Quand la figure ne donne que des intervalles · Graphiques · Psychométriques

Ce bloc travaille le mécanisme le plus déroutant de l'épreuve : la figure ne donne pas des valeurs, elle donne des intervalles.

On ne répond donc jamais « c'est tant ». On répond « au plus tant », « au moins tant », ou « on ne peut pas le savoir » — et cette dernière réponse est parfois la bonne.

Le dessin décrit la dispersion des graines de quatre espèces d'arbres d'une pépinière du nord du pays. Chaque quart de cercle est consacré à une espèce. Les anneaux, du centre vers le bord, correspondent aux distances de 0 à 10 mètres, de 10 à 20, de 20 à 30, de 30 à 40, et de 40 à 50 mètres du pied de l'arbre. Le remplissage d'une zone indique la part des graines de cette espèce qui retombe dans cet anneau (voir la légende). Aucune graine ne dépasse 50 mètres, et aucune ne tombe exactement sur une limite d'anneau. Par exemple : pour l'amandier, la zone qui va de 20 à 30 mètres est pointillée, donc entre $5$ et $15\;\%$ de ses graines y retombent.

Où retombent les graines de quatre arbres

jusqu'à 5%
de 5 à 15%
de 15 à 25%
de 25 à 40%
40% et plus

Les quatre quarts se lisent dans le sens des aiguilles d'une montre depuis le haut : amandier, caroubier, pin, eucalyptus. Les anneaux ont tous la même épaisseur — mais pas la même surface.

Répondez à chaque question sans tenir compte de ce que les autres affirment.

Exercices

Exercice 1

Dans quel intervalle de distances le caroubier laisse-t-il tomber le moins de graines ?

Entre $40$ et $50$ mètres
Entre $30$ et $40$ mètres
Entre $0$ et $10$ mètres
Les données ne permettent pas de le déterminer

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D Les données ne permettent pas de le déterminer

Corrigé :

{[5\,;\,15]}

La bande de $0$ à $10$ m est pointillée.

{[5\,;\,15]}

Celle de $40$ à $50$ m l'est aussi — le même intervalle.

{15 < 5\;?}

Rien ne dit laquelle des deux est la plus faible : la première pourrait valoir $6$ et la seconde $14$ , ou l'inverse.

On ne peut pas le savoir. Deux bandes portent la même trame, donc le même intervalle. Une trame ne donne pas une valeur, et deux valeurs prises dans un même intervalle ne se comparent pas. C'est le genre de question où l'option d'indétermination est la bonne réponse, pas un remplissage.

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Exercice 2

Au plus, quelle part des graines du pin retombe à plus de $30$ mètres ?

$100\;\%$
$65\;\%$
$80\;\%$
$50\;\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $80\;\%$

Corrigé :

{25 \le b_4 \le 40 \quad\text{et}\quad 25 \le b_5 \le 40}

Les deux anneaux situés au-delà de $30$ mètres portent la même trame croisée.

{b_4 + b_5 \le 40 + 40 = 80}

On additionne les deux bornes hautes.

{b_1 + b_2 + b_3 \ge 0 + 5 + 15 = 20}

Contrôle : les trois premiers anneaux pèsent au moins $20\;\%$ , ce qui laisse bien $80\;\%$ disponibles.

$80\;\%$ . On raisonne borne par borne : borne haute pour ce qu'on veut maximiser, borne basse pour tout le reste. Les deux anneaux situés au-delà de $30$ mètres montent chacun à $40\;\%$ au plus, et les trois premiers pèsent au moins $20\;\%$ : les deux calculs se rejoignent sur la même valeur, ce qui confirme qu'elle est atteignable.

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Exercice 3

Pour quelle espèce est-on certain que plus de la moitié des graines retombe à moins de $20$ mètres ?

Le pin
L'amandier
L'eucalyptus
Le caroubier

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B L'amandier

Corrigé :

{25 + 40 = 65 > 50}

Amandier : croisé puis plein, donc au moins $65\;\%$ dans les deux premiers anneaux.

{5 + 15 = 20}

Caroubier : la garantie ne monte qu'à $20\;\%$ .

{0 + 5 = 5}

Pin : presque aucune garantie.

{25 + 25 = 50}

Eucalyptus : exactement $50\;\%$ garantis, et l'énoncé demande plus de la moitié.

L'amandier. L'eucalyptus est le piège : ses deux premiers anneaux garantissent $50\;\%$ , pas davantage. « Plus de la moitié » exclut l'égalité, et une garantie de $50$ ne permet pas d'affirmer $51$ .

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Exercice 4

Laquelle de ces affirmations est certainement fausse ?

Le caroubier disperse plus de la moitié de ses graines à plus de $30$ mètres.
L'eucalyptus disperse moins de graines entre $20$ et $30$ mètres qu'entre $0$ et $10$ mètres.
L'amandier disperse autant de graines entre $30$ et $40$ mètres qu'entre $40$ et $50$ mètres.
Le pin disperse plus de graines entre $30$ et $40$ mètres qu'entre $0$ et $10$ mètres.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Le caroubier disperse plus de la moitié de ses graines à plus de $30$ mètres.

Corrigé :

{25 \ge 25 > 5 \ge 5}

Pin : la borne basse du quatrième anneau dépasse la borne haute du premier. Certainement vraie.

{[0\,;\,5] \;\text{et}\; [0\,;\,5]}

Amandier : deux anneaux vides, l'égalité est possible. Donc pas fausse.

{b_4 + b_5 \le 25 + 15 = 40 < 50}

Caroubier : au maximum $40\;\%$ au-delà de $30$ mètres. Impossible.

{15 < 25}

Eucalyptus : borne haute du troisième anneau sous la borne basse du premier. Certainement vraie.

La troisième. Une question négative se traite en testant les quatre options, jamais en cherchant directement la réponse. Ici, trois affirmations sont garanties par les bornes, une seule les contredit.

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Exercice 5

On dira qu'une espèce est concentrée lorsqu'on est certain qu'au moins $40\;\%$ de ses graines retombent dans un seul anneau. Combien d'espèces sont concentrées ?

Deux
Trois
Une
Aucune

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Réponse : C Une

Corrigé :

{\text{plein} \Rightarrow \ge 40\;\%}

Seule la trame pleine garantit $40\;\%$ ou plus dans un anneau.

{\text{crois\'e} \Rightarrow [25\,;\,40]}

La trame croisée peut n'en donner que $25$ : elle ne garantit rien.

{1}

Une seule espèce porte du plein : l'amandier, dans son anneau de $10$ à $20$ mètres.

Une seule, l'amandier. La définition est posée par la question et il faut la passer sur les quatre espèces. Le piège est la trame croisée, qui *monte* jusqu'à $40\;\%$ sans jamais le garantir : « au moins $40$ » exige une borne basse de $40$ .

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Exercice 6

Au plus, quelle part des graines de l'amandier retombe entre $10$ et $20$ mètres ? Répondez en pour cent.

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Réponse : 70

Corrigé :

{\text{plein} \Rightarrow \ge 40\;\%}

La trame pleine n'a pas de borne haute écrite.

{25 + 5 + 0 + 0 = 30}

Hors de l'anneau de $10$ à $20$ mètres : les quatre autres, à leur minimum.

{100 - 30 = 70}

$70\;\%$ entre $10$ et $20$ mètres. La trame pleine dit « $40\;\%$ et plus » : la borne haute vient du total, pas de la légende. Répondre $100$ oublie les autres anneaux.

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Exercice 7

On est certain que le caroubier disperse plus de graines entre $20$ et $30$ mètres qu'entre $0$ et $10$ mètres.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

{\text{crois\'e} \Rightarrow \ge 25\;\%}

De $20$ à $30$ mètres.

{\text{pointill\'e} \Rightarrow \le 15\;\%}

De $0$ à $10$ mètres.

{25 > 15}

Vrai. Les deux fourchettes ne se touchent pas : la plus petite valeur possible de l'une dépasse la plus grande de l'autre. C'est ainsi qu'on est « certain ».

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Exercice 8

Au moins, quelle part des graines de l'eucalyptus retombe à moins de $20$ mètres ?

$80\;\%$
$70\;\%$
$45\;\%$
$50\;\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $50\;\%$

Corrigé :

{25 + 25 = 50}

Les deux anneaux à moins de $20$ mètres, croisés, à leur minimum.

{100 - (25 + 25 + 5) = 45}

Ce que laissent les autres à leur maximum : moins que $50$ , donc sans effet.

$50\;\%$ à moins de $20$ mètres. Deux bornes se calculent, et on garde la plus forte : $50$ par la légende, $45$ par le total. $70$ et $80$ sont des maxima, pas des minima.

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Exercice 9

Complétez, pour le pin.

La part de ses graines retombées entre 20 et 30 mètres est comprise entre ____ % et ____ %.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : La part de ses graines retombées entre 20 et 30 mètres est comprise entre 15 % et 25 %.

Corrigé :

{\text{hachures} \Rightarrow [15\,;\,25]}

La trame de l'anneau, lue dans la légende.

{100 - (0 + 5 + 25 + 25) = 45 \ge 25}

Le total ne resserre rien ici.

De $15$ à $25\;\%$ . Ici la légende suffit ; vérifier le total reste le réflexe, parce qu'il resserre parfois la fourchette.

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Exercice 10

Dans cet anneau, la part des graines dépasse-t-elle certainement $20\;\%$ ?

Certainement
Pas forcément

amandier, de 0 à 10 m
amandier, de 10 à 20 m
caroubier, de 10 à 20 m
caroubier, de 40 à 50 m
eucalyptus, de 20 à 30 m
pin, de 40 à 50 m

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : amandier, de 0 à 10 m — Certainement · caroubier, de 10 à 20 m — Pas forcément · pin, de 40 à 50 m — Certainement · eucalyptus, de 20 à 30 m — Pas forcément · amandier, de 10 à 20 m — Certainement · caroubier, de 40 à 50 m — Pas forcément

Corrigé :

{\text{crois\'e} \ge 25 \qquad \text{plein} \ge 40}

Ces trames dépassent toujours $20$ .

{\text{hachures} \in [15\,;\,25]}

Celle-ci peut tomber sous $20$ , ou au-dessus.

« Certainement » demande la borne basse au-dessus de $20$ . Les hachures, de $15$ à $25$ , restent incertaines.

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Exercice 11

Il est possible que l'eucalyptus disperse exactement autant de graines dans chacun de ses deux premiers anneaux.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

{35 + 35 + 15 + 15 + 0 = 100}

Un partage qui respecte les cinq trames et le total.

Vrai. « Possible » se prouve par un exemple : $35\;\%$ dans chacun des deux anneaux croisés tient. Le piège est de croire qu'une figure à intervalles ne permet jamais de conclure.

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Exercices

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