לפתור משוואה בעזרת גרף

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כבר פתרנו משוואות מהצורה ax+b=cx+dax + b = cx + d — העברנו אגפים והגענו למספר. עכשיו נראה את אותה משוואה בעיניים, ואגב כך נבין מה בעצם חיפשנו כל הזמן.

כל אגף הוא פונקציה בפני עצמו

ניקח את המשוואה 2x−4=−x+52x - 4 = -x + 5. הרעיון כולו הוא לשכוח לרגע שיש כאן סימן שוויון, ולהסתכל על כל אגף בנפרד — כל אחד מהם הוא פונקציה, ולכל אחד יש גרף.

y=2x−4y = 2x - 4

האגף השמאלי הפך לפונקציה.

y=−x+5y = -x + 5

והאגף הימני לפונקציה שנייה.

נקודת החיתוך היא הפתרון

בכל נקודה על הישר הראשון הגובה הוא 2x−42x - 4, ובכל נקודה על השני הגובה הוא −x+5-x + 5. בנקודת החיתוך שני הגבהים הם אותו מספר — וזה בדיוק מה שהמשוואה מבקשת.

ה-xx של נקודת החיתוך הוא הפתרון של המשוואה

אותה משוואה, שתי דרכים

פתרו 2x−4=−x+52x - 4 = -x + 5 גרפית, ובדקו באלגברה.

x=3x = 3

מהגרף: הישרים נחתכים מעל x=3x = 3

2x+x=5+42x + x = 5 + 4

ובאלגברה — מעבירים אגפים

3x=9 ⇒ x=3\begin{aligned}3x &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

אותה תשובה בדיוק

2⋅3−4=2  −3+5=2\begin{aligned}2 \cdot 3 - 4 &= 2 \ \\ \ -3 + 5 &= 2\end{aligned}

ובדיקה: שני האגפים נותנים 2 — וזה גובה נקודת החיתוך

שימו לב מה עוד קיבלנו בחינם: ה-yy של נקודת החיתוך — כאן 2 — הוא הערך המשותף של שני האגפים בפתרון. בבדיקת הצבה מחשבים אותו בכל מקרה, אז הגרף רק מראה אותו מראש.

שני ישרים נחתכים בנקודה (4, 7)(4,\, 7). מהו הפתרון של המשוואה שמשווה את שני הביטויים שלהם?

להציג את התשובה והפתרון

x=4x = 4. הפתרון הוא ה-xx של נקודת החיתוך, לא ה-yy. ה-7 הוא הערך שמקבלים שני האגפים כש-x=4x = 4 — שימושי לבדיקה, אבל אינו התשובה.

ומה אם אין חיתוך?

שני ישרים לא תמיד נפגשים בנקודה אחת. יש עוד שני מקרים:

∥\parallel

מקבילים — אותו שיפוע, ישרים שונים. הם לעולם לא נפגשים: למשוואה אין פתרון.

==

אותו ישר בדיוק — כל נקודה היא נקודת חיתוך: למשוואה אינסוף פתרונות.

הגרף מראה מיד כמה פתרונות יש, ואיפה בערך. האלגברה נותנת את המספר המדויק. קריאה כמו «בערך 2.7» היא רמז שמאמתים בחישוב — לא תשובה.

שלוש הטעויות של הפתרון הגרפי.

הפתרון=7\text{הפתרון} = 7
הפתרון=4\text{הפתרון} = 4

לוקחים את ה-yy של נקודת החיתוך. הפתרון הוא תמיד ה-xx.

חיתוך עם ציר x\text{חיתוך עם ציר } x
חיתוך בין שני הישרים\text{חיתוך בין שני הישרים}

מחפשים איפה ישר אחד חותך את הציר במקום איפה השניים נפגשים זה עם זה.

x≈2.7 סוףx \approx 2.7 \ \text{סוף}
x≈2.7 ⇒ לבדוק באלגברהx \approx 2.7 \ \Rightarrow \ \text{לבדוק באלגברה}

קריאה מגרף היא אומדן. היא מצוינת כדי לדעת שלא טעינו — לא כדי להחליף חישוב.

עכשיו נתרגל: לקרוא פתרון מחיתוך, ולעבור בין שתי הדרכים.

תרגילים

תרגיל 1

גרפי שני האגפים נחתכים בנקודה (3, 2)(3,\, 2). מהו הפתרון של המשוואה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

(3, 2)(3,\, 2)

הפתרון הוא ה-xx של נקודת החיתוך

ה-2 הוא הערך המשותף של שני האגפים, ולא הפתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו אלגברית: 2x−4=−x+52x - 4 = -x + 5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2x+x=5+42x + x = 5 + 4

האיקסים לצד אחד, המספרים לשני

3x=93x = 9

מכנסים

x=3x = 3

מחלקים ב-3

אותה תשובה כמו מהגרף — וזו בדיוק הנקודה: שתי הדרכים אינן שתי שאלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מה מייצגת נקודת החיתוך של גרפי שני אגפי משוואה?

  1. השיפוע המשותף
  2. החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx
  3. ה-xx שבו שני האגפים שווים
  4. הערך הגבוה ביותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ה-xx שבו שני האגפים שווים

הפתרון:

ax+b=cx+dax + b = cx + d

שני גבהים שווים באותו xx

זו כל המשמעות של סימן השוויון במשוואה — ולכן הגרף מראה אותו ישירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לשני ישרים בעלי אותו שיפוע וחיתוכי ציר שונים אין נקודת חיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

m1=m2  b1≠b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \ \\ \ b_1 \neq b_2\end{aligned}

אותה נטייה, גובה שונה

הם מקבילים, ולכן למשוואה המתאימה אין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המשוואה y=4x−1y = 4x - 1 ו-y=x+8y = x + 8 נפגשות. מהו xx בנקודת המפגש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4x−1=x+84x - 1 = x + 8

משווים את שני הגבהים

3x=93x = 9

מעבירים

x=3x = 3

מחלקים

«נפגשות» פירושו «אותו גובה» — וזה תמיד מתורגם לסימן שוויון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ובאותה שאלה — מהו yy בנקודת המפגש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

y=4⋅3−1=11\begin{aligned}y &= 4 \cdot 3 - 1 \\ &= 11\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

y=3+8=11\begin{aligned}y &= 3 + 8 \\ &= 11\end{aligned}

ובשני — אותו מספר, וזו הבדיקה

אם שני האגפים לא נותנים את אותו yy, הפתרון שגוי. זו בדיקה של חמש שניות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

תלמיד קרא מהגרף «בערך 2.7» ורשם זאת כתשובה סופית. מה היה עליו לעשות?

  1. לצייר גרף גדול יותר
  2. כלום — קריאה מגרף היא תשובה מדויקת
  3. לעגל ל-3
  4. לאמת את האומדן בפתרון אלגברי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לאמת את האומדן בפתרון אלגברי

הפתרון:

x≈2.7x \approx 2.7

האומדן מהגרף

ax+b=cx+dax + b = cx + d

והמספר המדויק מגיע מהאלגברה

הגרף נותן כיוון ומספר פתרונות; המספר המדויק מגיע מהאלגברה. שתי הדרכים משלימות, ואף אחת אינה מייתרת את השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשתי חברות סלולר: הראשונה גובה 30 ש״ח ועוד 2 ש״ח לשעת שיחה, השנייה 10 ש״ח ועוד 4 ש״ח לשעה. אחרי כמה שעות שיחה המחיר זהה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

y=2x+30  y=4x+10\begin{aligned}y &= 2x + 30 \ \\ \ y &= 4x + 10\end{aligned}

שתי פונקציות — שני ישרים

2x+30=4x+102x + 30 = 4x + 10

«מחיר זהה» פירושו נקודת חיתוך

20=2x ⇒ x=10\begin{aligned}20 &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

זו השאלה הנפוצה ביותר בנושא: «מתי משתלם יותר» היא תמיד שאלה על נקודת חיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שני גרפים נחתכים ב-(5, 8)(5,\, 8). שורה אחת שגויה

פתרון המשוואה: x=5\text{פתרון המשוואה: } x = 5
פתרון המשוואה: x=8\text{פתרון המשוואה: } x = 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: פתרון המשוואה: x=8\text{פתרון המשוואה: } x = 8 → פתרון המשוואה: x=5\text{פתרון המשוואה: } x = 5

הפתרון:

(5, 8) ⇒ x=5(5,\, 8) \ \Rightarrow \ x = 5

הפתרון הוא ה-xx

הפתרון הוא תמיד ה-xx. ה-yy הוא הערך שמקבלים שני האגפים שם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לאיזו דרך מתאים כל משפט?

  • גרף
  • אלגברה
  • מראה שהישרים מקבילים
  • נותן את המספר המדויק
  • עובד גם כששני הפתרונות רחוקים מאוד
  • רואים מיד כמה פתרונות יש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: רואים מיד כמה פתרונות יש — גרף · נותן את המספר המדויק — אלגברה · מראה שהישרים מקבילים — גרף · עובד גם כששני הפתרונות רחוקים מאוד — אלגברה

הפתרון:

ax+b=cx+dax + b = cx + d

אותה שאלה, שתי דרכים לענות

הגרף עונה על «כמה ואיפה בערך», האלגברה על «כמה בדיוק». במבחן משתמשים בשתיהן — האחת בודקת את השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת