כשהסוגריים זזות בחיסור ובחילוק

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בחיבור ובכפל מותר להזיז סוגריים בחופשיות — זה חוק הקיבוץ. בחיסור ובחילוק אסור, וכבר ראינו את זה.

אבל «אסור להזיז» אינו «אי אפשר». יש ארבעה כללים שאומרים בדיוק מה קורה כשמזיזים, ואיתם אפשר לפתוח כל סוגר.

את הכללים האלה לא לומדים בעל פה. לומדים את המשמעות שלהם — ואז כל אחד מהם נראה ברור מאליו, ואי אפשר להתבלבל בסימן.

1. חיסור של סכום

יש לי 50 שקלים. קניתי מחברת ב-12 שקלים ועט ב-9 שקלים. כמה נשאר לי?

שתי דרכים, אותה תשובה

אפשר לחשב קודם כמה שילמתי, או להוריד כל קנייה בנפרד.

50−(12+9)=50−21=29\begin{aligned}50 - (12 + 9) &= 50 - 21 \\ &= 29\end{aligned}

דרך א׳ — קודם מחברים את שתי הקניות

50−12−9=38−9=29\begin{aligned}50 - 12 - 9 &= 38 - 9 \\ &= 29\end{aligned}

דרך ב׳ — מורידים אחת, ואז את השנייה

a−(b+c)=a−b−ca - (b + c) = a - b - c

שימו לב ל-cc: בתוך הסוגריים היה לפניו פלוס, ומחוץ להן יש לפניו מינוס. זה לא שרירותי — ה-9 הוא כסף שיצא, בשתי הדרכים.

העיקרון, במילה אחת: כשהמחסר גדל — ההפרש קטן. הוספנו 9 למה שמחסרים, ולכן התוצאה ירדה ב-9.

2. חיסור של הפרש

יש לי 40 שקלים. חבר לקח ממני 15, אבל מיד החזיר 3. כמה נשאר לי?

וכאן הסימן מתהפך

מה שהחבר לקח בפועל הוא 15−315 - 3.

40−(15−3)=40−12=28\begin{aligned}40 - (15 - 3) &= 40 - 12 \\ &= 28\end{aligned}

דרך א׳ — קודם מחשבים כמה באמת נלקח

40−15+3=25+3=28\begin{aligned}40 - 15 + 3 &= 25 + 3 \\ &= 28\end{aligned}

דרך ב׳ — מורידים 15, ומחזירים 3

a−(b−c)=a−b+ca - (b - c) = a - b + c

ה-3 חזר אליי, ולכן מחוץ לסוגריים הוא מתווסף. מי שכותב 40−15−340 - 15 - 3 מוריד את אותם 3 שקלים פעמיים.

והעיקרון ההפוך: כשהמחסר קטן — ההפרש גדל. הורדנו 3 ממה שמחסרים, ולכן התוצאה עלתה ב-3.

פתחו את הסוגריים: 100−(40−7)100 - (40 - 7)

להציג את התשובה והפתרון

100−40+7=67100 - 40 + 7 = 67. המינוס שלפני הסוגריים הופך את שני הסימנים שבפנים — הפלוס למינוס, והמינוס לפלוס.

3. הכפלת המחלק

עכשיו עוברים לחילוק, ואותו רעיון חוזר. יש 60 בננות ו-4 כלובים; בכל כלוב 5 קופים. כמה בננות מקבל כל קוף?

שוב שתי דרכים

אפשר לספור קודם את כל הקופים, או לחלק בשני שלבים.

60:(4⋅5)=60:20=3\begin{aligned}60 : (4 \cdot 5) &= 60 : 20 \\ &= 3\end{aligned}

דרך א׳ — 20 קופים בסך הכול

(60:4):5=15:5=3\begin{aligned}(60 : 4) : 5 &= 15 : 5 \\ &= 3\end{aligned}

דרך ב׳ — קודם לכל כלוב 15, ואז בין 5 קופים

a:(b⋅c)=(a:b):ca : (b \cdot c) = (a : b) : c

העיקרון: כשכופלים את המחלק — המנה מתחלקת באותו שיעור. פי 5 יותר קופים, פי 5 פחות בננות לכל אחד.

4. חילוק המחלק

והמקרה הרביעי, שהוא ההפוך: 36 תלמידים מתחלקים לקבוצות, ומספר הקבוצות עצמו הוא 12:312 : 3. כמה תלמידים בקבוצה?

המינוס של החילוק

מספר הקבוצות הוא 12:3=412 : 3 = 4.

36:(12:3)=36:4=9\begin{aligned}36 : (12 : 3) &= 36 : 4 \\ &= 9\end{aligned}

דרך א׳ — קודם מחשבים את מספר הקבוצות

(36:12)⋅3=3⋅3=9\begin{aligned}(36 : 12) \cdot 3 &= 3 \cdot 3 \\ &= 9\end{aligned}

דרך ב׳ — והחילוק בפנים הופך לכפל בחוץ

a:(b:c)=(a:b)⋅ca : (b : c) = (a : b) \cdot c

העיקרון: כשמחלקים את המחלק — המנה מוכפלת באותו שיעור. פחות קבוצות, יותר תלמידים בכל אחת.

וזה בדיוק אותו דפוס כמו בחיסור: הפעולה שבפנים מתהפכת כשיוצאים החוצה. פלוס נעשה מינוס, מינוס נעשה פלוס, כפל נעשה חילוק וחילוק נעשה כפל.

ובונוס: חוק הפילוג של החילוק

את חוק הפילוג הכרנו בכפל. הוא עובד גם בחילוק — אבל רק כשהסוגריים הן המחולק, כלומר כשהן משמאל לסימן החילוק.

(b+c):d=b:d+c:d(b + c) : d = b : d + c : d

בדיקה במספרים

חשבו (30+45):15(30 + 45) : 15 בשתי דרכים.

(30+45):15=75:15=5\begin{aligned}(30 + 45) : 15 &= 75 : 15 \\ &= 5\end{aligned}

קודם הסוגריים

30:15+45:15=2+3=5\begin{aligned}30 : 15 + 45 : 15 &= 2 + 3 \\ &= 5\end{aligned}

וקודם החילוק — אותה תשובה

ולמה זה עובד? כי חילוק ב-dd הוא כפל בהופכי 1d\frac{1}{d} — ובכפל כבר יש חוק פילוג. אין כאן חוק חדש, רק אותו חוק בלבוש אחר.

שלוש הטעויות של היחידה.

40−(15−3)=40−15−340 - (15 - 3) = 40 - 15 - 3
40−(15−3)=40−15+340 - (15 - 3) = 40 - 15 + 3

המינוס שלפני הסוגריים הופך את כל הסימנים שבפנים, לא רק את הראשון.

a:(b⋅c)=(a:b)⋅ca : (b \cdot c) = (a : b) \cdot c
a:(b⋅c)=(a:b):ca : (b \cdot c) = (a : b) : c

כפל בפנים הופך לחילוק בחוץ. מי שמשאיר כפל מכפיל במקום לחלק — פי c2c^2 הפרש.

120:(4+2)=120:4+120:2120 : (4 + 2) = 120 : 4 + 120 : 2
120:(4+2)=120:6120 : (4 + 2) = 120 : 6

אין חוק פילוג כשהסוגריים הן המחלק. הפילוג בחילוק עובד רק כשהסוגריים משמאל.

עכשיו נתרגל את ארבעת הכללים — ובעיקר את הסימנים.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו: 50−(12+9)50 - (12 + 9)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29

הפתרון:

50−12−950 - 12 - 9

פותחים: שניהם יוצאים במינוס

=29= 29

מחשבים

חיסור של סכום מוריד את שני האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו: 100−(40−7)100 - (40 - 7)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 67

הפתרון:

100−40+7100 - 40 + 7

המינוס שבפנים הופך לפלוס

=67= 67

מחשבים

מי שכתב 100−40−7=53100 - 40 - 7 = 53 הוריד את ה-7 פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו הפיתוח הנכון של a−(b−c)a - (b - c)?

  1. a−b+ca - b + c
  2. a+b−ca + b - c
  3. a−b−ca - b - c
  4. a+b+ca + b + c
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א a−b+ca - b + c

הפתרון:

−(b−c)=−b+c-(b - c) = -b + c

שני הסימנים מתהפכים

העיקרון: כשהמחסר קטן — ההפרש גדל. ה-cc חוזר אלינו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו: 60:(4⋅5)60 : (4 \cdot 5)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

60:20=360 : 20 = 3

דרך אחת

(60:4):5=15:5=3\begin{aligned}(60 : 4) : 5 &= 15 : 5 \\ &= 3\end{aligned}

והדרך השנייה — אותה תשובה

כשכופלים את המחלק, המנה מתחלקת באותו שיעור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו: 36:(12:3)36 : (12 : 3)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

12:3=412 : 3 = 4

קודם הסוגריים

36:4=936 : 4 = 9

ואז החילוק

(36:12)⋅3=9(36 : 12) \cdot 3 = 9

ובדרך השנייה — החילוק בפנים הופך לכפל

כשמחלקים את המחלק, המנה מוכפלת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

a:(b⋅c)a : (b \cdot c) שווה ל...

  1. (a:b)⋅c(a : b) \cdot c
  2. (a:b):c(a : b) : c
  3. (a⋅b):c(a \cdot b) : c
  4. a:b⋅a:ca : b \cdot a : c
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (a:b):c(a : b) : c

הפתרון:

60:(4⋅5)=(60:4):560 : (4 \cdot 5) = (60 : 4) : 5

בדיקה במספרים: שניהם 3

בדיקה במספרים היא הדרך הבטוחה לבחור בין שתי נוסחאות דומות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו בשתי דרכים ובדקו: (30+45):15(30 + 45) : 15

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

75:15=575 : 15 = 5

קודם הסוגריים

30:15+45:15=2+3=5\begin{aligned}30 : 15 + 45 : 15 &= 2 + 3 \\ &= 5\end{aligned}

ובפילוג

הפילוג בחילוק עובד — אבל רק כשהסוגריים הן המחולק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

120:(4+2)120 : (4 + 2) שווה ל-120:4+120:2120 : 4 + 120 : 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

120:6=20120 : 6 = 20

הנכון

30+60=9030 + 60 = 90

והשגוי

אין חוק פילוג כשהסוגריים הן המחלק. ההפרש כאן הוא 70 — לא עיגול, טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

80−(20+5)=80−20−580 - (20 + 5) = 80 - 20 - 5
80−(20−5)=80−20−580 - (20 - 5) = 80 - 20 - 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80−(20−5)=80−20−580 - (20 - 5) = 80 - 20 - 5 → 80−(20−5)=80−20+580 - (20 - 5) = 80 - 20 + 5

הפתרון:

80−(20−5)=80−20+580 - (20 - 5) = 80 - 20 + 5

המינוס שבפנים מתהפך

=65= 65

ולא 55

שתי השורות נראות זהות, והפעולה שבפנים שונה. בשורה השנייה המינוס שבפנים חייב להתהפך לפלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו כל כלל לעיקרון שלו

  • a - (b + c)
  • a - (b - c)
  • a : (b · c)
  • a : (b : c)
  • המחלק גדל — המנה קטנה
  • המחלק קטן — המנה גדלה
  • המחסר גדל — ההפרש קטן
  • המחסר קטן — ההפרש גדל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a - (b + c) — המחסר גדל — ההפרש קטן · a - (b - c) — המחסר קטן — ההפרש גדל · a : (b · c) — המחלק גדל — המנה קטנה · a : (b : c) — המחלק קטן — המנה גדלה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתחו וחשבו: 25−(8+3)+(10−4)25 - (8 + 3) + (10 - 4)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

25−8−3+10−425 - 8 - 3 + 10 - 4

הסוגריים הראשונות אחרי מינוס — שני הסימנים מתהפכים

=20= 20

והשניות אחרי פלוס — שום דבר לא משתנה

זו הנקודה: רק מינוס לפני סוגריים מהפך סימנים. פלוס לפניהן אינו עושה כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בכיתה 48 עפרונות. מחלקים אותם ל-6:26 : 2 שולחנות שווים. כמה עפרונות לכל שולחן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

6:2=36 : 2 = 3

שלושה שולחנות

48:3=1648 : 3 = 16

וחילוק ביניהם

(48:6)⋅2=8⋅2=16\begin{aligned}(48 : 6) \cdot 2 &= 8 \cdot 2 \\ &= 16\end{aligned}

ובכלל: חילוק המחלק הופך לכפל

שתי הדרכים נותנות 16. השנייה שימושית כשהמספרים אינם מתחלקים יפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

פשטו את הביטוי x−(x−8)x - (x - 8) — מהו ערכו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x−x+8x - x + 8

המינוס הופך את שני הסימנים

0+8=80 + 8 = 8

וה-xx-ים מתבטלים

התשובה אינה תלויה ב-xx כלל — נסו להציב כמה מספרים ותקבלו 8 בכל פעם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת