408 - 36x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

פתרו: −0.8x+1.6=−0.4x+3.2-0.8x + 1.6 = -0.4x + 3.2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

−0.8x+0.4x=3.2−1.6-0.8x + 0.4x = 3.2 - 1.6

מעבירים

−0.4x=1.6⇒x=−4\begin{aligned}-0.4x &= 1.6 \Rightarrow x \\ &= -4\end{aligned}

חילוק במספר שלילי

בדיקה: −0.8(−4)+1.6=4.8-0.8(-4) + 1.6 = 4.8, וגם −0.4(−4)+3.2=4.8-0.4(-4) + 3.2 = 4.8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

פתרו: 412+3x=12x−13124\tfrac{1}{2} + 3x = 12x - 13\tfrac{1}{2}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

4.5+13.5=12x−3x4.5 + 13.5 = 12x - 3x

המספרים המעורבים הופכים לעשרוניים — ומעבירים

18=9x⇒x=2\begin{aligned}18 &= 9x \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים ב-9

מספר מעורב הוא רק כתיב: 412=4.54\tfrac{1}{2} = 4.5. אחרי התרגום זו משוואה רגילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

פתרו: 3.6x+3.6=1.2x−8.43.6x + 3.6 = 1.2x - 8.4

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

3.6x−1.2x=−8.4−3.63.6x - 1.2x = -8.4 - 3.6

מעבירים

2.4x=−12⇒x=−5\begin{aligned}2.4x &= -12 \Rightarrow x \\ &= -5\end{aligned}

מחלקים ב-2.4

בדיקה: 3.6(−5)+3.6=−14.43.6(-5) + 3.6 = -14.4, וגם 1.2(−5)−8.4=−14.41.2(-5) - 8.4 = -14.4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

להתאמן

תרגיל 19

פתרו: 3(x−2)=153(x - 2) = 15

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

3x−6=153x - 6 = 15

פותחים סוגריים

3x=213x = 21
x=7x = 7
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

פתרו: 5x−3=2x+95x - 3 = 2x + 9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

3x−3=93x - 3 = 9

מעבירים את ה-xx הקטן

3x=123x = 12
x=4x = 4
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

פתרו: 4x+7=−x+274x + 7 = -x + 27

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

5x+7=275x + 7 = 27

מעבירים את −x-x — הוא הופך פלוס

5x=205x = 20
x=4x = 4
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

פתרו: x2+5=9\frac{x}{2} + 5 = 9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x2=4\frac{x}{2} = 4
x=8x = 8

מנקים קודם את המספר החופשי, ורק אז מטפלים במכנה. הפוך מזה מסבך את החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

השלימו את פתרון 3(x−2)=153(x - 2) = 15

פותחים: 3x−3x - ____ =15= 15 , מעבירים: 3x=3x = ____ , ומחלקים: x=x = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: פותחים: 3x−3x - 6 =15= 15 , מעבירים: 3x=3x = 21 , ומחלקים: x=x = 7

הפתרון:

אפשר לפתוח סוגריים, ואפשר לחלק ב-3 קודם. שתי הדרכים נכונות — השנייה קצרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לשחק ולבדוק

תרגיל 24

סדרו את שלבי הפתרון של 5x−3=2x+95x - 3 = 2x + 9

  • בודקים בהצבה: 17=1717 = 17 ✓
  • מחלקים במקדם: x=4x = 4
  • מעבירים את ה-xx: 3x−3=93x - 3 = 9
  • מעבירים את המספר: 3x=123x = 12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מעבירים את ה-xx: 3x−3=93x - 3 = 9 · מעבירים את המספר: 3x=123x = 12 · מחלקים במקדם: x=4x = 4 · בודקים בהצבה: 17=1717 = 17 ✓

הפתרון:

הבדיקה בסוף אינה קישוט — היא ההבדל בין תשובה לניחוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

שורה אחת שגויה בפתרון — מצאו אותה

4x+8=204x + 8 = 20
4x=284x = 28
x=7x = 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4x=284x = 28 → 4x=124x = 12

הפתרון:

ה-8 עבר צד בלי להחליף סימן — הטעות הוותיקה של המשוואות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

x=−3x = -3 הוא פתרון של המשוואה 2x+6=02x + 6 = 0

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2⋅(−3)+6=02 \cdot (-3) + 6 = 0

הצבה היא הבדיקה שאי אפשר לטעות בה: אם שני האגפים יוצאים שווים, המספר הוא פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

העברת אגפים — הקיצור

תרגיל 27

פתרו: 6(x+2)−4x=266(x + 2) - 4x = 26

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

6x+12−4x=266x + 12 - 4x = 26

פותחים סוגריים

2x+12=262x + 12 = 26

מכנסים

2x=142x = 14

מעבירים אגפים

x=7x = 7

בדיקה במשוואה המקורית: 6⋅9−28=54−28=266 \cdot 9 - 28 = 54 - 28 = 26 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדר העבודה

תרגיל 28

פתרו: 8x−3(2x+5)=118x - 3(2x + 5) = 11

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

8x−6x−15=118x - 6x - 15 = 11

המינוס מוכפל בשני האיברים

2x=262x = 26
x=13x = 13

הטעות הנפוצה: לכתוב −6x+15-6x + 15. המינוס שלפני הסוגריים חל על כל מה שבפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת