מספר נגדי ומספר הופכי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

לכל מספר יש שני «תאומים» מיוחדים: אחד גר מעבר למראה, והשני הפוך על הראש.

הראשון הוא הנגדי, השני הוא ההופכי. השמות דומים — התפקידים שונים לגמרי.

🪞 הנגדי — התאום שבמראה

דמיינו מראה שעומדת באפס של ציר המספרים.

כל מספר רואה בה את ההשתקפות שלו: באותו מרחק מאפס, אבל בצד השני. ההשתקפות הזאת היא המספר הנגדי.

הנגדי של מספר: אותו מרחק מאפס, בצד השני של הציר

ומה קורה כשתאום פוגש את ההשתקפות שלו? הם מבטלים זה את זה: עולים 5 ויורדים 5 — חוזרים לאפס.

a+(−a)=0a + (-a) = 0
7+(−7)=07 + (-7) = 0

הנגדי של 77 הוא −7-7

−4+4=0-4 + 4 = 0

הנגדי של −4-4 הוא 44

34+(−34)=0\frac{3}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right) = 0

הנגדי של 34\frac{3}{4} הוא −34-\frac{3}{4}

מהו הנגדי של −12-12?

להציג את התשובה והפתרון

1212. שנים־עשר צעדים שמאלה מהמראה — וההשתקפות שנים־עשר צעדים ימינה. בדיקה: −12+12=0-12 + 12 = 0.

מראה של מראה מחזירה הביתה. הנגדי של הנגדי של 55 הוא שוב 55: −(−5)=5-(-5) = 5. כל מינוס הוא מבט אחד במראה.

🥞 ההופכי — התאום שהתהפך

עכשיו דמיינו שבר כמו פנקייק על מחבת: המונה למעלה, המכנה למטה. הופכים את הפנקייק — ומה שהיה למטה עולה למעלה. זה המספר ההופכי.

ההופכי של מספר: המספר שכפול המקורי נותן 1

ab⋅ba=1\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1

ומה עם מספר שלם?

למספר שלם לא רואים מכנה — אבל הוא שם, מוסתר. מצאו את ההופכי של 55.

5=515 = \frac{5}{1}

חושפים את המכנה המוסתר

51 → 15\frac{5}{1} \ \to \ \frac{1}{5}

הופכים את הפנקייק

5⋅15=15 \cdot \frac{1}{5} = 1

בודקים: המכפלה היא 1 ✓

23 ⟷ 32\frac{2}{3} \ \longleftrightarrow \ \frac{3}{2}

שבר פשוט — מחליפים מונה ומכנה

18 ⟷ 8\frac{1}{8} \ \longleftrightarrow \ 8

שבר יסודי הופך למספר שלם

0.5 ⟷ 20.5 \ \longleftrightarrow \ 2

עשרוני — קודם כותבים כשבר: 0.5=120.5 = \frac{1}{2}

213=73 ⟷ 372\tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{3} \ \longleftrightarrow \ \tfrac{3}{7}

מספר מעורב — קודם הופכים אותו לשבר מדומה, ורק אז מהפכים

ומה קורה למינוס?

גם כשהופכים, הסימן נשאר: ההופכי של −4-4 הוא −14-\frac{1}{4}, ולא 14\frac{1}{4}. רק מינוס כפול מינוס נותן +1+1.

(−4)⋅(−14)=+1(-4) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = +1

ההבדל שכדאי לזכור

הנגדי מחליף סימן. ההופכי שומר על הסימן. הנגדי עובר לצד השני של המראה; ההופכי רק מתהפך במקום.

מהו ההופכי של −35-\frac{3}{5}?

להציג את התשובה והפתרון

−53-\frac{5}{3}. הופכים מונה ומכנה, והמינוס נשאר. בדיקה: (−35)⋅(−53)=+1\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = +1 ✓

לאפס אין הופכי. כל מספר כפול 00 נותן 00, אף פעם לא 11. ולהפוך את 01\frac{0}{1} נותן 10\frac{1}{0} — חילוק באפס, שאינו מוגדר.

שלוש מלכודות של הופכי.

5 ⟷ −55 \ \longleftrightarrow \ -5
5 ⟷ 155 \ \longleftrightarrow \ \frac{1}{5}

−5-5 הוא הנגדי של 5. ההופכי הוא מה שכופלים כדי לקבל 1.

−4 ⟷ 14-4 \ \longleftrightarrow \ \frac{1}{4}
−4 ⟷ −14-4 \ \longleftrightarrow \ -\frac{1}{4}

ההופכי שומר על הסימן. (−4)⋅14=−1(-4) \cdot \frac{1}{4} = -1, ולא 1.

213 ⟷ 2312\tfrac{1}{3} \ \longleftrightarrow \ 2\tfrac{3}{1}
213 ⟷ 372\tfrac{1}{3} \ \longleftrightarrow \ \tfrac{3}{7}

מספר מעורב לא הופכים «בחלקים». קודם 213=732\tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{3}, ורק אז מהפכים.

🎭 מי זה מי?

a+(−a)=0a + (-a) = 0

נגדי: מחברים ומקבלים 0. הסימן מתחלף.

a⋅1a=1a \cdot \frac{1}{a} = 1

הופכי: כופלים ומקבלים 1. הסימן נשאר.

טריק לזיכרון: נגדי — נותן אפס בחיבור. הופכי — הופך את השבר.

🕵️ ארבע חידות

חידה 1: איזה מספר הוא הנגדי של עצמו?

להציג את התשובה והפתרון

0. הוא עומד על המראה עצמה. בדיקה: 0+0=00 + 0 = 0.

חידה 2: אילו מספרים הם ההופכי של עצמם? (רמז: יש שניים)

להציג את התשובה והפתרון

11 ו-−1-1. 1⋅1=11 \cdot 1 = 1, וגם (−1)⋅(−1)=1(-1) \cdot (-1) = 1. הפנקייקים האלה נראים אותו דבר משני הצדדים.

חידה 3: מהו ההופכי של ההופכי של 77?

להציג את התשובה והפתרון

77. ההופכי של 77 הוא 17\frac{1}{7}, וכשהופכים את הפנקייק שוב — חוזרים ל-71=7\frac{7}{1} = 7. בדיוק כמו מראה של מראה.

חידה 4 (הקשה): האם יש מספר שהנגדי שלו הוא גם ההופכי שלו?

להציג את התשובה והפתרון

אין. לפי הכלל הגדול: הנגדי מחליף סימן וההופכי שומר עליו. אז למספר שאינו 0 הנגדי וההופכי תמיד בצדדים שונים של המראה — והם לא יכולים להיות שווים. ול-0 אין הופכי בכלל. לדוגמה: ל-22 הנגדי −2-2 וההופכי 12\frac{1}{2}.

עכשיו תורכם — מראות, פנקייקים, ובסוף כמה חידות.

תרגילים

הנגדי

תרגיל 1

מהו הנגדי של 99?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -9

הפתרון:

9+(−9)=09 + (-9) = 0

מחברים ומקבלים אפס

אותו מרחק מאפס, בצד השני של המראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הנגדי של −15-15?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

−15+15=0-15 + 15 = 0

מחברים ומקבלים אפס

הנגדי של מספר שלילי הוא חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המראה עומדת באפס. סמנו על הציר את הנגדי של −3-3.

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

−3+3=0-3 + 3 = 0

שלושה צעדים שמאלה ← שלושה צעדים ימינה

אותו מרחק מאפס, בצד השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סמנו על הציר את הנגדי של 2.52.5.

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

2.5+(−2.5)=02.5 + (-2.5) = 0

שניים וחצי צעדים שמאלה מאפס

גם עשרוני מסתכל במראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הנגדי של הנגדי של 88 הוא 88.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

−(−8)=8-(-8) = 8

שני מבטים במראה מחזירים הביתה

הנגדי של 8 הוא −8-8, והנגדי של −8-8 הוא שוב 8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ההופכי

תרגיל 6

מהו ההופכי של 37\frac{3}{7}?

  1. −73-\frac{7}{3}
  2. 73\frac{7}{3}
  3. 17\frac{1}{7}
  4. −37-\frac{3}{7}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 73\frac{7}{3}

הפתרון:

37⋅73=2121=1\begin{aligned}\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} &= \frac{21}{21} \\ &= 1\end{aligned}

הופכים מונה ומכנה

−37-\frac{3}{7} הוא הנגדי, לא ההופכי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו ההופכי של 88? ענו בשבר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

8=81 → 188 = \frac{8}{1} \ \to \ \frac{1}{8}

חושפים את המכנה והופכים

18=0.125\frac{1}{8} = 0.125

ובעשרוני

בדיקה: 8⋅0.125=18 \cdot 0.125 = 1 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו ההופכי של −4-4?

  1. 44
  2. −14-\frac{1}{4}
  3. −4-4
  4. 14\frac{1}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −14-\frac{1}{4}

הפתרון:

(−4)⋅(−14)=1(-4) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = 1

מינוס כפול מינוס — פלוס

ההופכי שומר על הסימן. 44 הוא הנגדי, ו-14\frac{1}{4} נותן במכפלה −1-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו ההופכי של 2122\tfrac{1}{2}?

  1. −212-2\tfrac{1}{2}
  2. 52\frac{5}{2}
  3. 2212\tfrac{2}{1}
  4. 25\frac{2}{5}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 25\frac{2}{5}

הפתרון:

212=522\tfrac{1}{2} = \frac{5}{2}

קודם שבר מדומה

52 → 25\frac{5}{2} \ \to \ \frac{2}{5}

ורק אז הופכים

בדיקה: 52⋅25=1\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} = 1 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו בלי לכפול מונה במונה: (−56)⋅(−65)\left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{6}{5}\right)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

(−56)⋅(−65)=1\left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) = 1

שני מספרים הופכיים — המכפלה תמיד 1

מי שמזהה זוג הופכי חוסך את כל החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

לכל מספר יש הופכי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

0⋅?=10 \cdot ? = 1

אין מספר כזה

לאפס אין הופכי: כל מספר כפול 0 נותן 0, ולעולם לא 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מי זה מי?

תרגיל 12

נגדיים או הופכיים? מיינו כל זוג.

  • נגדיים
  • הופכיים
  • −23-\frac{2}{3} ו-−32-\frac{3}{2}
  • −23-\frac{2}{3} ו-23\frac{2}{3}
  • −0.5-0.5 ו-0.50.5
  • 0.50.5 ו-22
  • 44 ו-−4-4
  • 44 ו-14\frac{1}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 44 ו-−4-4 — נגדיים · 44 ו-14\frac{1}{4} — הופכיים · −23-\frac{2}{3} ו-23\frac{2}{3} — נגדיים · −23-\frac{2}{3} ו-−32-\frac{3}{2} — הופכיים · 0.50.5 ו-22 — הופכיים · −0.5-0.5 ו-0.50.5 — נגדיים

הפתרון:

4+(−4)=04 + (-4) = 0

נגדיים — סכום 0

4⋅14=14 \cdot \frac{1}{4} = 1

הופכיים — מכפלה 1

נגדיים — הסימנים שונים והסכום 0. הופכיים — אותו סימן והמכפלה 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

התאימו לכל מספר את ההופכי שלו.

  • 13\frac{1}{3}
  • −5-5
  • 49\frac{4}{9}
  • 0.10.1
  • −15-\frac{1}{5}
  • 94\frac{9}{4}
  • 1010
  • 33
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13\frac{1}{3} — 33 · −5-5 — −15-\frac{1}{5} · 49\frac{4}{9} — 94\frac{9}{4} · 0.10.1 — 1010

הפתרון:

(−5)⋅(−15)=1(-5) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = 1

המינוס נשאר

0.1⋅10=10.1 \cdot 10 = 1

0.1=1100.1 = \frac{1}{10}

בכל זוג המכפלה היא 1. שימו לב ש-−5-5 שומר על המינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

−6+6=0-6 + 6 = 0
(−6)⋅16=1(-6) \cdot \frac{1}{6} = 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (−6)⋅16=1(-6) \cdot \frac{1}{6} = 1 → (−6)⋅(−16)=1(-6) \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = 1

הפתרון:

(−6)⋅16=−1(-6) \cdot \frac{1}{6} = -1

סימנים שונים — התוצאה שלילית

(−6)⋅(−16)=1(-6) \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = 1

ההופכי שומר על הסימן

(−6)⋅16=−1(-6) \cdot \frac{1}{6} = -1. ההופכי של −6-6 הוא −16-\frac{1}{6} — הסימן נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

השלימו

כדי לקבל 0 מחברים ל-11 את ____, וכדי לקבל 1 כופלים את 0.5 ב-____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כדי לקבל 0 מחברים ל-11 את -11, וכדי לקבל 1 כופלים את 0.5 ב-2

הפתרון:

11+(−11)=011 + (-11) = 0

הנגדי

0.5⋅2=10.5 \cdot 2 = 1

ההופכי

אפס — נגדי. אחד — הופכי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חידות

תרגיל 16

🕵️ אני מספר שלילי, וההופכי שלי שווה לי. מי אני?

  1. −1-1
  2. 00
  3. 11
  4. −12-\frac{1}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −1-1

הפתרון:

(−1)⋅(−1)=1(-1) \cdot (-1) = 1

המכפלה היא 1 — לכן −1-1 הוא ההופכי של עצמו

11 אינו שלילי, ל-00 אין הופכי, וההופכי של −12-\frac{1}{2} הוא −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

🕵️ מהו הנגדי של ההופכי של 25\frac{2}{5}? ענו בשבר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2.5

הפתרון:

25 → 52\frac{2}{5} \ \to \ \frac{5}{2}

קודם הופכי

52 → −52=−2.5\frac{5}{2} \ \to \ -\frac{5}{2} = -2.5

ואז נגדי

עובדים מבפנים החוצה: «ההופכי של» קודם, «הנגדי של» אחר כך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

🕵️ יש מספר שהנגדי שלו שווה להופכי שלו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2: −2≠122: \ -2 \neq \frac{1}{2}

סימנים שונים

הנגדי מחליף סימן וההופכי שומר עליו, לכן הם תמיד בצדדים שונים של האפס. ול-0 אין הופכי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת