Une ligne ou une colonne, jamais les deux · Graphiques · Psychométriques

Un tableau à double entrée, et la question la plus fréquente qu'on en tire : une probabilité.

Le geste décisif tient en un mot : savoir si la question fait lire une ligne ou une colonne. Les deux donnent des réponses différentes, et les deux sont dans les options.

Une coopérative agricole trie ses olives avec une machine qui reconnaît automatiquement trois variétés : la souri, la nabali et la manzanille. La machine se trompe parfois. Le tableau décrit une journée de tri : chaque ligne correspond à la variété réellement introduite, chaque colonne à la variété que la machine a annoncée. La dernière colonne donne le nombre total d'olives de chaque variété introduites ce jour-là. Par exemple : sur les $20$ olives souri introduites, la machine en a annoncé $16$ comme des souri, $3$ comme des nabali et $1$ comme une manzanille.

Une journée de tri, variété par variété

Variété introduite	Annoncée souri	Annoncée nabali	Annoncée manzanille	Total introduites
Souri	16	3	1	20
Nabali	2	18	5	25
Manzanille	2	8	5	15

Les cases encadrées sont celles où la machine a vu juste. Tout ce qui est hors de ces trois cases est une erreur de tri.

Répondez à chaque question sans tenir compte de ce que les autres affirment.

Exercices

Exercice 1

Une olive nabali est introduite dans la machine. Quelle est la probabilité qu'elle soit correctement identifiée ?

$\frac{18}{29}$
$\frac{18}{25}$
$\frac{25}{60}$
$\frac{18}{60}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{18}{25}$

Corrigé :

{\text{on part de la LIGNE nabali}}

L'olive introduite est connue : on se place sur sa ligne.

{25}

Cette ligne compte $25$ olives en tout.

{\frac{18}{25}}

Dont $18$ correctement annoncées.

$\frac{18}{25}$ . L'énoncé fixe ce qui est entré dans la machine, donc l'univers est la ligne. L'option $\frac{18}{29}$ divise par le total de la colonne nabali : c'est la réponse à une tout autre question, celle de l'exercice suivant.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

La machine vient d'annoncer « souri ». Quelle est la probabilité que l'olive en soit vraiment une ?

$\frac{20}{60}$
$\frac{16}{20}$
$\frac{16}{60}$
$\frac{16}{24}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{16}{20}$

Corrigé :

{\text{on part de la COLONNE souri}}

Cette fois, c'est l'annonce de la machine qui est connue.

{16 + 2 + 2 = 20}

La colonne totalise $20$ annonces « souri ».

{\frac{16}{20} = \frac{4}{5}}

Sur ces $20$ , seize étaient effectivement des souri.

$\frac{16}{20}$ , soit $\frac{4}{5}$ . Même case au numérateur que la question précédente, dénominateur différent : ici c'est la colonne qui fait l'univers, parce que ce qu'on sait, c'est ce que la machine a dit. Le tableau ne donne pas le total des colonnes — il faut l'additionner soi-même, et c'est là que la question se gagne.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Un client n'achète que des manzanille et se moque du reste : il veut seulement que chaque manzanille lui parvienne, et qu'aucune autre variété ne se glisse dans son lot. Combien d'olives ont été mal placées de son point de vue ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

{15 - 5 = 10}

Les manzanille introduites que la machine a envoyées ailleurs.

{1 + 5 = 6}

Les olives d'une autre variété que la machine lui a envoyées.

{10 + 6 = 16}

Les deux erreurs comptent pour lui, et elles ne sont pas dans la même partie du tableau.

$16$ olives. La question exige de lire une ligne et une colonne : ce qui sort du lot et ce qui y entre à tort. Ne compter que l'un des deux donne $10$ ou $6$ , et ces deux nombres sont des réponses plausibles pour qui n'a lu qu'une moitié de la phrase.

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Exercice 4

Complétez : quand l'olive introduite est une ___, la probabilité que la machine la prenne pour une ___ est plus grande que la probabilité qu'elle l'identifie correctement.

nabali ; manzanille
manzanille ; nabali
souri ; nabali
manzanille ; souri

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B manzanille ; nabali

Corrigé :

{16 > 3 \quad\text{et}\quad 16 > 1}

Ligne souri : l'identification correcte l'emporte largement.

{18 > 2 \quad\text{et}\quad 18 > 5}

Ligne nabali : idem.

{8 > 5}

Ligne manzanille : la machine annonce « nabali » plus souvent qu'elle ne voit juste.

manzanille ; nabali. Une phrase à deux trous ne se traite pas trou par trou : les options lient les deux, et il faut les essayer entières. Ici une seule ligne du tableau met une case d'erreur au-dessus de sa case encadrée.

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Exercice 5

Quelle part des olives de la journée la machine a-t-elle correctement identifiées ?

$70\;\%$
$55\;\%$
$60\;\%$
$65\;\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $65\;\%$

Corrigé :

{16 + 18 + 5 = 39}

La somme des trois cases encadrées, et d'elles seules.

{20 + 25 + 15 = 60}

Le nombre total d'olives passées dans la machine.

{\frac{39}{60} = 0{,}65}

Soit $65\;\%$ .

$65\;\%$ . La diagonale encadrée porte toute la réponse, mais il faut penser à la somme des lignes pour le dénominateur — le tableau donne cette colonne, c'est la seule qu'on n'a pas à recalculer.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Combien d'olives la machine a-t-elle annoncées comme des nabali ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 29

Corrigé :

{3 + 18 + 8 = 29}

La colonne « annoncée nabali », de haut en bas.

$29$ . Le piège est de répondre $25$ , le total de la ligne nabali : ce sont les nabali introduites, pas les annonces.

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Exercice 7

La machine a annoncé moins de manzanille qu'il n'en a été introduit.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

{1 + 5 + 5 = 11}

La colonne « annoncée manzanille ».

{15}

La ligne manzanille, son total.

{11 < 15}

Vrai. Une ligne et une colonne de la même variété ne disent pas la même chose : $15$ introduites, $11$ annoncées.

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Exercice 8

La machine annonce « nabali ». Quelle est la probabilité que l'olive soit en réalité une manzanille ?

$\frac{8}{60}$
$\frac{8}{15}$
$\frac{8}{29}$
$\frac{15}{60}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{8}{29}$

Corrigé :

{\text{colonne nabali} : 29}

Ce qu'on sait : l'annonce. On part de la colonne.

{\frac{8}{29}}

La case manzanille de cette colonne.

$\frac{8}{29}$ . $\frac{8}{15}$ part de la ligne manzanille : il répond à « une manzanille est introduite, probabilité qu'elle soit annoncée nabali ».

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Exercice 9

Complétez.

Sur les ____ olives mal triées de la journée, ____ étaient des nabali.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Sur les 21 olives mal triées de la journée, 7 étaient des nabali.

Corrigé :

{60 - (16 + 18 + 5) = 21}

Tout ce qui est hors des cases encadrées.

{25 - 18 = 7}

Hors de la case encadrée, dans la ligne nabali.

$21$ , dont $7$ . « Étaient des nabali » parle de la variété réelle : on lit la ligne, pas la colonne ( $29 - 18 = 11$ ).

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Exercice 10

Rangez les variétés de la mieux reconnue à la moins bien reconnue par la machine.

manzanille
nabali
souri

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : souri · nabali · manzanille

Corrigé :

{\frac{16}{20} = 80\;\% \quad \frac{18}{25} = 72\;\% \quad \frac{5}{15} \approx 33\;\%}

Chaque case encadrée, rapportée au total de sa ligne.

La nabali a le plus de reconnaissances ( $18$ ), mais pas le meilleur taux : il faut diviser, pas comparer des effectifs.

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Exercice 11

Pour calculer chaque probabilité, part-on d'une ligne ou d'une colonne ?

Une ligne
Une colonne

L'écran affiche « nabali ».
L'olive introduite est une souri.
La machine a annoncé « manzanille ».
La variété réelle est manzanille.
On sait que c'est une nabali.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : L'olive introduite est une souri. — Une ligne · La machine a annoncé « manzanille ». — Une colonne · On sait que c'est une nabali. — Une ligne · L'écran affiche « nabali ». — Une colonne · La variété réelle est manzanille. — Une ligne

Corrigé :

{\text{ce qui est r\'eel} \Rightarrow \text{ligne}}

{\text{ce qui est annonc\'e} \Rightarrow \text{colonne}}

La ligne porte la variété réelle, la colonne l'annonce de la machine. « On sait que c'est » parle du réel, même sans le mot « introduite ».

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Exercices

La suite se pratique sur elev