Série 5 — treize questions

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen, puis trois de pratique. Lancez un chrono : quatorze minutes pour les dix. Répondez-y avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc, comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Les sept formes mélangées, comme le jour J. Le premier geste reste le même : lire la contrainte sur les lettres, puis traduire.

Exercices

Exercice 1

10x10x est un nombre entier compris entre 1010 et 9999. AA et BB sont des chiffres de 11 à 99. Laquelle de ces écritures peut être celle de xx ?

  1. 0,AB‾\overline{0{,}AB}
  2. A,B‾\overline{A{,}B}
  3. AB,A‾\overline{AB{,}A}
  4. AB‾\overline{AB}
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Réponse : B A,B‾\overline{A{,}B}

Corrigé :

10≤10x≤99  ⇒  1≤x≤9,910 \le 10x \le 99 \;\Rightarrow\; 1 \le x \le 9{,}9

On divise les bornes par 1010.

x=A,B‾x = \overline{A{,}B}

Un chiffre avant la virgule, un après : la seule écriture entre 11 et 9,99{,}9.

A,B‾\overline{A{,}B}. AB‾\overline{AB} vaut au moins 1111, 0,AB‾\overline{0{,}AB} moins de 11, et AB,A‾\overline{AB{,}A} plus de 1010.

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Exercice 2

AA est un chiffre de 11 à 99 et A×AA \times A finit par 66. Que peut valoir AA ?

  1. 44 ou 66
  2. 22 ou 88
  3. 66 seulement
  4. 44 seulement
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Réponse : A 44 ou 66

Corrigé :

42=1662=36\begin{aligned}4^2 &= 16 \\ \qquad 6^2 &= 36\end{aligned}

Deux carrés finissent par 66.

22=482=64\begin{aligned}2^2 &= 4 \\ \qquad 8^2 &= 64\end{aligned}

Les deux autres candidats finissent par 44.

44 ou 66. On parcourt les neuf chiffres : c'est plus rapide que n'importe quel raisonnement.

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Exercice 3

2A‾×A=1B6‾\overline{2A} \times A = \overline{1B6}, avec AA et BB des chiffres de 11 à 99. Que vaut A+BA + B ?

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Réponse : 11

Corrigé :

A×A finit par 6  ⇒  A∈{4,6}A \times A \text{ finit par } 6 \;\Rightarrow\; A \in \{4, 6\}

Unités : le dernier chiffre du produit est celui de A×AA \times A.

24×4=9626×6=156\begin{aligned}24 \times 4 &= 96 \\ \qquad 26 \times 6 &= 156\end{aligned}

Le premier n'a que deux chiffres — l'argument de taille l'élimine. Le second est de la forme 1B6‾\overline{1B6}.

A=6  B=5\begin{aligned}A &= 6 \\ \; B &= 5\end{aligned}

1111.

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Exercice 4

Combien de nombres à deux chiffres AB‾\overline{AB}, avec AA et BB de 11 à 99, ont pour somme de chiffres 1010 ?

  1. 1010
  2. 99
  3. 55
  4. 88
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Réponse : B 99

Corrigé :

A+B=101≤A≤9\begin{aligned}A + B &= 10 \\ \quad 1 \le A \le 9\end{aligned}

Pour chaque AA de 11 à 99, un seul BB convient.

19,28,37,…,9119, 28, 37, \ldots, 91

Neuf nombres.

99.

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Exercice 5

Combien de nombres à quatre chiffres se lisent pareil dans les deux sens ?

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Réponse : 90

Corrigé :

ABBA‾\overline{ABBA}

Un tel nombre est déterminé par ses deux premiers chiffres.

9×10=909 \times 10 = 90

AA de 11 à 99, BB de 00 à 99.

9090. Le même compte qu'à trois chiffres : le chiffre du milieu, ou les deux du milieu, ne rajoutent qu'un choix.

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Exercice 6

AA et BB sont des chiffres de 11 à 99. Colonne A : AB‾+BA‾\overline{AB} + \overline{BA}. Colonne B : 11(A+B)11(A + B).

  1. La quantité de la colonne B est la plus grande
  2. La quantité de la colonne A est la plus grande
  3. Ces données ne permettent pas de conclure
  4. Les deux quantités sont égales
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Réponse : D Les deux quantités sont égales

Corrigé :

AB‾+BA‾=11A+11B=11(A+B)\begin{aligned}\overline{AB} + \overline{BA} &= 11A + 11B \\ &= 11(A + B)\end{aligned}

La traduction donne exactement la colonne B.

Les deux quantités sont égales, pour toutes les lettres.

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Exercice 7

AA et BB sont des chiffres de 11 à 99, avec A>BA > B. Colonne A : AB‾−BA‾\overline{AB} - \overline{BA}. Colonne B : 99.

  1. La quantité de la colonne A est la plus grande
  2. Ces données ne permettent pas de conclure
  3. Les deux quantités sont égales
  4. La quantité de la colonne B est la plus grande
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B Ces données ne permettent pas de conclure

Corrigé :

AB‾−BA‾=9(A−B)\overline{AB} - \overline{BA} = 9(A - B)

Traduction.

A−B≥1  ⇒  9(A−B)≥9A - B \ge 1 \;\Rightarrow\; 9(A - B) \ge 9

La colonne A vaut au moins 99 — égale à 99 quand A−B=1A - B = 1, plus grande sinon.

Ces données ne permettent pas de conclure. 21−12=921 - 12 = 9 égale la colonne B, 31−13=1831 - 13 = 18 la dépasse : les deux cas existent, donc aucune des trois premières réponses ne tient.

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Exercice 8

xx est un entier qui s'écrit avec deux chiffres, et 7x7x s'écrit avec deux chiffres lui aussi. Combien de valeurs xx peut-il prendre ?

  1. 1414
  2. 55
  3. 44
  4. 9090
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Réponse : B 55

Corrigé :

7x≤99  ⇒  x≤147x \le 99 \;\Rightarrow\; x \le 14

L'argument de taille.

x∈{10,11,12,13,14}x \in \{10, 11, 12, 13, 14\}

Et x≥10x \ge 10 puisqu'il a deux chiffres.

55. Répondre 44, c'est avoir oublié l'une des deux bornes — comptez toujours les deux extrémités.

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Exercice 9

Un nombre à trois chiffres a pour chiffre des unités 44, tous ses chiffres sont différents, et leur somme vaut 66. Quel est le produit de ses chiffres ?

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Réponse : 0

Corrigé :

A+B+4=6  ⇒  A+B=2\begin{aligned}A + B + 4 &= 6 \;\Rightarrow\; A + B \\ &= 2\end{aligned}

On pose les lettres : AB4‾\overline{AB4}.

(A,B)∈{(2,0),(1,1)}(A, B) \in \{(2, 0), (1, 1)\}

Deux façons de faire 22 — mais (1,1)(1, 1) répète un chiffre, et A≠0A \ne 0.

204  ⇒  2×0×4=0204 \;\Rightarrow\; 2 \times 0 \times 4 = 0

00. Le zéro est un chiffre comme un autre — et il tue un produit.

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Exercice 10

Parmi les multiples de 77 qui s'écrivent avec trois chiffres, on prend le plus grand. Quel est son chiffre des unités ?

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Réponse : 4

Corrigé :

999=7×142+5999 = 7 \times 142 + 5

On divise le plus grand nombre à trois chiffres par 77.

999−5=994999 - 5 = 994

On retire le reste : c'est le plus grand multiple de 77 sous 10001000.

44.

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Exercice 11

AA et BB sont des chiffres, A≠0A \ne 0. Le nombre à trois chiffres ABA‾\overline{ABA} est toujours divisible par 1111.

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Réponse : Faux

Corrigé :

ABA‾=101A+10B\overline{ABA} = 101A + 10B

La traduction.

101=11×9+2101 = 11 \times 9 + 2

Contre-exemple : A=1A = 1, B=0B = 0.

Faux. 121121 et 242242 le sont, 101101 non. Le piège : confondre ABA‾\overline{ABA} avec ABBA‾\overline{ABBA}, le palindrome à quatre chiffres, lui toujours divisible par 1111.

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Exercice 12

Avec A=3A = 3 et B=7B = 7, rangez du plus petit au plus grand.

  • A0B‾\overline{A0B}
  • AB‾\overline{AB}
  • AB0‾\overline{AB0}
  • BA‾\overline{BA}
  • A×BA \times B
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Réponse : A×BA \times B · AB‾\overline{AB} · BA‾\overline{BA} · A0B‾\overline{A0B} · AB0‾\overline{AB0}

Corrigé :

3×7=213773\begin{aligned}3 \times 7 &= 21 \\ \quad 37 \\ \quad 73\end{aligned}

Le produit, puis les deux nombres à deux chiffres.

307<370307 < 370

À trois chiffres : BB aux unités pèse moins que BB aux dizaines.

21<37<73<307<37021 < 37 < 73 < 307 < 370. Le piège : ranger A×BA \times B parmi les nombres à deux chiffres comme s'il valait AB‾\overline{AB}.

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Exercice 13

AA est un chiffre de 11 à 99. Associez la fin de A×AA \times A aux valeurs possibles de AA.

  • finit par 66
  • finit par 99
  • finit par 44
  • finit par 55
  • A=2A = 2 ou 88
  • A=3A = 3 ou 77
  • A=4A = 4 ou 66
  • A=5A = 5
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Réponse : finit par 66 — A=4A = 4 ou 66 · finit par 99 — A=3A = 3 ou 77 · finit par 44 — A=2A = 2 ou 88 · finit par 55 — A=5A = 5

Corrigé :

42=16  62=36  32=9  72=49\begin{aligned}4^2 &= 16 \\ \; 6^2 &= 36 \\ \; 3^2 &= 9 \\ \; 7^2 &= 49\end{aligned}

On parcourt les neuf chiffres une fois.

22=4  82=64  52=25\begin{aligned}2^2 &= 4 \\ \; 8^2 &= 64 \\ \; 5^2 &= 25\end{aligned}

Seul 55 donne un carré qui finit par 55.

Deux chiffres pour chaque fin, sauf 55. Le piège : n'en garder qu'un, et rater la moitié des cas.

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