לקרוא ערכים מגרף

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

לכל גרף במבחן שואלים בדיוק את אותן ארבע שאלות. מי שמזהה איזו מהן נשאלה — יודע לאן להסתכל, ולא צריך לנחש.

x→yx \rightarrow y

א. נתון xx — מהו yy?

y→xy \rightarrow x

ב. נתון yy — מהו xx? (ולפעמים יותר מאחד)

ymax⁡y_{\max}

ג. הערך הגבוה או הנמוך ביותר — ואיפה הוא מתקבל.

a<y<ba < y < b

ד. טווח הערכים של yy בתחום נתון של xx.

א. מ-xx אל yy

זו השאלה הקלה: מוצאים את ה-xx על הציר האופקי, עולים אנכית עד הגרף, ומשם הולכים אופקית אל ציר ה-yy.

ב. מ-yy אל xx — ופה יש מלכודת

הכיוון ההפוך: יוצאים מהגובה על ציר ה-yy, הולכים אופקית עד שפוגשים את הגרף, ויורדים לציר ה-xx.

והמלכודת: הקו האופקי יכול לפגוש את הגרף ביותר ממקום אחד. פונקציה מחזירה פלט אחד לכל קלט — אבל אותו פלט מותר לו לחזור אצל כמה קלטים שונים.

ג. הגבוה והנמוך ביותר

כאן שואלים שתי שאלות בנשימה אחת: מה הערך, ואיפה הוא מתקבל. תשובה שנותנת רק את הערך אינה שלמה.

המילה «הכי» מתייחסת תמיד ל-yy, והמילה «מתי» או «איפה» תמיד ל-xx. שתיהן ביחד הן תשובה שלמה: הערך 70, בשעות 10 ו-11.

ד. טווח הערכים

השאלה האחרונה היא הפוכה לזו של היחידה הקודמת: שם נתון היה תחום על xx והתשובה עלייה או ירידה; כאן נתון אותו תחום, והתשובה היא כל הגבהים שהפונקציה מקבלת בתוכו.

שני מושגים, ואסור לבלבל: תחום נכתב על xx ומתאר מה הכנסנו; טווח ערכים נכתב על yy ומתאר מה יצא. זו אותה תמונה, משני צידי המכונה.

שלוש הטעויות של קריאת ערכים.

y=70 ⇒ x=10\begin{aligned}y &= 70 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}
x=10  x=11\begin{aligned}x &= 10 \ \\ \ x &= 11\end{aligned}

לאותו גובה יכולים להתאים כמה ערכי xx. תמיד לבדוק אם הקו האופקי חותך יותר מפעם אחת.

השיא הוא בשעה 70\text{השיא הוא בשעה 70}
השיא הוא 70, בשעה 10\text{השיא הוא 70, בשעה 10}

החלפה בין הערך למקום. הערך תמיד על yy, המקום תמיד על xx.

9≤y≤119 \le y \le 11
45≤y≤7045 \le y \le 70

העתקת התחום במקום לחשב את הטווח. זו תשובה לשאלה שלא נשאלה.

עכשיו נתרגל את ארבע השאלות — על אותו גרף בריכה, ועל עוד כמה.

תרגילים

תרגיל 1

בגרף הבריכה: כמה מתרחצים היו בשעה 9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

x=9 ⇒ y=45\begin{aligned}x &= 9 \ \Rightarrow \ y \\ &= 45\end{aligned}

עולים אנכית מהשעה 9 עד הגרף

השאלה מסוג א: נתון xx, מבקשים yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בגרף הבריכה: בכמה שעות שונות היו בדיוק 70 מתרחצים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x=10  x=11\begin{aligned}x &= 10 \ \\ \ x &= 11\end{aligned}

שתי עמודות באותו גובה

זו המלכודת המרכזית של הפרק: קו אופקי אחד, שתי פגישות עם הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בגרף הבריכה: מהו הערך הנמוך ביותר של מספר המתרחצים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

ymin⁡=20y_{\min} = 20

העמודה הנמוכה ביותר

x=8x = 8

ומתקבל בשעה 8

תשובה שלמה נותנת גם את הערך וגם את השעה שבה הוא מתקבל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פונקציה מקבלת את הערך y=12y = 12 בשלוש נקודות שונות. האם עדיין מדובר בפונקציה?

  1. רק אם שלוש הנקודות סמוכות
  2. לא — פלט אחד חוזר שלוש פעמים
  3. אי אפשר לדעת בלי הנוסחה
  4. כן — פלט אחד לכל קלט, וזה מתקיים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן — פלט אחד לכל קלט, וזה מתקיים

הפתרון:

x→y יחידx \rightarrow y \ \text{יחיד}

זה מה שההגדרה דורשת

ההגדרה אוסרת שני פלטים לקלט אחד. שהפלט יחזור אצל כמה קלטים — מותר לגמרי, וקורה כל הזמן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בטבלה (1, 8)(1,\, 8), (2, 14)(2,\, 14), (3, 22)(3,\, 22), (4, 14)(4,\, 14) — מהו הערך הגבוה ביותר של yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22

הפתרון:

8 , 14 , 22 , 148 \ , \ 14 \ , \ 22 \ , \ 14

סורקים את עמודת ה-yy

ymax⁡=22y_{\max} = 22

ומתקבל ב-x=3x = 3

סורקים תמיד את עמודת ה-yy — לא את עמודת ה-xx, שהיא רק הסדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותה טבלה (1, 8)(1,\, 8), (2, 14)(2,\, 14), (3, 22)(3,\, 22), (4, 14)(4,\, 14) — בכמה ערכי xx מתקבל y=14y = 14?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x=2  x=4\begin{aligned}x &= 2 \ \\ \ x &= 4\end{aligned}

שתי שורות עם אותו yy

שוב אותו מבנה: פלט חוזר, שני קלטים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

טווח הערכים של פונקציה נכתב כאי-שוויון על yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

45≤y≤7045 \le y \le 70

הטווח נכתב על yy

התחום נכתב על xx — מה שהכנסנו; הטווח נכתב על yy — מה שיצא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בגרף הבריכה, בתחום 8≤x≤108 \le x \le 10 — מהו ההפרש בין הערך הגבוה לנמוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

20 , 45 , 7020 \ , \ 45 \ , \ 70

הערכים בתחום

70−20=5070 - 20 = 50

הגבוה פחות הנמוך

אורך הטווח הוא הפרש, בדיוק כמו אורך תחום — רק שהפעם על ציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בגרף של טמפרטורה לפי שעה נשאל: «באיזו שעה היה הכי חם?» — מה מבקשים?

  1. את הערך הגבוה ביותר של yy
  2. את תחום העלייה
  3. את ה-xx שבו מתקבל yy הגבוה ביותר
  4. את הטווח של yy
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג את ה-xx שבו מתקבל yy הגבוה ביותר

הפתרון:

«באיזו שעה»→x\text{«באיזו שעה»} \rightarrow x

המילה «מתי» מצביעה תמיד על הציר האופקי

«כמה חם היה» היה מבקש את הערך. «באיזו שעה» מבקש את המקום. שתי שאלות שונות על אותה נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו כל שאלה למה שמחפשים

  • כמה היו ב-10?
  • מתי היו 70?
  • מה השיא?
  • בין אילו ערכים נע y?
  • הערך הגבוה ביותר של y
  • טווח הערכים
  • ערך או ערכים של x עבור y נתון
  • ערך של y עבור x נתון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כמה היו ב-10? — ערך של y עבור x נתון · מתי היו 70? — ערך או ערכים של x עבור y נתון · מה השיא? — הערך הגבוה ביותר של y · בין אילו ערכים נע y? — טווח הערכים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

השלימו

בטבלה (0,7) (1,12) (2,19) (3,12): הערך הגבוה של y הוא ____, והוא מתקבל ב-x = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בטבלה (0,7) (1,12) (2,19) (3,12): הערך הגבוה של y הוא 19, והוא מתקבל ב-x = 2

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

גרף מגיע לגובה המרבי 40 בשעה 6. שורה אחת שגויה

הערך הגבוה ביותר הוא 40\text{הערך הגבוה ביותר הוא } 40
הערך הגבוה ביותר הוא 6\text{הערך הגבוה ביותר הוא } 6
הוא מתקבל ב-x=6\text{הוא מתקבל } \text{ב-} x = 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הערך הגבוה ביותר הוא 6\text{הערך הגבוה ביותר הוא } 6 → הערך הגבוה ביותר הוא 40\text{הערך הגבוה ביותר הוא } 40

הפתרון:

ymax⁡=40y_{\max} = 40

הערך

x=6x = 6

והמקום — שני דברים שונים

6 הוא המקום, לא הערך. החלפה בין השניים היא הטעות שחוזרת בכל מבחן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת