חוק החילוף וחוק הקיבוץ

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שני חוקים שנראים מובנים מאליהם — ודווקא בגללם נופלים. שניהם אומרים שמותר לסדר מחדש תרגיל בלי לשנות את התוצאה. השאלה האמיתית היא מתי מותר, ועל זה כל השיעור.

חוק החילוף — להחליף מקומות

בחיבור ובכפל אפשר להחליף בין שני האיברים, והתוצאה לא זזה:

a+b=b+aa⋅b=b⋅a\begin{aligned}a + b &= b + a \qquad a \cdot b \\ &= b \cdot a\end{aligned}

הטעות של החילוף.

10−4=4−1010 - 4 = 4 - 10
10−4≠4−1010 - 4 \neq 4 - 10

שישה מול מינוס שישה. בחיסור הסדר קובע.

12:3=3:1212 : 3 = 3 : 12
12:3≠3:1212 : 3 \neq 3 : 12

ארבע מול רבע. בחילוק הסדר קובע.

האם 8−58 - 5 שווה ל-5−85 - 8?

להציג את התשובה והפתרון

לא. 8−5=38-5=3 ואילו 5−8=−35-8=-3. חוק החילוף עובד רק בחיבור ובכפל — בחיסור הסדר הוא חלק מהתרגיל.

חוק הקיבוץ — לבחור מי מתחבר עם מי

כשיש שלושה איברים ויותר, חוק הקיבוץ מרשה לבחור אילו מהם לחשב קודם. הסוגריים זזות, התוצאה לא:

(a+b)+c=a+(b+c)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\begin{aligned}(a + b) + c &= a + (b + c) \qquad (a \cdot b) \cdot c \\ &= a \cdot (b \cdot c)\end{aligned}

בפועל משתמשים בשני החוקים יחד: החילוף מזיז את המספרים, והקיבוץ מחליט מי נכנס לסוגריים. זה מה שמאפשר לחשב 4⋅27⋅254 \cdot 27 \cdot 25 בראש — מזיזים את ה-25 ליד ה-4, וכופלים קודם אותם.

חשבו בדרך נוחה: 8⋅17⋅1258 \cdot 17 \cdot 125

להציג את התשובה והפתרון

17,000. חוק החילוף מזיז את ה-125 ליד ה-8, וחוק הקיבוץ מרשה לכפול אותם קודם: 8⋅125=10008 \cdot 125 = 1000, ואז 1000⋅171000 \cdot 17.

ומה עם החיסור והחילוק?

גם חוק הקיבוץ אינו חל עליהם. בדקו: (20−8)−3=9(20 - 8) - 3 = 9, אבל 20−(8−3)=1520 - (8 - 3) = 15. אותם שלושה מספרים, אותו סדר — ורק הסוגריים זזו.

יש דרך לעקוף את זה, ולומדים אותה בהמשך: כל חיסור אפשר לכתוב כחיבור של מספר נגדי (20−8=20+(−8)20 - 8 = 20 + (-8)), וכל חילוק ככפל בהופכי. ברגע שהכול הופך לחיבור וכפל — שני החוקים חוזרים לתוקף.

הטעות של הקיבוץ.

(20−8)−3=20−(8−3)(20 - 8) - 3 = 20 - (8 - 3)
9≠159 \neq 15

בחיסור, הזזת סוגריים משנה את התשובה. לא מזיזים סוגריים בחיסור ובחילוק.

תרגילים

תרגיל 1

באיזו פעולה אין חוק חילוף?

  1. חיסור
  2. חיבור
  3. בכולן יש
  4. כפל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א חיסור

הפתרון:

7−3≠3−77-3 \neq 3-7

גם בחילוק אין — הסדר שם חלק מהמשמעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו בדרך נוחה: 25⋅17⋅425 \cdot 17 \cdot 4

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1700

הפתרון:

25⋅4=10025 \cdot 4 = 100

חילוף וקיבוץ

100⋅17=1700100 \cdot 17 = 1700
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו: 37+58+337 + 58 + 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 98

הפתרון:

37+3=4037 + 3 = 40

הזוג שמשלים לעשרת

40+58=9840 + 58 = 98
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה זה (20−8)−3(20 - 8) - 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

12−3=912 - 3 = 9

בחיסור אין חוק קיבוץ: מיקום הסוגריים משנה את התוצאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

וכמה זה 20−(8−3)20 - (8 - 3)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

20−5=1520 - 5 = 15

אותם מספרים, רק הסוגריים זזו — ובחיסור זה משנה הכול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חוק הקיבוץ חל על…

  1. אף פעולה
  2. כל ארבע הפעולות
  3. חיסור וחילוק
  4. חיבור וכפל בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד חיבור וכפל בלבד

הפתרון:

(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c = a+(b+c)

רק לחיבור ולכפל. בחיסור ובחילוק שינוי הקיבוץ משנה את התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו: 8⋅125⋅98 \cdot 125 \cdot 9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9000

הפתרון:

8⋅125=10008 \cdot 125 = 1000
1000⋅9=90001000 \cdot 9 = 9000

מחפשים את הזוג שנותן מספר עגול: 8 כפול 125 הם 1000, והשאר קל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a — איזה חוק?

  1. סדר פעולות
  2. חוק החילוף
  3. חוק הקיבוץ
  4. חוק הפילוג
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב חוק החילוף

הפתרון:

החלפת מקומות\text{החלפת מקומות}

חוק החילוף מדבר על סדר; חוק הקיבוץ מדבר על מיקום הסוגריים. שניים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו: 2⋅43⋅52 \cdot 43 \cdot 5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 430

הפתרון:

2⋅5=102 \cdot 5 = 10
10⋅43=43010 \cdot 43 = 430

2 ו-5 נותנים 10 — מחפשים אותם קודם, ואז הכפל נעשה בראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

איך אפשר בכל זאת להחיל את חוק החילוף על חיסור?

  1. להשתמש בסוגריים
  2. להפוך את הסימן בסוף
  3. לכתוב את החיסור כחיבור של מספר נגדי
  4. אי אפשר לעולם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לכתוב את החיסור כחיבור של מספר נגדי

הפתרון:

20−8=20+(−8)20 - 8 = 20 + (-8)

ברגע שהכול חיבור — החוקים חוזרים לתוקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חשבו: 4⋅27⋅254 \cdot 27 \cdot 25

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2700

הפתרון:

4⋅25=1004 \cdot 25 = 100
100⋅27=2700100 \cdot 27 = 2700

4 כפול 25 הם 100. חוק החילוף מרשה לסדר מחדש כדי להגיע לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ומה עם החיסור והחילוק?

תרגיל 12

בכל זוג: האם הסרת הסוגריים משנה את התוצאה?

  • אותה תוצאה
  • תוצאה שונה
  • (25⋅4)+9(25 \cdot 4) + 9 מול 25⋅4+925 \cdot 4 + 9
  • (30+10):5(30 + 10) : 5 מול 30+10:530 + 10 : 5
  • 120:(60:2)120 : (60 : 2) מול 120:60:2120 : 60 : 2
  • 200−(70−20)200 - (70 - 20) מול 200−70−20200 - 70 - 20
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (25⋅4)+9(25 \cdot 4) + 9 מול 25⋅4+925 \cdot 4 + 9 — אותה תוצאה · 120:(60:2)120 : (60 : 2) מול 120:60:2120 : 60 : 2 — תוצאה שונה · 200−(70−20)200 - (70 - 20) מול 200−70−20200 - 70 - 20 — תוצאה שונה · (30+10):5(30 + 10) : 5 מול 30+10:530 + 10 : 5 — תוצאה שונה

הפתרון:

120:(60:2)=4120 : (60 : 2) = 4

עם הסוגריים

120:60:2=1120 : 60 : 2 = 1

ובלעדיהם

בחיסור ובחילוק הסוגריים קובעים — הזזתם משנה את התוצאה. בזוג הראשון הסוגריים מיותרים, כי הכפל ממילא קודם לחיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

150−(40+25)150 - (40 + 25) שווה ל-150−40−25150 - 40 - 25

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

150−65=85150 - 65 = 85
150−40−25=85150 - 40 - 25 = 85

כשמסירים סוגריים אחרי מינוס, כל איבר שבפנים מחליף סימן: החיבור שבפנים הופך לחיסור שני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת