חוק הפילוג

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

זהו החוק החזק ביותר בפרק, והיחיד שמקשר בין כפל לבין חיבור. הוא זה שמרשה לנו לפתוח סוגריים — ובלעדיו אי אפשר לעשות אלגברה בכלל.

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

במילים: המספר שצמוד לסוגריים מוכפל בכל אחד מהאיברים שבפנים — ולא רק בראשון.

למה זה נכון — המלבן

ההוכחה הכי משכנעת היא שטח. ניקח מלבן שגובהו aa ורוחבו b+cb + c, ונחתוך אותו בקו אנכי:

המינוס — הפח הגדול

החוק עובד בדיוק אותו דבר עם חיסור, אבל צריך להיזהר: הסימן נשמר לכל איבר.

a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅ca \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c

פתחו סוגריים: 6(x−5)6(x - 5)

להציג את התשובה והפתרון

6x−306x - 30. השש מוכפל בשני האיברים, והמינוס נשאר לפני ה-30. לכתוב 6x−56x - 5 פירושו לשכוח את האיבר השני.

הכיוון ההפוך — הוצאת גורם משותף

אותו חוק, נקרא מימין לשמאל, הוא הוצאת גורם משותף. במקום לפתוח סוגריים — סוגרים אותן:

a⋅b+a⋅c=a⋅(b+c)a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)

הוציאו גורם משותף: 10a+1510a + 15

להציג את התשובה והפתרון

5(2a+3)5(2a + 3). הגורם המשותף הגדול ביותר הוא 5. בדיקה: 5⋅2a=10a5 \cdot 2a = 10a ו-5⋅3=155 \cdot 3 = 15.

ולמה זה שימושי בראש

חוק הפילוג הוא גם כלי חישוב מהיר. כל מספר «כמעט עגול» מתפרק לעגול ועוד קצת — או פחות קצת:

שלוש הטעויות של הפילוג.

4(x+3)=4x+34(x + 3) = 4x + 3
=4x+12= 4x + 12

המספר מוכפל בכל האיברים. לשכוח את השני — הטעות מספר אחת.

−2(x−5)=−2x−10-2(x - 5) = -2x - 10
=−2x+10= -2x + 10

מינוס כפול מינוס נותן פלוס. הסימן של האיבר השני מתהפך.

3+2(x+1)=5(x+1)3 + 2(x + 1) = 5(x + 1)
=3+2x+2= 3 + 2x + 2

רק מה שצמוד לסוגריים מוכפל בהן. ה-3 עומד בחוץ ואינו משתתף.

תרגילים

תרגיל 1

פתחו סוגריים: 5(x+4)5(x + 4) — מהו האיבר החופשי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

5x+205x + 20

חמש מוכפל בשני האיברים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתחו: 3(2x−7)3(2x - 7) — מהו המקדם של xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

6x−216x - 21

הפילוג מכפיל את ה-3 בכל אחד מהאיברים — גם ב-7, לא רק ב-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתחו: −2(x−5)-2(x - 5) — מהו האיבר החופשי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

−2x+10-2x + 10

מינוס כפול מינוס — פלוס

הטעות הנפוצה: להשאיר −10-10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו בפילוג: 7⋅987 \cdot 98

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 686

הפתרון:

7⋅100=7007 \cdot 100 = 700
7⋅2=147 \cdot 2 = 14
700−14=686700 - 14 = 686

98 הוא 100 פחות 2. הפילוג הופך תרגיל אחד קשה לשני חישובים קלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו בפילוג: 6⋅1026 \cdot 102

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 612

הפתרון:

6⋅100=6006 \cdot 100 = 600
6⋅2=126 \cdot 2 = 12
600+12=612600 + 12 = 612

כאן מוסיפים — 102 הוא מעל המאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוציאו גורם משותף: 8x+128x + 12 — מהו הגורם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

4(2x+3)4(2x + 3)

מחפשים את המחלק המשותף הגדול ביותר: 4 מחלק גם את 8 וגם את 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוציאו גורם משותף: 15a−1015a - 10 — מהו הגורם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

5(3a−2)5(3a - 2)

5 הוא הגורם המשותף הגדול ביותר של 15 ושל 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו בעזרת גורם משותף: 23⋅17+23⋅323 \cdot 17 + 23 \cdot 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 460

הפתרון:

23(17+3)23(17 + 3)

הוצאת הגורם

23⋅20=46023 \cdot 20 = 460

הפירוק הפך תרגיל קשה לכפל בעשרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

תלמיד פתח 4(x+3)=4x+34(x + 3) = 4x + 3. מה הטעות?

  1. צריך לחבר
  2. אין טעות
  3. חסרו סוגריים
  4. הוא הכפיל רק את האיבר הראשון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הוא הכפיל רק את האיבר הראשון

הפתרון:

4⋅3=124 \cdot 3 = 12

הכפל מתפזר על כל מה שבפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בביטוי 3+2(x+1)3 + 2(x + 1) — במה מוכפל ה-3?

  1. ב-x
  2. בסוגריים
  3. ב-2
  4. בכלום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד בכלום

הפתרון:

3+2x+23 + 2x + 2

רק מה שצמוד לסוגריים נכנס פנימה. הוא לא צמוד לסוגריים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתחו וכנסו: 2(x+3)+3(x−1)2(x + 3) + 3(x - 1) — מהו המקדם של xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2x+6+3x−32x + 6 + 3x - 3
5x+35x + 3

פותחים כל זוג סוגריים בנפרד, ורק אחר כך אוספים את האיברים הדומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הכיוון ההפוך — הוצאת גורם משותף

תרגיל 12

תלמיד פתר תרגיל מהצורה a⋅(b−c)a \cdot (b - c) וקיבל 45−2745 - 27. איזה מהתרגילים הבאים יכול להיות התרגיל שפתר?

  1. 5(9−27)5(9 - 27)
  2. 9(5−3)9(5 - 3)
  3. 9(5−9)9(5 - 9)
  4. 3(15−27)3(15 - 27)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 9(5−3)9(5 - 3)

הפתרון:

9⋅5=459 \cdot 5 = 45
9⋅3=279 \cdot 3 = 27

הגורם המשותף חייב להתאים לשני האיברים. 9 מחלק גם את 45 וגם את 27 — וזה מה שמזהים כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

התאימו לכל ביטוי את הביטוי שמתקבל אחרי פתיחת הסוגריים.

  • 3(x+4)3(x + 4)
  • 3(x−4)3(x - 4)
  • −3(x−4)-3(x - 4)
  • −3(x+4)-3(x + 4)
  • −3x−12-3x - 12
  • −3x+12-3x + 12
  • 3x−123x - 12
  • 3x+123x + 12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3(x+4)3(x + 4) — 3x+123x + 12 · 3(x−4)3(x - 4) — 3x−123x - 12 · −3(x−4)-3(x - 4) — −3x+12-3x + 12 · −3(x+4)-3(x + 4) — −3x−12-3x - 12

הפתרון:

−3⋅(−4)=12-3 \cdot (-4) = 12

מינוס כפול מינוס — פלוס

−3⋅4=−12-3 \cdot 4 = -12

מינוס כפול פלוס — מינוס

ה-3 (או ה-−3-3) כופל את שני האיברים, כל אחד עם הסימן שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

5(2x−3)+45(2x - 3) + 4
=10x−3+4= 10x - 3 + 4
=10x+1= 10x + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =10x−3+4= 10x - 3 + 4 → =10x−15+4= 10x - 15 + 4

הפתרון:

5⋅2x=10x5 \cdot 2x = 10x

ה-5 כופל את האיבר הראשון

5⋅(−3)=−155 \cdot (-3) = -15

וגם את השני

10x−15+4=10x−1110x - 15 + 4 = 10x - 11

ה-5 הוכפל רק באיבר הראשון. זו הטעות מספר אחת של הפילוג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

99⋅6=100⋅6−699 \cdot 6 = 100 \cdot 6 - 6

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

99=100−199 = 100 - 1

מפרקים את ה-99

(100−1)⋅6=600−6=594\begin{aligned}(100 - 1) \cdot 6 &= 600 - 6 \\ &= 594\end{aligned}

חוק הפילוג

נכון: 99⋅6=59499 \cdot 6 = 594, ו-600−6=594600 - 6 = 594. מורידים את ה-6 פעם אחת, כי 99 קטן מ-100 באחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת