Série 4 — treize questions · Lettres et chiffres · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, puis trois de pratique. Lancez un chrono : douze minutes pour les dix. Répondez-y avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc, comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe : un nombre moins son miroir se factorise — $9(A - B)$ ou $99(A - C)$ — avant qu'on connaisse une seule lettre.

Exercices

Exercice 1

$\overline{ABC} - \overline{CBA} = 396$ , avec $A > C$ . Que vaut $A - C$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\overline{ABC} - \overline{CBA} = 99(A - C)

Le miroir à trois chiffres : le $B$ s'efface.

\begin{aligned}99(A - C) &= 396 \;\Rightarrow\; A - C \\ &= 4\end{aligned}

$4$ . Par exemple $521 - 125$ , ou $905 - 509$ : le chiffre du milieu est libre.

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Exercice 2

$A$ , $B$ et $C$ sont des chiffres, $A > C$ , $A$ et $C$ non nuls. Quel est le chiffre des dizaines de $\overline{ABC} - \overline{CBA}$ ?

$0$
$9$
Cela dépend des lettres
$B$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $9$

Corrigé :

\overline{ABC} - \overline{CBA} = 99(A - C)

Traduction.

99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891

Les neuf multiples possibles de $99$ : le chiffre des dizaines est toujours $9$ .

$9$ . Un multiple de $99$ inférieur à $1000$ s'écrit $\overline{k\,9\,(9-k)}$ : la somme de ses chiffres vaut $18$ , et son milieu est un $9$ .

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Exercice 3

$A$ , $B$ et $C$ sont des chiffres, $A > C$ , $A$ et $C$ non nuls. Quelle est la somme des chiffres du nombre $\overline{ABC} - \overline{CBA}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

\overline{ABC} - \overline{CBA} = 99(A - C)

Traduction.

99 \to 18, \quad 198 \to 18, \quad 297 \to 18, \ldots

Chaque multiple de $99$ à trois chiffres a pour somme de chiffres $18$ .

$18$ . Quelles que soient les lettres — c'est ce que la question teste : voir que la réponse ne dépend pas d'elles.

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Exercice 4

Combien de nombres à deux chiffres $\overline{AB}$ , avec $A$ et $B$ de $1$ à $9$ , sont divisibles par $11$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\overline{AB} = 11A + (B - A)

Le reste par $11$ se lit sur $B - A$ .

11 \mid \overline{AB} \iff A = B

Entre $1$ et $9$ , la seule façon d'avoir un reste nul est $B = A$ .

11, 22, \ldots, 99

Neuf nombres.

$9$ .

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Exercice 5

$A$ et $B$ sont des chiffres de $1$ à $9$ . Le reste de la division de $\overline{AB}$ par $9$ est égal au reste de la division par $9$ de…

$10A$
$A - B$
$A + B$
$A \times B$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $A + B$

Corrigé :

\begin{aligned}\overline{AB} &= 10A + B \\ &= 9A + (A + B)\end{aligned}

On sort le multiple de $9$ .

\overline{AB} \equiv A + B \pmod 9

Le reste est celui de la somme des chiffres — c'est la raison du critère de divisibilité par $9$ .

$A + B$ . Par exemple $47 = 45 + 2$ et $4 + 7 = 11 = 9 + 2$ : même reste.

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Exercice 6

$\overline{AB} \times 11 = 341$ . Que vaut $A + B$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}\overline{AB} &= 341 \div 11 \\ &= 31\end{aligned}

A + B = 4

$4$ .

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Exercice 7

$A$ , $B$ et $C$ sont des chiffres, $A \ne 0$ . Le nombre $\overline{ABC} - (A + B + C)$ est-il toujours divisible par $9$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\overline{ABC} - (A + B + C) = 100A + 10B + C - A - B - C

Traduction.

= 99A + 9B = 9(11A + B)

Un multiple de $9$ , quelles que soient les lettres.

Vrai. C'est exactement pourquoi un nombre et la somme de ses chiffres ont le même reste par $9$ .

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Exercice 8

$A$ et $B$ sont des chiffres de $1$ à $9$ , et le reste de la division de $\overline{AB}$ par $11$ est nul. Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

$A + B = 11$
$\overline{AB} > 50$
$A$ est impair
$A = B$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $A = B$

Corrigé :

\overline{AB} = 11A + (B - A)

Le reste par $11$ est $B - A$ quand $B \ge A$ , et $11 + B - A$ sinon.

\text{reste nul} \iff A = B

Entre $1$ et $9$ , $B - A$ ne peut être ni $11$ ni $-11$ .

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Cet exemple démolit les trois autres.

$A = B$ . Les multiples de $11$ à deux chiffres sont exactement les nombres qui répètent leur chiffre.

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Exercice 9

$A$ et $B$ sont des chiffres, $A \ne 0$ . Le nombre à quatre chiffres $\overline{ABBA}$ est-il toujours divisible par $11$ ?

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Réponse : Vrai

Corrigé :

\overline{ABBA} = 1001A + 110B

Traduction : $1000A + 100B + 10B + A$ .

\begin{aligned}1001 &= 11 \times 91 \\ \qquad 110 &= 11 \times 10\end{aligned}

Les deux coefficients sont des multiples de $11$ .

Vrai. Un nombre à quatre chiffres qui se lit pareil dans les deux sens est toujours divisible par $11$ — $2112 = 11 \times 192$ , $7887 = 11 \times 717$ .

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Exercice 10

$A$ et $B$ sont des chiffres de $1$ à $9$ , avec $A > B$ . Laquelle de ces valeurs peut être celle de $\overline{AB} - \overline{BA}$ ?

$40$
$45$
$55$
$50$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $45$

Corrigé :

\overline{AB} - \overline{BA} = 9(A - B)

La différence est un multiple de $9$ .

45 = 9 \times 5

Seule valeur de la liste divisible par $9$ : $A - B = 5$ , par exemple $72 - 27$ .

$45$ . Les trois autres ne sont pas des multiples de $9$ — inutile de chercher des lettres.

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Exercice 11

Associez chaque calcul à sa forme factorisée ( $A > B$ , $A > C$ ).

$\overline{AB} - \overline{BA}$
$\overline{ABC} - \overline{CBA}$
$\overline{AB} + \overline{BA}$
$\overline{ABC} - (A + B + C)$

$11(A + B)$
$9(A - B)$
$99(A - C)$
$99A + 9B$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\overline{AB} - \overline{BA}$ — $9(A - B)$ · $\overline{ABC} - \overline{CBA}$ — $99(A - C)$ · $\overline{AB} + \overline{BA}$ — $11(A + B)$ · $\overline{ABC} - (A + B + C)$ — $99A + 9B$

Corrigé :

(10A + B) - (10B + A) = 9A - 9B

Deux chiffres : un multiple de $9$ .

(100A + 10B + C) - (A + B + C) = 99A + 9B

Les $C$ s'annulent : encore un multiple de $9$ .

Différences : des $9$ ; sommes : des $11$ . Le piège : écrire $9(A - C)$ pour un miroir à trois chiffres, où les centaines pèsent $99$ .

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Exercice 12

Rangez chaque nombre : divisible par $11$ , ou non ?

Divisible par 11
Pas divisible par 11

$1213$
$1221$
$2112$
$3443$
$4554$
$7071$

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Réponse : $1221$ — Divisible par 11 · $3443$ — Divisible par 11 · $4554$ — Divisible par 11 · $2112$ — Divisible par 11 · $1213$ — Pas divisible par 11 · $7071$ — Pas divisible par 11

Corrigé :

\overline{ABBA} = 11 \times (91A + 10B)

$1221$ , $3443$ , $4554$ et $2112$ s'écrivent $\overline{ABBA}$ .

\begin{aligned}1213 &= 11 \times 110 + 3 \\ \qquad 7071 &= 11 \times 642 + 9\end{aligned}

Les deux autres laissent un reste.

Un nombre $\overline{ABBA}$ est toujours divisible par $11$ . Le piège : $7071$ « ressemble » à un palindrome, mais c'est $\overline{ABAC}$ .

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Exercice 13

Complétez.

$\overline{ABC} - \overline{CBA} = 594$ , donc $A - C =$ ____. Si $C = 2$ , alors $A =$ ____.

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Réponse : $\overline{ABC} - \overline{CBA} = 594$ , donc $A - C =$ 6. Si $C = 2$ , alors $A =$ 8.

Corrigé :

\begin{aligned}99(A - C) &= 594 \;\Rightarrow\; A - C \\ &= 6\end{aligned}

On divise par $99$ .

\begin{aligned}A &= 2 + 6 \\ &= 8\end{aligned}

Et $B$ ? N'importe quel chiffre : $8B2 - 2B8 = 594$ .

$6$ , puis $8$ . Le piège : diviser par $9$ au lieu de $99$ , et trouver $66$ .

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Exercices

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