חישוב חזקות וחזקות של 10

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

לחשב חזקה זה פשוט לבצע את הכפל החוזר. כדאי לדעת בעל פה את הראשונות — הן חוזרות בכל פרק בהמשך.

22=423=824=1625=3232=933=2742=1652=2562=3672=4982=6492=81\begin{array}{ccccc} 2^2 = 4 & 2^3 = 8 & 2^4 = 16 & 2^5 = 32 \\ 3^2 = 9 & 3^3 = 27 & 4^2 = 16 & 5^2 = 25 \\ 6^2 = 36 & 7^2 = 49 & 8^2 = 64 & 9^2 = 81 \end{array}

חזקות של 10 — התוספת של השנה

ב-10 קורה משהו נוח: המעריך סופר את האפסים. זה הופך חישובים ארוכים לקריאה מיידית.

זו הסיבה שמספרים גדולים נכתבים כך במדע: 3×1083 \times 10^8 קצר וברור יותר מ-300,000,000, וקל יותר להשוות בין שני מספרים כאלה.

חזקות בסדר פעולות

התוספת השנייה של כיתה ז: החזקות נכנסות לסדר פעולות חשבון, ומקומן מיד אחרי הסוגריים — לפני הכפל והחילוק.

(  )(\;)

1. סוגריים

ana^n

2. חזקות ושורשים

×    :\times \;\; :

3. כפל וחילוק, משמאל לימין

+    −+ \;\; -

4. חיבור וחיסור, משמאל לימין

החזקה שייכת לאיבר שלה בלבד.

3×22=363 \times 2^2 = 36
3×22=3×4=12\begin{aligned}3 \times 2^2 &= 3 \times 4 \\ &= 12\end{aligned}

החזקה חלה על ה-2 בלבד, לא על המכפלה. מי שמרבע את 3×23 \times 2 פתר תרגיל אחר.

ומה נלמד בהמשך

בכיתה ט נראה שאפשר לחבר, לחסר ולהכפיל מעריכים בלי לחשב את החזקות בכלל — אלה חוקי החזקות. הם נשענים בדיוק על מה שלמדנו כאן: חזקה היא ספירה של כמה פעמים הבסיס חוזר.

כמה זה 10510^5?

להציג את התשובה והפתרון

100,000 — אחד ואחריו חמישה אפסים. בבסיס 10 המעריך סופר אפסים.

כמה זה 2102^{10}?

להציג את התשובה והפתרון

1,024. כדאי להכיר — המספר שחוזר בכל מחשב.

תרגילים

תרגיל 1

כמה זה? (המעריך סופר את האפסים)

102=  ?10^{2} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

102=10010^{2} = 100

2 אפסים

זו הסיבה שחזקות של 10 נוחות כל כך למספרים גדולים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה זה? (המעריך סופר את האפסים)

103=  ?10^{3} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1000

הפתרון:

103=100010^{3} = 1000

3 אפסים

זו הסיבה שחזקות של 10 נוחות כל כך למספרים גדולים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה זה? (המעריך סופר את האפסים)

105=  ?10^{5} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100000

הפתרון:

105=10000010^{5} = 100000

5 אפסים

זו הסיבה שחזקות של 10 נוחות כל כך למספרים גדולים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה זה? (המעריך סופר את האפסים)

106=  ?10^{6} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1000000

הפתרון:

106=100000010^{6} = 1000000

6 אפסים

זו הסיבה שחזקות של 10 נוחות כל כך למספרים גדולים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שימו לב לסדר הפעולות. חשבו:

3+2×52=  ?3 + 2 \times 5^{2} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53

הפתרון:

52=255^2 = 25

החזקה קודמת לכפל

2×25=502 \times 25 = 50

ואז הכפל

3+50=533 + 50 = 53

ולבסוף החיבור

החזקה נמצאת מיד אחרי הסוגריים — לפני הכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שימו לב לסדר הפעולות. חשבו:

4+3×22=  ?4 + 3 \times 2^{2} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

22=42^2 = 4

החזקה קודמת לכפל

3×4=123 \times 4 = 12

ואז הכפל

4+12=164 + 12 = 16

ולבסוף החיבור

החזקה נמצאת מיד אחרי הסוגריים — לפני הכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שימו לב לסדר הפעולות. חשבו:

10+1×42=  ?10 + 1 \times 4^{2} = \;?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

42=164^2 = 16

החזקה קודמת לכפל

1×16=161 \times 16 = 16

ואז הכפל

10+16=2610 + 16 = 26

ולבסוף החיבור

החזקה נמצאת מיד אחרי הסוגריים — לפני הכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כמה זה 3×223 \times 2^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

22=42^2 = 4

החזקה חלה על ה-2 בלבד

3×4=123 \times 4 = 12

ואז כופלים

מי שמרבע את 3×23 \times 2 מקבל 36 — תרגיל אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה אפסים יש ב-10610^6?

  1. שבעה
  2. חמישה
  3. שישה
  4. שישים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שישה

הפתרון:

106=1,000,00010^6 = 1{,}000{,}000

המעריך סופר את האפסים

הספרה 1 בהתחלה אינה אפס — ולכן המספר בנוי מ-1 ואחריו שישה אפסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

איפה נמצאות החזקות בסדר פעולות החשבון?

  1. לפני הסוגריים
  2. אחרי הכפל והחילוק
  3. בסוף, אחרי החיבור
  4. מיד אחרי הסוגריים, לפני כפל וחילוק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מיד אחרי הסוגריים, לפני כפל וחילוק

הפתרון:

(  )→an→×:→+−(\;) \rightarrow a^n \rightarrow \times : \rightarrow + -

ארבע הדרגות

זו התוספת של כיתה ז לסדר הפעולות שכבר מוכר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

סדרו את שלבי החישוב של 2+3×232 + 3 \times 2^3, מהראשון לאחרון.

  • 2+24=262 + 24 = 26
  • 23=82^3 = 8
  • 3×8=243 \times 8 = 24
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 23=82^3 = 8 · 3×8=243 \times 8 = 24 · 2+24=262 + 24 = 26

הפתרון:

23=82^3 = 8

החזקה קודמת

3×8=243 \times 8 = 24

ואז הכפל

2+24=262 + 24 = 26

ולבסוף החיבור

מי שמתחיל ב-2+3=52 + 3 = 5 מקבל 5×8=405 \times 8 = 40 — זה החיבור שקפץ לפני הכפל והחזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

דנה חישבה 5+2×325 + 2 \times 3^2. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

32=63^2 = 6
2×9=182 \times 9 = 18
5+18=235 + 18 = 23
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32=63^2 = 6 → 32=3×3=93^2 = 3 \times 3 = 9

הפתרון:

32=3×3=9\begin{aligned}3^2 &= 3 \times 3 \\ &= 9\end{aligned}

המעריך סופר כמה פעמים 3 מופיע בכפל

5+2×9=5+18=23\begin{aligned}5 + 2 \times 9 &= 5 + 18 \\ &= 23\end{aligned}

ואז הכפל, ולבסוף החיבור

323^2 אינו 3×23 \times 2. השורות הבאות כבר השתמשו ב-9 הנכון — רק השורה הראשונה כתבה 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בבניין יש 4 קומות, בכל קומה 4 דירות, ובכל דירה 4 חדרים. כמה חדרים בבניין?

איזה חישוב מתאים?

  1. 434^3
  2. 4+4+44 + 4 + 4
  3. 343^4
  4. 4×34 \times 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 434^3

הפתרון:

434^3

זה החישוב שהסיפור מתאר

שלוש רמות שכל אחת מכפילה פי 4 — זה כפל חוזר, ולכן חזקה. 4×3=124 \times 3 = 12 היה סיפור אחר לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בבניין יש 4 קומות, בכל קומה 4 דירות, ובכל דירה 4 חדרים. כמה חדרים בבניין?

ומה התשובה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

4×4×44 \times 4 \times 4

אותו מספר, שלוש פעמים

=43=64= 4^3 = 64

וזו בדיוק חזקה

שלוש רמות שכל אחת מכפילה פי 4 — זה כפל חוזר, ולכן חזקה. 4×3=124 \times 3 = 12 היה סיפור אחר לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

תא חיידקים מתחלק לשניים כל שעה. בהתחלה היה תא אחד. כמה תאים יהיו אחרי 6 שעות?

איזה חישוב מתאים?

  1. 2×62 \times 6
  2. 262^6
  3. 626^2
  4. 2+62 + 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 262^6

הפתרון:

262^6

זה החישוב שהסיפור מתאר

62=366^2 = 36 הוא היפוך של הבסיס והמעריך — שני מספרים שונים, ורק אחד מהם מתאר את הסיפור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

תא חיידקים מתחלק לשניים כל שעה. בהתחלה היה תא אחד. כמה תאים יהיו אחרי 6 שעות?

ומה התשובה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

2×2×2×2×2×22 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

כל שעה הכמות מוכפלת ב-2

=26=64= 2^6 = 64

שש שעות, שש הכפלות

62=366^2 = 36 הוא היפוך של הבסיס והמעריך — שני מספרים שונים, ורק אחד מהם מתאר את הסיפור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • (  )(\;)
  • ana^n
  • ×    :\times \;\; :
  • +    −+ \;\; -
  • 1. סוגריים
  • 2. חזקות ושורשים
  • 3. כפל וחילוק, משמאל לימין
  • 4. חיבור וחיסור, משמאל לימין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (  )(\;) — 1. סוגריים · ana^n — 2. חזקות ושורשים · ×    :\times \;\; : — 3. כפל וחילוק, משמאל לימין · +    −+ \;\; - — 4. חיבור וחיסור, משמאל לימין

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזקות בסדר פעולות

תרגיל 18

חשבו: (2⋅4)2−(1+2)3(2 \cdot 4)^2 - (1 + 2)^3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 37

הפתרון:

(2⋅4)2=82=64\begin{aligned}(2 \cdot 4)^2 &= 8^2 \\ &= 64\end{aligned}

הסוגריים לפני החזקה

(1+2)3=33=27\begin{aligned}(1 + 2)^3 &= 3^3 \\ &= 27\end{aligned}
64−27=3764 - 27 = 37

כשהחזקה חלה על סוגריים — מחשבים קודם מה שבפנים, ורק אז מעלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

חשבו את ערך הביטוי 3(x+y)23(x + y)^2 עבור x=4x = 4 ו-y=1y = 1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

3(4+1)23(4 + 1)^2

מציבים

=3⋅25=75= 3 \cdot 25 = 75

החזקה לפני הכפל

ה-3 אינו בתוך החזקה. 3⋅523 \cdot 5^2 הוא 75, ואילו (3⋅5)2(3 \cdot 5)^2 היה 225.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת