ערך מוחלט של אותיות על הציר · מספרים מכוונים · כיתה ז׳

לפעמים לא כותבים את המספר, אלא אות: $a$ או $b$ . אנחנו לא יודעים כמה הם שווים — אבל אם רואים איפה הם על הציר, אפשר לדעת הרבה.

$a$ משמאל ל־ $b$ , ולכן $a < b$ . אבל $|a|$ הוא המרחק של $a$ מאפס, ו־ $a$ רחוק יותר מאפס מ־ $b$ . לכן $|a| > |b|$ .

a < b \qquad |a| > |b|

כדי להשוות ערכים מוחלטים, מסתכלים רק על המרחק מאפס. הצד לא משנה: מי שרחוק יותר מאפס — הערך המוחלט שלו גדול יותר.

שני מספרים שליליים

ומה קורה כששני המספרים שליליים? המספר הקרוב יותר לאפס הוא הגדול מביניהם — אבל הערך המוחלט שלו קטן יותר.

a > b \qquad |a| < |b|

הטעות של הגדול והרחוק.

a > b \;\Rightarrow\; |a| > |b|

-2 > -6 \quad |-2| < |-6|

מספר גדול יותר הוא מספר שנמצא ימינה יותר. מספר עם ערך מוחלט גדול יותר הוא מספר שנמצא רחוק יותר מאפס. אלה שתי שאלות שונות.

$a$ שלילי. האם $-a$ חיובי או שלילי?

להציג את התשובה והפתרון

חיובי. $-a$ הוא הנגדי של $a$ : אותו מרחק מאפס, בצד השני. לכן כש־ $a$ שלילי, $|a| = -a$ .

על ציר אחד מסומנים $a$ ו־ $b$ , אבל האפס לא מסומן. אפשר לדעת מי רחוק יותר מאפס?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הערך המוחלט נמדד מאפס. בלי לדעת איפה האפס, אי אפשר למדוד את המרחק.

תרגילים

תרגיל 1

על הציר מסומנים המספרים $a$ ו־ $b$ . מה נכון?

לא ניתן לדעת
$|a| = |b|$
$|a| < |b|$
$|a| > |b|$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $|a| < |b|$

הפתרון:

|a| < |b|

$b$ רחוק יותר מאפס מ־ $a$

הערך המוחלט הוא המרחק מאפס, לא המקום משמאל או מימין. $b$ רחוק יותר מאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שני המספרים $a$ ו־ $b$ שליליים. מה נכון?

$a < b$ אבל $|a| > |b|$
$a > b$ אבל $|a| < |b|$
$a > b$ וגם $|a| > |b|$
$a < b$ וגם $|a| < |b|$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $a > b$ אבל $|a| < |b|$

הפתרון:

a > b

$a$ מימין ל־ $b$

|a| < |b|

$a$ קרוב יותר לאפס

אצל שני מספרים שליליים, הגדול מביניהם הוא הקרוב לאפס — ולכן הערך המוחלט שלו קטן יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הנקודות $a$ ו־ $b$ נמצאות באותו מרחק מ־ $0$ . נכון או לא: $|a| = |b|$ , ולכן $a = b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

|a| = |b|

אותו מרחק מאפס

a = -b

אבל בצדדים שונים של האפס

לא נכון. לשני מספרים נגדיים יש אותו ערך מוחלט, אבל הם לא אותו מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מה הסימן של $a + b$ ?

אפס
לא ניתן לדעת
חיובי
שלילי

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שלילי

הפתרון:

a < 0 < b

סימנים שונים

|a| > |b|

$a$ רחוק יותר מאפס

בחיבור של מספרים עם סימנים שונים, התוצאה מקבלת את הסימן של המספר שהערך המוחלט שלו גדול יותר. כאן זה $a$ , ולכן $a + b$ שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סדרו מהקטן לגדול: $a$ , $b$ , $|a|$ .

$a < |a| < b$
$|a| < a < b$
$b < a < |a|$
$a < b < |a|$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $a < b < |a|$

הפתרון:

a < b

$a$ משמאל ל־ $b$

|a| > |b| = b

$|a|$ נמצא באותו מרחק כמו $a$ , מימין לאפס — רחוק יותר מ־ $b$

$|a|$ הוא הנגדי של $a$ : אותו מרחק מאפס, מימין. הוא רחוק יותר מאפס מ־ $b$ , ולכן $a < b < |a|$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המרחק בין שני קווים סמוכים הוא $1$ . חשבו את $|a| + |b|$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

|a| = 3

$a$ שלוש קפיצות שמאלה מאפס

|b| = 4

$b$ ארבע קפיצות ימינה מאפס

\begin{aligned}|a| + |b| &= 3 + 4 \\ &= 7\end{aligned}

סופרים את הקפיצות מאפס לכל נקודה. וזה גם המרחק בין $a$ ל־ $b$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

על הציר הזה לא סומן האפס. האם $|a| < |b|$ ?

לא, אף פעם
כן, תמיד
לא ניתן לדעת: זה תלוי במקום של האפס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא ניתן לדעת: זה תלוי במקום של האפס

הפתרון:

\begin{aligned}a &= -3 \\ \; b &= 2 \;\Rightarrow\; |a| > |b|\end{aligned}

אם האפס בין $a$ ל־ $b$

\begin{aligned}a &= 1 \\ \; b &= 6 \;\Rightarrow\; |a| < |b|\end{aligned}

אם האפס משמאל ל־ $a$

הערך המוחלט נמדד מאפס. בלי אפס על הציר, אפשר למצוא דוגמה לכל תשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נכון או לא: $|a| = -a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a < 0

$a$ משמאל לאפס

-a > 0

הנגדי של מספר שלילי הוא חיובי

|a| = -a

נכון. $-a$ הוא לא תמיד שלילי: כש־ $a$ שלילי, $-a$ חיובי, והוא בדיוק המרחק של $a$ מאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

איזה ביטוי שלילי?

$b - a$
$a - b$
$|a - b|$
$a + b$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $a - b$

הפתרון:

a < b

$a$ משמאל ל־ $b$

a - b < 0

מקטן מחסרים גדול

$b - a$ חיובי, $|a - b|$ הוא מרחק ולכן לא שלילי, ו־ $a + b$ הוא סכום של שני חיוביים. נשאר $a - b$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סמנו על הציר את המספר $|b|$ .

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

|b| = 3

$b$ שלוש קפיצות שמאלה מאפס

$|b|$ נמצא באותו מרחק מאפס כמו $b$ , אבל מימין: שלוש קפיצות ימינה מאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שני מספרים שליליים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev