סדרות שזורות וצורות שגדלות · Suites et motifs · Bar-Ilan — examen d’entrée en ⁨ח׳⁩ (élèves de ⁨ז׳⁩)

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

יש סדרות שההפרשים שלהן קופצים למעלה ולמטה בלי שום סדר. לרוב זה סימן שאין כאן סדרה אחת אלא שתיים, שנכתבו לסירוגין — או סדרה אחת שמתקדמת בשני צעדים שונים, בתורות.

שתי סדרות באחת

שמונה מקומות. הקפיצות בין שכנים אינן מספרות דבר — צריך לדלג על איבר.

המקומות האי-זוגיים:

1, 3, 5, 7

המקומות הזוגיים:

2, 4, 6, 8

Activité interactive

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 30, 5, 27, 8, 24, 11, \ldots$ ?

2, \ 30, \ 5, \ 27, \ 8, \ 24, \ 11, \ ?

לחצו «להתחיל». מפרידים את הסדרה לשתיים: המקומות האי-זוגיים והמקומות הזוגיים.

מקומות 1, 3, 5, 7

2, \ 5, \ 8, \ 11 \quad (+3)

כל איבר שני, החל מהראשון: עולה ב- $3$ .

מקומות 2, 4, 6

30, \ 27, \ 24 \quad (-3)

כל איבר שני, החל מהשני: יורדת ב- $3$ .

המקום ה-8

8 = 2 \times 4

המקום $8$ זוגי: זה האיבר הרביעי של הסדרה היורדת.

האיבר הבא

24 - 3 = 21

ממשיכים את הסדרה הזוגית.

לפני שמחפשים את האיבר, שואלים: לאיזו משתי הסדרות הוא שייך?

Faire l'activité sur elev

כדי להגיע לאיבר רחוק, מתרגמים את המקום בסדרה הגדולה למקום בסדרה הקטנה. האיבר ה- $20$ הוא האיבר ה- $10$ של הסדרה הזוגית: $30 - 3 \times 9 = 3$ . האיבר ה- $19$ הוא האיבר ה- $10$ של הסדרה האי-זוגית, כי $19 = 2 \times 10 - 1$ .

בסדרה $1, 50, 2, 45, 3, 40, \ldots$ — מהו האיבר ה- $15$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$8$ . המקום $15$ אי-זוגי, ו- $15 = 2 \times 8 - 1$ — זה האיבר השמיני של הסדרה $1, 2, 3, \ldots$

שני קצבים לסירוגין

מהו האיבר הבא בסדרה $1, 4, 8, 11, 22, 25, 50, \ldots$ ?

הפרשים $3, 4, 3, 11, 3, 25$ — כל הפרש שני הוא $3$ . את השאר בודקים בכפל.

1 \xrightarrow{+3} 4 \xrightarrow{\times 2} 8

שתי פעולות בתורות

8 \xrightarrow{+3} 11 \xrightarrow{\times 2} 22 \xrightarrow{+3} 25 \xrightarrow{\times 2} 50

הכלל מתאים לכל האיברים

50 + 3 = 53

עכשיו תורו של $+3$

סדרה של שברים

בסדרת שברים עובדים על המונה לחוד ועל המכנה לחוד — שתי סדרות פשוטות. לא מצמצמים את השברים בדרך: הצמצום מסתיר את התבנית.

מהו האיבר ה- $10$ בסדרה $\frac{1}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{7}, \frac{7}{9}, \ldots$ ?

שתי סדרות של מספרים אי-זוגיים.

1, 3, 5, 7 \Rightarrow 2n - 1

המונים

3, 5, 7, 9 \Rightarrow 2n + 1

המכנים

\frac{2 \times 10 - 1}{2 \times 10 + 1} = \frac{19}{21}

האיבר העשירי

מהו האיבר החמישי בסדרה $\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{8}, \frac{4}{16}, \ldots$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{5}{32}$ . המונים עולים ב- $1$ , המכנים מוכפלים ב- $2$ . מי שמצמצם את $\frac{2}{4}$ ל- $\frac{1}{2}$ מאבד את התבנית.

צורות שגדלות — גפרורים ונקודות

בשלב $1$ יש ריבוע אחד מ- $4$ גפרורים. בכל שלב מוסיפים ריבוע צמוד בסוף השורה. הריבוע החדש משתמש בצלע של הקודם, ולכן הוא מוסיף רק $3$ גפרורים. שלב $1$ : $4$ , שלב $2$ : $7$ , שלב $3$ : $10$ .

3n + 1

מספר הגפרורים בשלב $n$

בשלב $1$ יש $5$ נקודות בצורת פלוס: נקודה במרכז ונקודה בכל אחת מארבע הזרועות. בכל שלב מוסיפים נקודה בקצה כל זרוע. כמה נקודות בשלב $25$ ?

כל שלב מוסיף $4$ נקודות, והמרכז נשאר אחד.

5, 9, 13, \ldots

מספרי הנקודות

4n + 1

$n$ נקודות בכל זרוע, ועוד המרכז

4 \times 25 + 1 = 101

בשלב $25$

בשורת הריבועים מהגפרורים, בשלב מסוים משתמשים ב- $61$ גפרורים. כמה ריבועים יש בשלב הזה?

Voir la réponse et le corrigé

$20$ . פותרים $3n + 1 = 61$ , ולכן $3n = 60$ . מי שמחלק $61$ ב- $4$ שוכח שהריבועים חולקים צלעות.

שתי טעויות ספירה.

4n

3n + 1

ריבועים צמודים חולקים צלע: כל ריבוע חדש מוסיף $3$ גפרורים, והראשון $4$ .

a_{20} = 30 - 3 \times 19

a_{20} = 30 - 3 \times 9

האיבר ה- $20$ הוא העשירי בסדרה הזוגית: יש לפניו $9$ קפיצות בתוך אותה סדרה, לא $19$ .

לפני שמחפשים נוסחה לצורה, כתבו את המספרים של שלושת השלבים הראשונים והסתכלו על ההפרש. הפרש קבוע $d$ נותן נוסחה $dn + c$ , ואת $c$ מוצאים משלב $1$ .

Exercices

Exercice 1

מהו האיבר הבא בסדרה $3, 10, 5, 20, 7, 30, \ldots$ ?

$37$
$40$
$9$
$8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $9$

Corrigé :

3, 5, 7

המקומות האי-זוגיים: עולה ב- $2$

10, 20, 30

המקומות הזוגיים: עולה ב- $10$

7 + 2 = 9

האיבר השביעי במקום אי-זוגי

התשובה היא $9$ . $40$ הוא האיבר שאחריו — הבא בסדרה הזוגית, אבל עכשיו תור האי-זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 5, 10, 13, 26, 29, \ldots$ ?

$55$
$58$
$61$
$32$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $58$

Corrigé :

+3, \times 2, +3, \times 2, +3

שני קצבים לסירוגין

29 \times 2 = 58

עכשיו תור הכפל

התשובה היא $58$ . $32$ מוסיף $3$ פעמיים ברציפות — שובר את הסירוגין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו האיבר השישי בסדרה $\frac{2}{5}, \frac{4}{8}, \frac{6}{11}, \frac{8}{14}, \ldots$ ?

$\frac{12}{20}$
$\frac{12}{17}$
$\frac{14}{23}$
$\frac{10}{17}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{12}{20}$

Corrigé :

2, 4, 6, 8 \Rightarrow 12

המונים עולים ב- $2$

5, 8, 11, 14 \Rightarrow 20

המכנים עולים ב- $3$

התשובה היא $\frac{12}{20}$ . $\frac{10}{17}$ הוא האיבר החמישי, ו- $\frac{12}{17}$ לוקח מונה של שלב אחד ומכנה של שלב אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בשלב $1$ יש משולש מ- $3$ גפרורים. בכל שלב מוסיפים משולש שצמוד בצלע למשולש האחרון בשורה. כמה גפרורים בשלב $30$ ?

$60$
$63$
$61$
$90$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $61$

Corrigé :

3, 5, 7, \ldots

כל משולש חדש מוסיף $2$ גפרורים

2n + 1

2 \times 30 + 1 = 61

התשובה היא $61$ . $90$ סופר $3$ גפרורים לכל משולש, כאילו אין צלעות משותפות.

Vérifier la réponse sur elev

שתי סדרות באחת

שני קצבים לסירוגין

סדרה של שברים

צורות שגדלות — גפרורים ונקודות

Exercices

La suite se pratique sur elev