Série 2 — Blocs, paires et options · Combinatoire · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre (règle du produit, ordre, choix) avant de continuer.

Deux oublis font la plupart des erreurs de cette série. Le facteur oublié : l'ordre intérieur d'un bloc collé, l'option « rien » d'un choix. Le double compte : des paires ou des groupes sans numéro comptés comme s'ils en avaient un. Avant de cocher, demandez-vous lequel des deux vous guette.

Six colis prêts à partir

Colis	Poids (kg)	Volume (litres)
A	3	4
B	7	6
C	4	7
D	6	1
E	5	9
F	9	3

La question marquée « d'après le tableau » s'y réfère.

Exercices

Exercice 1

À la fin d'une réunion, chaque participant a serré la main de chacun des autres, une seule fois. On a compté 66 poignées de main. Combien de personnes participaient à la réunion ?

$11$
$12$
$8$
$33$

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Réponse : B $12$

Corrigé :

\begin{aligned}\tfrac{n(n-1)}{2} &= 66 \;\Rightarrow\; n(n-1) \\ &= 132\end{aligned}

\begin{aligned}12 \times 11 &= 132 \;\Rightarrow\; n \\ &= 12\end{aligned}

La bonne réponse : « $12$ ». « $11$ » résout $\frac{n(n+1)}{2} = 66$ : chacun se serrerait aussi la main à lui-même. « $33$ » divise 66 par 2 : ce serait le nombre de poignées si chacune était comptée deux fois, pas un nombre de personnes. « $8$ » cherche un nombre dont le carré est proche de 66 : c'est compter des paires ordonnées, soi-même compris.

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Exercice 2

Un drapeau a 4 bandes horizontales. Chaque bande est peinte d'une couleur parmi 3 (bleu, blanc, vert), et une même couleur peut servir à plusieurs bandes, même voisines. Combien de drapeaux différents peut-on peindre ?

$24$
$81$
$12$
$64$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $81$

Corrigé :

3^4 = 81

4 bandes, 3 choix pour chacune

La bonne réponse : « $81$ ». « $64$ » calcule $4^3$ : il inverse la base et l'exposant. La base est le nombre de choix par bande, l'exposant le nombre de bandes. « $12$ » multiplie le nombre de couleurs par le nombre de bandes, $3 \times 4$ . « $24$ » calcule $3 \times 2 \times 2 \times 2$ : il impose deux bandes voisines de couleurs différentes, ce que l'énoncé permet justement.

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Exercice 3

On marque 9 points sur un cercle. Combien de triangles différents ont leurs trois sommets parmi ces points ?

$36$
$504$
$168$
$84$

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Réponse : D $84$

Corrigé :

9 \times 8 \times 7 = 504

comme si les trois sommets avaient un ordre

\begin{aligned}\tfrac{504}{3!} &= \tfrac{504}{6} \\ &= 84\end{aligned}

chaque triangle a été compté 6 fois

La bonne réponse : « $84$ ». « $504$ » ne divise pas : il compte chaque triangle autant de fois qu'on peut ordonner ses trois sommets. « $168$ » divise par 3 au lieu de $3! = 6$ . « $36$ » compte les segments, $\frac{9 \times 8}{2}$ , au lieu des triangles.

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Exercice 4

D'après le tableau, un livreur doit charger deux colis différents dont le poids total est exactement 10 kg. Combien de paires de colis peut-il choisir ?

$3$
$2$
$15$
$4$

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Réponse : B $2$

Corrigé :

3 + 7 = 10

A et B

4 + 6 = 10

C et D

E (5 kg) devrait aller avec lui-même, et F (9 kg) n'a pas de partenaire à 1 kg

La bonne réponse : « $2$ ». « $4$ » compte chaque paire deux fois : « A puis B » et « B puis A » sont le même chargement. « $3$ » lit la colonne du volume : A et B, C et F, D et E y totalisent 10. « $15$ » compte toutes les paires de colis, $\frac{6 \times 5}{2}$ , sans la condition de poids.

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Exercice 5

Pour tout entier positif $n$ , on a $(n+1)! + n! = k \times n!$ . Que vaut $k$ ?

$n(n+1)$
$2n+1$
$n+2$
$n+1$

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Réponse : C $n+2$

Corrigé :

(n+1)! = (n+1) \times n!

la grande factorielle contient la petite

\begin{aligned}(n+1)! + n! &= n! \times \big((n+1) + 1\big) \\ &= (n+2) \times n!\end{aligned}

on met la plus petite en facteur

La bonne réponse : « $n+2$ ». « $n+1$ » oublie le 1 que laisse le terme $n!$ quand on le met en facteur. « $2n+1$ » additionne $(n+1)$ et $n$ , comme si $n!$ valait $n$ . « $n(n+1)$ » multiplie $(n+1)$ par $n$ au lieu d'additionner les deux termes.

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Exercice 6

Six amis, Avi, Ben, Chen, Dor, Eden et Fanny, s'assoient sur six sièges voisins d'une même rangée de cinéma. Avi et Ben veulent être côte à côte, et Chen et Dor aussi. Combien de placements sont possibles ?

$96$
$48$
$720$
$24$

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Réponse : A $96$

Corrigé :

4! = 24

on colle Avi et Ben, puis Chen et Dor : il reste quatre unités à ranger

24 \times 2 \times 2 = 96

chaque bloc s'ouvre de deux façons

La bonne réponse : « $96$ ». « $24$ » oublie l'ordre intérieur des deux blocs. « $48$ » n'ouvre qu'un seul des deux blocs. « $720$ » calcule $6!$ et oublie les deux contraintes.

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Exercice 7

Six joueurs de tennis se répartissent en trois paires pour une séance de double ; les paires ne sont pas numérotées. De combien de façons peut-on former les trois paires ?

$90$
$45$
$15$
$120$

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Réponse : C $15$

Corrigé :

5

le partenaire d'un joueur fixé d'avance

3

le partenaire d'un des 4 joueurs restants

5 \times 3 \times 1 = 15

La bonne réponse : « $15$ ». « $90$ » numérote les paires : $\frac{6 \times 5}{2} \times \frac{4 \times 3}{2} \times 1$ compte chaque répartition $3! = 6$ fois. « $45$ » divise ces 90 par 2 au lieu de $3!$ . « $120$ » calcule $\frac{6!}{3!}$ : il corrige l'ordre des paires, mais pas l'ordre à l'intérieur de chaque paire.

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Exercice 8

Dans un café, une boisson se commande en 3 tailles. On peut y ajouter soit du lait d'avoine, soit du lait d'amande, soit aucun lait (jamais les deux), puis la prendre avec ou sans sucre. Combien de commandes différentes sont possibles ?

$18$
$12$
$8$
$24$

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Réponse : A $18$

Corrigé :

3 \times 3 \times 2 = 18

la taille ; le lait (avoine, amande ou aucun) ; le sucre

La bonne réponse : « $18$ ». « $12$ » oublie l'option « aucun lait » : $3 \times 2 \times 2$ . « $24$ » permet aussi les deux laits ensemble : quatre choix de lait, $3 \times 4 \times 2$ . « $8$ » additionne les choix des trois étapes au lieu de les multiplier.

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Exercice 9

On lance trois dés équilibrés. Quelle est la probabilité que la somme des trois résultats soit au moins 16 ?

$\frac{1}{54}$
$\frac{1}{24}$
$\frac{5}{108}$
$\frac{1}{14}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{5}{108}$

Corrigé :

6^3 = 216

les issues, dé par dé

16 : (4, 6, 6),\ (5, 5, 6)

chaque combinaison se range dans 3 ordres : 6 issues

17 : (5, 6, 6) ;\ 18 : (6, 6, 6)

3 issues, puis 1

\begin{aligned}\tfrac{6 + 3 + 1}{216} &= \tfrac{10}{216} \\ &= \tfrac{5}{108}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{5}{108}$ ». « $\frac{1}{54}$ » compte les 4 combinaisons sans leurs ordres : $\frac{4}{216}$ . « $\frac{1}{24}$ » oublie la somme 18 : $\frac{9}{216}$ . « $\frac{1}{14}$ » divise les 4 combinaisons par les 56 combinaisons possibles : elles ne sont pas toutes aussi probables.

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Exercice 10

Un gardien a 5 clés pour 5 portes ; chaque clé ouvre une seule porte, et il ne sait pas laquelle. Il ouvre les portes l'une après l'autre en essayant les clés une à une. Il introduit toujours la clé dans la serrure, même quand il ne lui reste qu'une seule clé possible pour cette porte, et chaque clé introduite compte pour un essai. Combien d'essais lui faut-il, au pire, pour ouvrir les 5 portes ?

$120$
$25$
$15$
$20$

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Réponse : C $15$

Corrigé :

5

la première porte : au pire, sa clé est la 5e introduite

5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

chaque clé placée sort du jeu : une clé de moins pour la porte suivante

La bonne réponse : « $15$ ». « $25$ » essaie les 5 clés à chaque porte, $5 \times 5$ : il oublie que les clés déjà placées sortent du jeu. « $20$ » compte 4 essais par porte, $5 \times 4$ : il oublie que les clés placées sortent du jeu, et il ne compte pas la dernière clé, que l'énoncé fait pourtant introduire. « $120$ » calcule $5!$ , le nombre d'attributions possibles des clés aux portes, et non un nombre d'essais.

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Exercices

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