אפס, אחד, והופכי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ארבע פעולות החשבון מתנהגות אותו דבר עם כל המספרים — חוץ משניים. לאפס ולאחד יש תפקיד שאין לאף מספר אחר, ומי שמכיר אותו חוסך לעצמו הרבה טעויות באלגברה.

למה אסור לחלק באפס

כדי להבין את זה צריך להיזכר מה חילוק אומר. 6:2=36 : 2 = 3 אינו כלל שהומצא — הוא אומר: «3 הוא המספר שכפול 2 נותן 6».

a:ba : b הוא המספר שכפול bb נותן aa

הכלל שאין לו יוצא מן הכלל

חילוק באפס אינו מוגדר. לא «אפס», לא «אינסוף», לא «שגיאה» — פשוט אין תשובה. וזה נכון גם ל-0:00 : 0.

כמה זה 0:70 : 7?

להציג את התשובה והפתרון

0, וזה מוגדר היטב. אפס כפול 7 הוא 0, אז התשובה קיימת ויחידה. המלכודת היא רק כשהאפס נמצא במכנה, כלומר כשמחלקים בו.

וזו גם הסיבה שבמשוואה אסור לחלק את שני האגפים בביטוי שעלול להיות אפס. בכיתה ח תפגשו את זה כשתחלקו ב-xx — ותאבדו פתרון בלי לשים לב.

איברים נייטרליים: 0 ו-1

יש מספר אחד שאפשר לחבר בלי לשנות כלום, ומספר אחד שאפשר לכפול בלי לשנות כלום. קוראים להם איברים נייטרליים — «נייטרלי» פירושו שאינו מתערב.

a+0=0+a=a\begin{aligned}a + 0 &= 0 + a \\ &= a\end{aligned}

0 הוא הנייטרלי של החיבור. מוסיפים אותו — שום דבר לא זז.

a⋅1=1⋅a=a\begin{aligned}a \cdot 1 &= 1 \cdot a \\ &= a\end{aligned}

1 הוא הנייטרלי של הכפל. כופלים בו — שום דבר לא זז.

ואל תחליפו ביניהם: כפל ב-0 מוחק הכול (a⋅0=0a \cdot 0 = 0), וחיבור של 1 משנה (a+1≠aa + 1 \neq a). לכל פעולה הנייטרלי שלה, ורק שלה.

זה נשמע מובן מאליו, אבל בלעדיו אי אפשר לעשות אלגברה: כשכותבים x=1xx = 1x, או כשמוסיפים 0 כדי «לא לשנות כלום», משתמשים בדיוק בשני הכללים האלה.

בביטוי x+5−5x + 5 - 5 — מה נשאר?

להציג את התשובה והפתרון

xx. 5−5=05 - 5 = 0, ו-x+0=xx + 0 = x. זה בדיוק המהלך שעושים כשמעבירים אבר במשוואה — מוסיפים לשני האגפים את הנגדי, כדי לקבל אפס.

מספרים הופכיים

לכל מספר יש נגדי — מה שמחברים כדי לקבל 0. ובדיוק באותו אופן, לכל מספר שונה מאפס יש הופכי — מה שכופלים כדי לקבל 1.

ההופכי של מספר הוא המספר שכפול המקורי נותן 1

a⋅1a=1a \cdot \frac{1}{a} = 1
2 ⟷ 122 \ \longleftrightarrow \ \frac{1}{2}

כי 2⋅12=12 \cdot \frac{1}{2} = 1.

35 ⟷ 53\frac{3}{5} \ \longleftrightarrow \ \frac{5}{3}

בשבר פשוט הופכים את המונה והמכנה.

1 ⟷ 11 \ \longleftrightarrow \ 1

1 הוא ההופכי של עצמו — המקרה היחיד ביחד עם −1-1.

0 ⟷ —0 \ \longleftrightarrow \ \text{---}

לאפס אין הופכי. אין מספר שכפול 0 נותן 1 — וזו בדיוק אותה סיבה שאסור לחלק בו.

ועכשיו אפשר לסגור הבטחה מהיחידה על חוקי החילוף והקיבוץ. שם ראינו שבחיסור ובחילוק אין חוקי חילוף וקיבוץ — והבטחנו דרך לעקוף. הנה היא:

a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)

כל חיסור הוא חיבור של הנגדי.

a:b=a⋅1ba : b = a \cdot \frac{1}{b}

וכל חילוק הוא כפל בהופכי.

ברגע שהכול כתוב כחיבור וככפל — שני החוקים חוזרים לתוקף, ומותר שוב לסדר מחדש כרצוננו. זה לא טריק: זו הסיבה שהחיסור והחילוק בכלל קיימים.

החוק חוזר

חשבו 20−8−520 - 8 - 5 בשתי דרכים, אחרי שהופכים הכול לחיבור.

20+(−8)+(−5)20 + (-8) + (-5)

כותבים כל חיסור כחיבור של נגדי

20+(−13)=720 + (-13) = 7

ועכשיו מותר לקבץ את שני השליליים

(20−8)−5=12−5=7\begin{aligned}(20 - 8) - 5 &= 12 - 5 \\ &= 7\end{aligned}

אותה תשובה כמו בדרך הרגילה

מהו ההופכי של 27\frac{2}{7}?

להציג את התשובה והפתרון

72\frac{7}{2}. בודקים: 27⋅72=1414=1\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{14}{14} = 1. בשבר פשוט, «הופכי» הוא ממש היפוך המונה והמכנה — ומשם השם.

ארבע הטעויות של הפרק.

6:0=06 : 0 = 0
6:0=לא מוגדר6 : 0 = \text{לא מוגדר}

«לא מוגדר» אינו מספר. תשובה 0 כאן היא טעות, לא קירוב.

0:0=10 : 0 = 1
0:0=לא מוגדר0 : 0 = \text{לא מוגדר}

כאן יש יותר מדי מועמדים, ולכן אי אפשר לבחור אחד.

a⋅0=aa \cdot 0 = a
a⋅0=0a \cdot 0 = 0

בלבול בין שני הנייטרליים. 0 נייטרלי לחיבור, לא לכפל.

ההופכי של 5 הוא −5\text{ההופכי של } 5 \text{ הוא } -5
ההופכי של 5 הוא 15\text{ההופכי של } 5 \text{ הוא } \frac{1}{5}

−5-5 הוא הנגדי — מה שמחברים כדי לקבל 0. ההופכי הוא מה שכופלים כדי לקבל 1.

עכשיו נתרגל את שלושתם.

תרגילים

תרגיל 1

כמה זה 7:07 : 0?

  1. 7
  2. לא מוגדר
  3. 0
  4. אינסוף
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא מוגדר

הפתרון:

?⋅0=7? \cdot 0 = 7

אין מספר שעונה על כך

כל מספר כפול אפס נותן אפס, ולעולם לא 7. לכן אין תשובה כלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה זה 0:90 : 9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

0⋅9=00 \cdot 9 = 0

התשובה קיימת ויחידה

כשהאפס הוא המחולק הכול תקין. רק אפס במחלק הורס את השאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

0:00 : 0 שווה ל-1, כי כל מספר חלקי עצמו הוא 1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

5⋅0=0  7⋅0=0\begin{aligned}5 \cdot 0 &= 0 \ \\ \ 7 \cdot 0 &= 0\end{aligned}

שני מועמדים — וגם כל השאר

כאן יש אינסוף תשובות אפשריות, ולכן אי אפשר לבחור אחת. גם 0:00 : 0 אינו מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה זה 138⋅1138 \cdot 1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 138

הפתרון:

a⋅1=aa \cdot 1 = a

1 הוא הנייטרלי של הכפל

אין כאן חישוב — יש כלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה זה 138⋅0138 \cdot 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

a⋅0=0a \cdot 0 = 0

כפל באפס מוחק הכול

שימו לב להבדל מהשאלה הקודמת: 1 אינו מתערב, 0 מוחק. שניהם מיוחדים — כל אחד אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איזה מספר הוא הנייטרלי של החיבור?

  1. 0
  2. כל מספר
  3. 1
  4. אין כזה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0

הפתרון:

a+0=aa + 0 = a

שום דבר לא זז

1 הוא הנייטרלי של הכפל. לכל פעולה יש נייטרלי משלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו ההופכי של 4? ענו בשבר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

4⋅14=14 \cdot \frac{1}{4} = 1

ההופכי הוא 14\frac{1}{4}

14=0.25\frac{1}{4} = 0.25

ובעשרוני

הופכי — כופלים ומקבלים 1. נגדי — מחברים ומקבלים 0. שני דברים שונים לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נגדי או הופכי?

  • נגדי
  • הופכי
  • כופלים ומקבלים 1
  • מחברים ומקבלים 0
  • של 5 — הוא −5-5
  • של 5 — הוא 15\frac{1}{5}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחברים ומקבלים 0 — נגדי · כופלים ומקבלים 1 — הופכי · של 5 — הוא −5-5 — נגדי · של 5 — הוא 15\frac{1}{5} — הופכי

הפתרון:

5+(−5)=05 + (-5) = 0

הנגדי — חיבור

5⋅15=15 \cdot \frac{1}{5} = 1

וההופכי — כפל

הבלבול בין השניים הוא הטעות המרכזית של הפרק. השאלה תמיד: איזו פעולה, ואיזו תוצאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לאפס אין מספר הופכי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

?⋅0=1? \cdot 0 = 1

אין מספר כזה

וזו בדיוק אותה סיבה שאי אפשר לחלק באפס — שתי אמירות של אותה עובדה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

השלימו את ההופכיים

ההופכי של 10 הוא אחד חלקי ____, וההופכי של השבר 1/8 הוא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ההופכי של 10 הוא אחד חלקי 10, וההופכי של השבר 1/8 הוא 8

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חשבו בעזרת הנייטרליים: (17−17)⋅45+1⋅6(17 - 17) \cdot 45 + 1 \cdot 6

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

17−17=017 - 17 = 0

הסוגריים מתאפסות

0⋅45=00 \cdot 45 = 0

וכפל באפס מוחק את כל האיבר

1⋅6=61 \cdot 6 = 6

וכפל ב-1 אינו משנה דבר

מי שזיהה את שני הכללים לא חישב כאן כלום. זו בדיוק התועלת שלהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

a⋅1=aa \cdot 1 = a
a+0=aa + 0 = a
a:0=0a : 0 = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a:0=0a : 0 = 0 → a:0=לא מוגדרa : 0 = \text{לא מוגדר}

הפתרון:

a⋅1=a  a+0=a\begin{aligned}a \cdot 1 &= a \ \\ \ a + 0 &= a\end{aligned}

שני הנייטרליים, נכונים

a:0=לא מוגדרa : 0 = \text{לא מוגדר}

והשלישית מנסה לתת ערך למה שאין לו

שתי השורות הראשונות הן הנייטרליים. השלישית מנסה לתת ערך למשהו שאין לו ערך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

כתבו את 30−12−830 - 12 - 8 כחיבור של נגדיים וחשבו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

30+(−12)+(−8)30 + (-12) + (-8)

כל חיסור הופך לחיבור של נגדי

−12+(−8)=−20-12 + (-8) = -20

ועכשיו מותר לקבץ

30−20=1030 - 20 = 10

מחברים

אחרי ההפיכה לחיבור חוקי החילוף והקיבוץ חוזרים לתוקף — זו כל התועלת במהלך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת