מהי פונקציה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ביחידה הקודמת קראנו גרפים, מילאנו טבלאות וכתבנו נוסחאות. כל הזמן הזה עבדנו עם אותו דבר — ורק עכשיו ניתן לו את השם שלו: פונקציה.

פונקציה אינה נוסחה ואינה גרף. היא הקשר עצמו — והנוסחה והגרף הם רק שתי דרכים לכתוב אותו.

ההגדרה: מספר אחד בדיוק

פונקציה = התאמה שנותנת לכל מספר שמכניסים מספר אחד בדיוק

המילים החשובות הן «אחד בדיוק». מכונה שמחזירה שתי תשובות לאותה שאלה אינה פונקציה — ומכונה שלפעמים לא מחזירה כלום אינה מוגדרת שם.

xx

הקלט — המספר שמכניסים למכונה. אנחנו בוחרים אותו.

ff

הכלל — מה המכונה עושה לכל מספר שנכנס.

yy

הפלט — המספר שיוצא. אין לנו בחירה בו: הכלל קובע.

מכונה מקבלת מספר ומחזירה «כל מספר שכפול עצמו נותן אותו». נכניס 9 — היא תחזיר 3, וגם −3-3. האם זו פונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. לקלט אחד יצאו שני פלטים, וזה בדיוק מה שההגדרה אוסרת. לכן סימן השורש הוגדר כך שיחזיר רק את התשובה האי-שלילית — ורק בזכות ההחלטה הזאת  \sqrt{\ } היא פונקציה.

הסימון f(x)f(x)

עד היום כתבנו y=3x+4y = 3x + 4. יש כתיב שני, והוא זה שילווה אתכם עד סוף הלימודים: נותנים לפונקציה שם — בדרך כלל האות ff — וכותבים:

f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4

וכאן נמצא הבלבול היחיד של הפרק, אז נאמר אותו במפורש: f(x)f(x) אינו ff כפול xx. הסוגריים כאן אינן כפל — הן אומרות «מה יוצא מהמכונה ff כשמכניסים לתוכה xx».

ff

שם הפונקציה. אפשר גם gg, hh — כמו ששמות של אנשים.

f(5)f(5)

הפלט כשמציבים 5. זה מספר, לא ביטוי.

f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4

הכלל כולו — בדיוק אותו דבר כמו y=3x+4y = 3x + 4.

אותה פונקציה, שלושה קלטים

נתונה f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4. חשבו את f(5)f(5), את f(0)f(0) ואת f(−2)f(-2).

f(5)=3⋅5+4=19\begin{aligned}f(5) &= 3 \cdot 5 + 4 \\ &= 19\end{aligned}

מציבים 5 במקום כל xx

f(0)=3⋅0+4=4\begin{aligned}f(0) &= 3 \cdot 0 + 4 \\ &= 4\end{aligned}

ו-0 אינו מקרה מיוחד — מציבים אותו כמו כל מספר

f(−2)=3⋅(−2)+4=−2\begin{aligned}f(-2) &= 3 \cdot (-2) + 4 \\ &= -2\end{aligned}

ומספר שלילי נכנס בסוגריים, אחרת המינוס נבלע

נתונה g(x)=10−2xg(x) = 10 - 2x. מהו g(4)g(4)?

להציג את התשובה והפתרון

2. מציבים: 10−2⋅4=10−8=210 - 2 \cdot 4 = 10 - 8 = 2. שימו לב שהתשובה היא מספר יחיד — כך זה תמיד.

שתי שיטות הסימון — y=…y = \ldots ו-f(x)=…f(x) = \ldots — אומרות בדיוק אותו דבר. בכיתה ז בוחרים אחת ונדבקים בה; בכיתה ח תפגשו את שתיהן זו לצד זו.

כשהפונקציה אינה מוגדרת

לפעמים המכונה אינה מחזירה כלום עבור קלט מסוים. אז אומרים שהפונקציה אינה מוגדרת עבור אותו xx.

שתי דוגמאות מוכרות

היכן המכונה נעצרת?

f(x)=12:xf(x) = 12 : x

אינה מוגדרת ב-x=0x = 0 — כי אין חילוק באפס

f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

אינה מוגדרת לכל xx שלילי — אין מספר שכפול עצמו נותן מספר שלילי

גם המציאות עוצרת את המכונה. פונקציה של מחיר xx כרטיסים אינה מוגדרת ב-x=−3x = -3: אי אפשר לקנות מינוס שלושה כרטיסים.

שלוש הטעויות של הפרק.

f(x)=f⋅xf(x) = f \cdot x
f(x)=הפלט של ff(x) = \text{הפלט של } f

הסוגריים ב-f(x)f(x) אינן כפל. זו הטעות מספר אחת, והיא נמשכת שנים.

f(−2)=3⋅−2+4f(-2) = 3 \cdot -2 + 4
f(−2)=3⋅(−2)+4f(-2) = 3 \cdot (-2) + 4

מספר שלילי שמוצב נכנס בסוגריים. בלעדיהן קל לאבד את הסימן.

f(9)=3 או −3f(9) = 3 \text{ או } -3
f(9)=3f(9) = 3

לפונקציה יש פלט אחד. שתי תשובות פירושן שזו לא פונקציה.

עכשיו נתרגל: להציב, לקרוא סימון, ולהחליט מה פונקציה ומה לא.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4. מהו f(5)f(5)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

f(5)=3⋅5+4f(5) = 3 \cdot 5 + 4

מציבים 5 במקום xx

=15+4=19= 15 + 4 = 19

סדר פעולות: קודם הכפל

הסוגריים ב-f(5)f(5) אומרות «מה יוצא כשמכניסים 5» — הן אינן כפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה פונקציה f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4 — מהו f(0)f(0)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(0)=3⋅0+4f(0) = 3 \cdot 0 + 4

מציבים 0

=0+4=4= 0 + 4 = 4

הכפל מתאפס, המספר החופשי נשאר

f(0)f(0) הוא תמיד המספר החופשי — וזו גם הנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4. מהו f(−2)f(-2)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(−2)=3⋅(−2)+4f(-2) = 3 \cdot (-2) + 4

המספר השלילי נכנס בסוגריים

=−6+4=−2= -6 + 4 = -2

מחברים

בלי הסוגריים קל לקרוא 3⋅23 \cdot 2 ולאבד את המינוס. התשובה הייתה יוצאת 10 במקום −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מה פירוש הסימון f(3)f(3)?

  1. הפלט של הפונקציה כשהקלט הוא 3
  2. המספר 3 שנמצא בתוך ff
  3. הפונקציה ff בחזקת 3
  4. ff כפול 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הפלט של הפונקציה כשהקלט הוא 3

הפתרון:

f(3)f(3)

«מה יוצא כשמכניסים 3»

הסוגריים כאן אינן כפל. זו הטעות הנפוצה ביותר בכל נושא הפונקציות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה g(x)=10−2xg(x) = 10 - 2x. מהו g(4)g(4)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

g(4)=10−2⋅4g(4) = 10 - 2 \cdot 4

מציבים 4

=10−8=2= 10 - 8 = 2

קודם הכפל, אחר כך החיסור

הפונקציה יכולה להיקרא בכל אות — gg היא שם, בדיוק כמו ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מכונה שמחזירה למספר 16 גם 4 וגם −4-4 היא פונקציה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

16→4 , −416 \rightarrow 4 \ , \ -4

שני פלטים לקלט אחד

לא. פונקציה מחזירה פלט אחד בדיוק לכל קלט. שני פלטים — ולא נשארה פונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

עבור איזה ערך של xx אין הפונקציה f(x)=12:xf(x) = 12 : x מוגדרת?

  1. x=0x = 0
  2. x=−1x = -1
  3. היא מוגדרת לכל xx
  4. x=12x = 12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x=0x = 0

הפתרון:

12:012 : 0

אין מספר שכפול 0 נותן 12

אי-חילוק באפס הוא הסיבה הנפוצה ביותר שפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. מהו f(−3)f(-3)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f(−3)=(−3)2+1f(-3) = (-3)^2 + 1

הסוגריים חיוניות כאן

=9+1=10= 9 + 1 = 10

מינוס בריבוע יוצא חיובי

בלי הסוגריים היה מתקבל −32+1=−8-3^2 + 1 = -8 — תשובה אחרת לגמרי. זה בדיוק ההבדל בין (−3)2(-3)^2 ל-−32-3^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אילו מכונות הן פונקציות?

  • פונקציה
  • לא פונקציה
  • לכל מספר — המספר ועוד 7
  • לכל מספר — חצי ממנו
  • לכל מספר — כל מספר שקטן ממנו
  • לכל מספר חיובי — שני המספרים שריבועם המספר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לכל מספר — המספר ועוד 7 — פונקציה · לכל מספר — חצי ממנו — פונקציה · לכל מספר — כל מספר שקטן ממנו — לא פונקציה · לכל מספר חיובי — שני המספרים שריבועם המספר — לא פונקציה

הפתרון:

x→y יחידx \rightarrow y \ \text{יחיד}

התנאי היחיד של ההגדרה

השאלה היחידה היא «כמה יוצא». אחד בדיוק — פונקציה. אפס, שניים או אינסוף — לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

השלימו

בסימון f(x) הסוגריים אינן כפל. בפונקציה f(x) = 5x - 1 מתקיים f(2) = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בסימון f(x) הסוגריים אינן כפל. בפונקציה f(x) = 5x - 1 מתקיים f(2) = 9

הפתרון:

5⋅2−1=95 \cdot 2 - 1 = 9

מציבים 2

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5, וידוע ש-f(a)=17f(a) = 17. מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

2a+5=172a + 5 = 17

f(a)f(a) פירושו להציב aa — ומקבלים משוואה

2a=122a = 12

מעבירים את 5

a=6a = 6

מחלקים ב-2

זה הכיוון ההפוך: בדרך כלל נתון הקלט ומחפשים את הפלט. כאן נתון הפלט — ולכן נפתרת משוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

f(x)=4x−1f(x) = 4x - 1
f(3)=f⋅3=3f\begin{aligned}f(3) &= f \cdot 3 \\ &= 3f\end{aligned}
f(3)=4⋅3−1=11\begin{aligned}f(3) &= 4 \cdot 3 - 1 \\ &= 11\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(3)=f⋅3=3ff(3) = f \cdot 3 = 3f → f(3)=4⋅3−1f(3) = 4 \cdot 3 - 1

הפתרון:

f(3)=4⋅3−1f(3) = 4 \cdot 3 - 1

הסוגריים מסמנות הצבה

=11= 11

ולא כפל

f(x)f(x) אינו כפל. הסוגריים מסמנות הצבה, ולכן f(3)f(3) מתקבל על ידי הצבת 3 בכלל עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת