כמה מהר חזקה גדלה · חזקות · כיתה ז׳

חזקה אינה רק כתיב מקוצר. היא מתארת מהירות — קצב שבו מספר גדל כשכופלים אותו בעצמו שוב ושוב. וזו מהירות שהאינטואיציה שלנו כמעט תמיד מחמיצה.

לספור את הקפיצות

ניקח את המספר 2 ונכפיל אותו בעצמו שוב ושוב. נראה בהתחלה משעמם — ואז זה מתפוצץ.

2^2 = 4

שתי הכפלות.

2^5 = 32

חמש — עדיין קטן.

2^{10} = 1024

עשר — וכבר עברנו אלף.

2^{20} = 1048576

עשרים — יותר ממיליון.

שימו לב לשתי השורות האחרונות: את המעריך הכפלנו רק פי 2 — מ-10 ל-20.

והתוצאה גדלה פי אלף. זה לא כפל, וזה גם לא חיבור — זה משהו אחר לגמרי.

סיפור אחד שמסביר הכול

בבוקר הראשון ילד אחד מספר סוד לשני חברים. למחרת כל אחד מהשניים מספר לשני חברים חדשים, וכך הלאה — כל יום, כל מי ששמע אתמול מספר לשניים.

כמה חדשים שומעים בכל יום?

סופרים רק את החדשים של כל יום.

2^1 = 2

יום ראשון — שניים

2^3 = 8

יום שלישי — שמונה

2^{10} = 1024

יום עשירי — אלף עשרים וארבעה

2^{20} = 1048576

ואחרי עשרים יום — יותר ממיליון

וזה בדיוק המבנה של כל התפשטות: חיידקים שמתחלקים, שמועה שרצה ברשת, מספר הקיפולים של דף נייר. בכל אחד מהם הכמות מוכפלת בכל שלב, ולכן היא חזקה — ולכן היא מדהימה אותנו בכל פעם מחדש.

דף נייר שמקפלים לשניים 10 פעמים — כמה שכבות מתקבלות?

להציג את התשובה והפתרון

1024. כל קיפול מכפיל את מספר השכבות, ולכן אחרי 10 קיפולים יש $2^{10} = 1024$ שכבות. בדף רגיל זה כבר עבה כמו ספר — וזו הסיבה שאי אפשר להמשיך לקפל.

וכשהבסיס הוא שבר

אותו דבר בדיוק קורה בכיוון ההפוך כשהבסיס קטן מ-1. כפל בשבר מקטין, ולכן הכפלה חוזרת בשבר מקטינה מהר מאוד.

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

חצי מחצי.

\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}

וכבר בערך שלושה אחוזים מהשלם.

\left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024}

עשר פעמים — אלפית.

והשוו את המכנים לרשימה שלמעלה: $4$ , $32$ , $1024$ — בדיוק אותם מספרים. זה לא צירוף מקרים: כשכופלים חצי בעצמו $n$ פעמים, המכנה הוא $2^n$ .

\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{1}{2^{n}}

וזה נכון לכל שבר: מעלים בחזקה את המונה ואת המכנה בנפרד. $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ , ולא $\frac{2}{9}$ .

מהו $\left(\frac{1}{3}\right)^3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{1}{27}$ . המונה: $1^3 = 1$ . המכנה: $3^3 = 27$ . השבר נעשה קטן מאוד, מהר מאוד — בדיוק כמו שהמספר השלם נעשה גדול מאוד.

שלוש הטעויות של היחידה.

2^{20} = 2 \cdot 20

2^{20} = 1048576

המעריך סופר כמה פעמים הבסיס מופיע בכפל. הוא אינו גורם בכפל.

\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}

\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}

החזקה חלה על שני חלקי השבר, לא רק על המכנה.

\left(\frac{1}{2}\right)^{5} > \frac{1}{2}

\left(\frac{1}{2}\right)^{5} < \frac{1}{2}

כשהבסיס קטן מ-1, חזקה מקטינה. «חזקה מגדילה» נכון רק לבסיס גדול מ-1.

עכשיו נתרגל — ובעיקר נרגיש כמה מהר זה רץ.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו: $2^{10}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1024

הפתרון:

2^5 = 32

חצי הדרך

32 \cdot 32 = 1024

ועוד חמש הכפלות

$2^{10} = 1024$ הוא מספר ששווה לזכור — הוא חוזר בכל מקום, מקיפולי נייר ועד זיכרון מחשב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חיידק אחד מתחלק לשניים כל שעה. כמה חיידקים יהיו אחרי 6 שעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

2^6

שש הכפלות

= 64

מחשבים

כל שעה מכפילה את הכמות — ולכן מספר השעות הוא המעריך, לא הגורם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מה גדול יותר: $2^{10}$ או $10^2$ ?

הם שווים
אי אפשר להשוות
$2^{10}$ , והרבה
$10^2$ , והרבה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2^{10}$ , והרבה

הפתרון:

2^{10} = 1024

הראשון

10^2 = 100

והשני

אותם שני מספרים, שני תפקידים — והתוצאה שונה פי עשר. המעריך חזק הרבה יותר מהבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

דף נייר מקופל 8 פעמים לשניים. כמה שכבות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 256

הפתרון:

2^8

כל קיפול מכפיל

= 256

מחשבים

שמונה קיפולים בלבד — ו-256 שכבות. זו הסיבה שמעבר ל-7 או 8 כבר אי אפשר לקפל דף רגיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו $\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$ ?

$\frac{5}{2}$
$\frac{1}{10}$
$\frac{1}{25}$
$\frac{1}{32}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{1}{32}$

הפתרון:

1^5 = 1

המונה

2^5 = 32

והמכנה

המכנה הוא בדיוק $2^5$ — אותם מספרים שראינו בחזקות של 2, רק הפוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו $\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$ ?

$\frac{2}{9}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{2}{6}$
$\frac{4}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{4}{9}$

הפתרון:

2^2 = 4

המונה בריבוע

3^2 = 9

והמכנה בריבוע

החזקה חלה על שני חלקי השבר. מי שהעלה רק את המכנה קיבל $\frac{2}{9}$ — הטעות הנפוצה כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כשהבסיס קטן מ-1, חזקה גבוהה יותר נותנת תוצאה קטנה יותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

כבר קטן מחצי

\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}

ועוד הרבה יותר קטן

«חזקה מגדילה» נכון רק כשהבסיס גדול מ-1. כפל בשבר מקטין, ולכן הכפלה חוזרת מקטינה מהר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו המכנה של $\left(\frac{1}{3}\right)^{4}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81

הפתרון:

3^4 = 81

המכנה עולה בחזקה

המונה נשאר 1, כי $1$ בכל חזקה הוא 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרו מהקטן לגדול

$2^{10}$
$2^{2}$
$2^{4}$
$2^{6}$
$2^{8}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2^{2}$ · $2^{4}$ · $2^{6}$ · $2^{8}$ · $2^{10}$

הפתרון:

4 \ , \ 16 \ , \ 64 \ , \ 256 \ , \ 1024

הערכים

כל קפיצה של 2 במעריך מכפילה את התוצאה פי 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שמועה מתפשטת: כל מי ששמע אתמול מספר היום לשני אנשים חדשים. ביום הראשון שמעו 2. כמה חדשים ישמעו ביום השביעי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 128

הפתרון:

2^7

שבעה ימים, בכל יום הכפלה

= 128

מחשבים

השאלה מבקשת את החדשים של אותו יום בלבד — לא את הסכום מכל הימים. זו הקריאה שהכי מפספסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מגדיל או מקטין?

מגדיל
מקטין

$\left(\frac{1}{4}\right)^{3}$ לעומת $\frac{1}{4}$
$\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$ לעומת $\frac{2}{5}$
$10^{5}$ לעומת 10
$3^{4}$ לעומת 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3^{4}$ לעומת 3 — מגדיל · $\left(\frac{1}{4}\right)^{3}$ לעומת $\frac{1}{4}$ — מקטין · $10^{5}$ לעומת 10 — מגדיל · $\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$ לעומת $\frac{2}{5}$ — מקטין

הפתרון:

3^4 = 81 > 3

בסיס גדול מ-1 — מגדיל

\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64} < \frac{1}{4}

ובסיס בין 0 ל-1 — מקטין

הכלל היחיד: בסיס גדול מ-1 — החזקה מגדילה. בסיס בין 0 ל-1 — החזקה מקטינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

2^{10} = 1024

\left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024}

\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{3}{16}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{3}{16}$ → $\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}$

הפתרון:

\begin{aligned}3^2 &= 9 \ \\ \ 4^2 &= 16\end{aligned}

המונה והמכנה, שניהם בחזקה

\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}

ולא $\frac{3}{16}$

המונה גם הוא עולה בחזקה: $3^2 = 9$ . שכחת המונה היא הטעות מספר אחת בחזקות של שברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לספור את הקפיצות

סיפור אחד שמסביר הכול

וכשהבסיס הוא שבר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev