קצב השתנות ושיפוע

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

קצב השתנות עונה על שאלה אחת: כשה-xx גדל ביחידה אחת, בכמה משתנה ה-yy? זה כל הרעיון, ובכיתה ח יקראו לו שיפוע.

אחיד או לא אחיד

אחיד\text{אחיד}

בכל צעד של xx ה-yy משתנה באותו מספר. הגרף יוצא ישר.

לא אחיד\text{לא אחיד}

השינוי משתנה מצעד לצעד. הגרף יוצא מעוקל.

זו בדיקה שאפשר לעשות ישר מהטבלה, בלי לצייר: מחסרים כל שני ערכי yy עוקבים. יצא אותו הפרש בכל פעם — הקצב אחיד, והגרף ישר.

מהקצב לנוסחה

ברגע שהקצב אחיד אפשר לכתוב את הנוסחה: הקצב הוא המקדם של xx, והמספר החופשי הוא הערך ב-x=0x = 0.

המשך הדוגמה

מהי הנוסחה של הטבלה שלמעלה?

y=3x+by = 3x + b

הקצב 3 הוא המקדם

7=3⋅1+b7 = 3 \cdot 1 + b

מציבים את הזוג הראשון

b=4b = 4

המספר החופשי

y=3x+4y = 3x + 4

הנוסחה

3⋅4+4=163 \cdot 4 + 4 = 16

בדיקה על הזוג האחרון

קצב שלילי

קצב יכול להיות שלילי — ואז ה-yy קטן בכל צעד, והגרף יורד. מים שמתרוקנים ממיכל, סוללה שנגמרת, מרחק שמתקצר.

ובכיתה ח תלמדו את הנוסחה שמחשבת אותו משתי נקודות כלשהן — היא בדיוק אותו רעיון, כתוב בקיצור.

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

הטעות של קצב ההשתנות.

הפרשי y שווים⇒תמיד קצב אחיד\text{הפרשי } y \ \text{שווים} \Rightarrow \text{תמיד קצב אחיד}
רק אם גם הפרשי x שווים\text{רק אם גם הפרשי } x \ \text{שווים}

הבדיקה תקפה כשה-xx מתקדם בצעדים שווים. אם ה-xx קופץ 1, 2, 5 — צריך לחלק בהפרש, לא רק לחסר.

מכונית עברה 180 ק״מ בשעתיים. מהו הקצב?

להציג את התשובה והפתרון

90 קמ״ש — המרחק חלקי הזמן. בגרף זה השיפוע: כמה עולים על כל צעד ימינה.

שני קווים בגרף — של הולך ושל רוכב. איך מזהים את הרוכב?

להציג את התשובה והפתרון

הקו התלול יותר: על כל דקה הוא צובר יותר מרחק. תלילות היא מהירות.

תרגילים

תרגיל 1

בטבלה: (1, 7)(1,\, 7), (2, 10)(2,\, 10), (3, 13)(3,\, 13). מהו קצב ההשתנות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

10−7=310 - 7 = 3

הפרש ראשון

13−10=313 - 10 = 3

והשני — זהה

אותו הפרש בכל צעד — קצב אחיד, וגרף ישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי הנוסחה של הטבלה (1, 7)(1,\, 7), (2, 10)(2,\, 10), (3, 13)(3,\, 13)?

  1. y=3x+4y = 3x + 4
  2. y=7x+3y = 7x + 3
  3. y=3x+7y = 3x + 7
  4. y=3xy = 3x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=3x+4y = 3x + 4

הפתרון:

y=3x+by = 3x + b

הקצב הוא המקדם

7=3+b⇒b=4\begin{aligned}7 &= 3 + b \Rightarrow b \\ &= 4\end{aligned}

מציבים זוג אחד

בדיקה על זוג אחר: 3⋅3+4=133 \cdot 3 + 4 = 13.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בטבלה: (1, 2)(1,\, 2), (2, 5)(2,\, 5), (3, 10)(3,\, 10). האם הקצב אחיד?

  1. אי אפשר לדעת
  2. כן, הקצב 5
  3. לא
  4. כן, הקצב 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא

הפתרון:

5−2=35 - 2 = 3

הפרש ראשון

10−5=510 - 5 = 5

הפרש שני — שונה

הפרשים שונים — הגרף מעוקל, לא ישר. ההפרשים 3 ואז 5

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מיכל מתרוקן: (0, 100)(0,\, 100), (1, 92)(1,\, 92), (2, 84)(2,\, 84). מהו קצב ההשתנות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -8

הפתרון:

92−100=−892 - 100 = -8

הפרש ראשון

84−92=−884 - 92 = -8

זהה

קצב שלילי — הגרף יורד, והמיכל מתרוקן ב-8 ליטר בכל שעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

טבלה של כמות המשקעים לפי חודש: ינואר 70, פברואר 120, מרץ 120, אפריל 10, מאי 0, יוני 0, יולי 10 (מ״מ). האם הפונקציה משתנה בקצב אחיד?

  1. כן — בחורף בלבד
  2. כן — יש ערך לכל חודש
  3. לא — הקפיצות בין החודשים שונות זו מזו
  4. אי אפשר לדעת בלי גרף
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא — הקפיצות בין החודשים שונות זו מזו

הפתרון:

70→120:+5070 \to 120: +50

קפיצה ראשונה

120→120:0120 \to 120: 0

קפיצה שנייה — שונה

120→10:−110120 \to 10: -110

ועוד יותר שונה

קצב אחיד פירושו אותה קפיצה בכל צעד. גם פונקציה שנתונה בטבלה בלבד — בלי נוסחה — היא פונקציה לכל דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הפונקציה y=2x−6y = 2x - 6 — האם היא משתנה בקצב אחיד?

  1. רק כאשר xx חיובי
  2. רק בין −2-2 ל-55
  3. כן — כל תוספת של 1 ל-xx מוסיפה בדיוק 2 ל-yy
  4. לא — ה-yy משתנה ממקום למקום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כן — כל תוספת של 1 ל-xx מוסיפה בדיוק 2 ל-yy

הפתרון:

−10,  −8,  −6-10,\; -8,\; -6

ב-x=−2,−1,0x = -2, -1, 0: קפיצות של 2

y=2x−6y = 2x - 6

המקדם של xx הוא הקצב

לכן הגרף שלה קו ישר. קצב אחיד = ישר; קצב משתנה (כמו המשקעים) = לא ישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

רוכב עבר 45 ק״מ בשלוש שעות. מהו קצבו בקמ״ש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

45:3=1545 : 3 = 15

קצב הוא תמיד «כמה לכל יחידה»: מחלקים את הדרך בזמן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ברז ממלא 8 ליטר בדקה. כמה ליטרים ב-6 דקות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

8×6=488 \times 6 = 48

קצב כפול זמן — הכמות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בגרף מרחק-זמן קו עובר מ-(0,0)(0,0) ל-(2,120)(2, 120). מהי המהירות בקמ״ש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

120:2=60120 : 2 = 60

עליית המרחק חלקי הזמן

השיפוע של הקו — הוא המהירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שני קווים בגרף מרחק-זמן. של מי המהירות גבוהה יותר?

  1. של הקו התלול יותר
  2. אי אפשר לדעת
  3. של הקו העליון
  4. של הקו הארוך יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א של הקו התלול יותר

הפתרון:

שיפוע=מהירות\text{שיפוע} = \text{מהירות}

גובה הקו אומר איפה אתה — התלילות אומרת כמה מהר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

אחיד או לא אחיד

תרגיל 11

האם קצב ההשתנות אחיד?

  • קצב אחיד
  • קצב לא אחיד
  • אוכלוסייה שמכפילה את עצמה כל שנה
  • כדור טניס שנורה כלפי מעלה — גובהו כפונקציה של הזמן
  • מכונית בנסיעה במהירות קבועה — הדרך כפונקציה של הזמן
  • נר גלילי דולק — גובה הנר כפונקציה של זמן הבעירה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מכונית בנסיעה במהירות קבועה — הדרך כפונקציה של הזמן — קצב אחיד · נר גלילי דולק — גובה הנר כפונקציה של זמן הבעירה — קצב אחיד · כדור טניס שנורה כלפי מעלה — גובהו כפונקציה של הזמן — קצב לא אחיד · אוכלוסייה שמכפילה את עצמה כל שנה — קצב לא אחיד

הפתרון:

ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

קבוע — הגרף קו ישר; משתנה — הגרף מתעקל

קצב אחיד נותן קו ישר. הכדור עולה, מאט, ויורד — הגרף שלו מתעקל; וההכפלה גדלה יותר ויותר בכל צעד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בטבלה (1, 5)(1,\, 5), (2, 8)(2,\, 8), (4, 14)(4,\, 14) ההפרשים של yy הם 3 ו-6 — ולכן הקצב אינו אחיד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

8−5=3  2−1=1\begin{aligned}8 - 5 &= 3 \ \\ \ 2 - 1 &= 1\end{aligned}

בצעד הראשון xx גדל ב-1, ו-yy ב-3

14−84−2=62=3\begin{aligned}\dfrac{14 - 8}{4 - 2} &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

בצעד השני xx קפץ ב-2 — מחלקים בצעד

הקצב 3 בשני הצעדים: הוא אחיד. הפרשי yy משווים ישירות רק כש-xx מתקדם בצעדים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

התאימו כל טבלה לקצב ההשתנות שלה

  • (0, 2),  (1, 6),  (2, 10)(0,\, 2) ,\; (1,\, 6) ,\; (2,\, 10)
  • (0, 9),  (1, 7),  (2, 5)(0,\, 9) ,\; (1,\, 7) ,\; (2,\, 5)
  • (1, 3),  (3, 9),  (5, 15)(1,\, 3) ,\; (3,\, 9) ,\; (5,\, 15)
  • (0, 1),  (1, 2),  (2, 4)(0,\, 1) ,\; (1,\, 2) ,\; (2,\, 4)
  • −2-2
  • 33
  • 44
  • לא אחיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (0, 2),  (1, 6),  (2, 10)(0,\, 2) ,\; (1,\, 6) ,\; (2,\, 10) — 44 · (0, 9),  (1, 7),  (2, 5)(0,\, 9) ,\; (1,\, 7) ,\; (2,\, 5) — −2-2 · (1, 3),  (3, 9),  (5, 15)(1,\, 3) ,\; (3,\, 9) ,\; (5,\, 15) — 33 · (0, 1),  (1, 2),  (2, 4)(0,\, 1) ,\; (1,\, 2) ,\; (2,\, 4) — לא אחיד

הפתרון:

6−2=4  10−6=4\begin{aligned}6 - 2 &= 4 \ \\ \ 10 - 6 &= 4\end{aligned}

הטבלה הראשונה: 4 בכל צעד

7−9=−27 - 9 = -2

השנייה יורדת: קצב שלילי

9−33−1=3\dfrac{9 - 3}{3 - 1} = 3

בשלישית xx קופץ ב-2 — מחלקים

2−1=1  4−2=2\begin{aligned}2 - 1 &= 1 \ \\ \ 4 - 2 &= 2\end{aligned}

ברביעית ההפרשים שונים

הטבלה השלישית היא המלכודת: הפרשי yy הם 6, אבל כל צעד של xx הוא 2 — הקצב 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת