Série 3 — treize questions · Lettres et chiffres · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, puis trois de pratique. Lancez un chrono : quatorze minutes pour les dix. Répondez-y avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc, comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe : pour chaque affirmation, chercher d'abord le contre-exemple avec les nombres les plus petits — $1$ , $1$ et $2$ .

Exercices

Exercice 1

$\overline{AB} + \overline{AB} = \overline{CC}$ , avec $A$ , $B$ et $C$ des chiffres de $1$ à $9$ . Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

$A + B > 5$
$A = B$
$C$ est impair
$A > B$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $A = B$

Corrigé :

2 \cdot \overline{AB} = 11C

Traduction : le double d'un nombre vaut onze fois un chiffre.

\overline{AB} \text{ est un multiple de } 11 \;\Rightarrow\; A = B

Un multiple de $11$ à deux chiffres répète son chiffre.

11 + 11 = 22

Et cet exemple démolit les trois autres affirmations.

$A = B$ . Les solutions sont $11 + 11$ , $22 + 22$ , $33 + 33$ et $44 + 44$ — au-delà, $\overline{CC}$ aurait trois chiffres.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$\overline{AB} + 9 = \overline{BA}$ , avec $A$ et $B$ des chiffres de $1$ à $9$ . Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

$B = A + 1$
$B = 9$
$A > 4$
$A + B$ est pair

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $B = A + 1$

Corrigé :

\begin{aligned}\overline{BA} - \overline{AB} &= 9(B - A) \\ &= 9\end{aligned}

Le miroir : la différence vaut $9$ fois la différence des lettres.

B - A = 1

12 + 9 = 21

Cet exemple démolit les trois autres : $A + B = 3$ , $A = 1$ , $B = 2$ .

$B = A + 1$ . Ajouter $9$ à un nombre à deux chiffres et retomber sur son miroir, c'est décaler chaque chiffre d'une unité.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$\overline{AA} + \overline{AA} = \overline{BCD}$ , avec $A$ , $B$ , $C$ et $D$ des chiffres de $0$ à $9$ , $A$ et $B$ non nuls. Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

$C$ est pair
$B = 1$
$D > 5$
$A < 5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $B = 1$

Corrigé :

22A \ge 100 \;\Rightarrow\; A \ge 5

Argument de taille : trois chiffres sous le trait.

22A \in \{110, 132, 154, 176, 198\}

Cinq résultats possibles, tous entre $100$ et $199$ .

B = 1

Le chiffre des centaines ne bouge pas. $110$ démolit $D > 5$ et $C$ pair ; $A \ge 5$ démolit la dernière.

$B = 1$ . La taille du résultat fixe une lettre sans qu'aucune autre soit connue.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

$A + B + C = \overline{DE}$ , un nombre à deux chiffres, toutes les lettres étant des chiffres de $1$ à $9$ . Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

$A > 3$
$D = 1$
$E$ est pair
$D \le 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $D \le 2$

Corrigé :

A + B + C \le 27

Trois chiffres font au plus $27$ .

10 \le \overline{DE} \le 27 \;\Rightarrow\; D \in \{1, 2\}

Argument de taille.

\begin{aligned}9 + 9 + 9 &= 27 \\ \qquad 1 + 9 + 9 &= 19\end{aligned}

Le premier démolit $D = 1$ et $E$ pair ; le second démolit $A > 3$ .

$D \le 2$ . Attention à l'affirmation $D = 1$ : elle est presque toujours vraie, et « presque » ne compte pas.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

$A \times B = \overline{C0}$ , un nombre à deux chiffres qui finit par $0$ , avec $A$ , $B$ et $C$ des chiffres de $1$ à $9$ . Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

$A + B > 10$
$A = 5$
$C$ est pair
$A + B$ est impair

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $A + B$ est impair

Corrigé :

10 \mid A \times B \;\Rightarrow\; 5 \mid A \times B \text{ et } 2 \mid A \times B

Un produit qui finit par $0$ est un multiple de $10$ .

\text{l'un vaut } 5, \text{ l'autre est pair}

$5$ est premier et aucun chiffre ne vaut $10$ : le $5$ est dans un facteur, le $2$ dans l'autre.

2 \times 5 = 10

Cet exemple démolit $A = 5$ , $A + B > 10$ et $C$ pair.

$A + B$ est impair. Un chiffre vaut $5$ , l'autre est pair : leur somme est impaire, toujours.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

$\overline{AB}$ est divisible par $9$ , et $A \ne B$ . Que vaut $A + B$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

9 \mid \overline{AB} \;\Rightarrow\; 9 \mid A + B

Le critère de divisibilité par $9$ se lit sur les lettres.

A + B \in \{9, 18\}

Deux chiffres font au plus $18$ .

\begin{aligned}A + B &= 18 \;\Rightarrow\; A \\ &= B \\ &= 9\end{aligned}

Exclu par l'énoncé : il reste $9$ .

$9$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

$A$ , $B$ et $C$ sont des chiffres de $1$ à $9$ tels que $\overline{AB} + \overline{BA} = \overline{CC}$ . L'affirmation « $C$ est pair » est-elle forcément vraie ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}11(A + B) &= 11C \;\Rightarrow\; C \\ &= A + B\end{aligned}

Traduction.

12 + 21 = 33

Un contre-exemple, et l'affirmation tombe.

Faux. $C = A + B$ peut être pair ou impair. Une affirmation « forcément vraie » meurt d'un seul contre-exemple.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

$A$ et $B$ sont des chiffres différents de $1$ à $9$ , avec $A > B$ . La différence $\overline{AB} - \overline{BA}$ est forcément divisible par…

$11$
$18$
$9$
$99$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $9$

Corrigé :

\overline{AB} - \overline{BA} = 9(A - B)

Le miroir à deux chiffres.

21 - 12 = 9

Cet exemple démolit $11$ , $18$ et $99$ .

$9$ . À deux chiffres, c'est $9(A - B)$ ; à trois, ce serait $99(A - C)$ — ne mélangez pas les deux.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

$\overline{AB} + \overline{BA} = 121$ , avec $A < B$ . Combien de nombres $\overline{AB}$ conviennent ?

$11$
$8$
$4$
$5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $4$

Corrigé :

\begin{aligned}11(A + B) &= 121 \;\Rightarrow\; A + B \\ &= 11\end{aligned}

Traduction.

29, 38, 47, 56

Avec $A < B$ : quatre nombres. Sans cette condition, il y en aurait huit.

$4$ . La condition $A < B$ coupe la liste en deux : chaque couple n'est compté qu'une fois.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

$\overline{AA} + \overline{BB} = \overline{CC}$ , avec $A$ , $B$ et $C$ des chiffres de $1$ à $9$ . Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

$A + B \ge 5$
$C > A$
$A \ne B$
$C \ge 4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $C > A$

Corrigé :

A + B = C

La relation, par les colonnes ou par $11$ .

C = A + B > A

Comme $B \ge 1$ , la somme dépasse strictement $A$ .

11 + 11 = 22

Cet exemple démolit les trois autres.

$C > A$ . Une inégalité stricte qui tient parce que les lettres valent au moins $1$ — si l'énoncé avait autorisé $0$ , elle serait tombée.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

$\overline{AA} + \overline{BB} = \overline{CC}$ , avec $A$ , $B$ et $C$ des chiffres de $1$ à $9$ . Rangez chaque affirmation.

Forcément vraie
Pas forcément

$A \ne B$
$A + B \le 9$
$A + B = C$
$A < C$
$C \ge 2$
$C$ est pair

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $A + B = C$ — Forcément vraie · $C \ge 2$ — Forcément vraie · $A < C$ — Forcément vraie · $A + B \le 9$ — Forcément vraie · $C$ est pair — Pas forcément · $A \ne B$ — Pas forcément

Corrigé :

A + B = C \le 9

La relation : tout se lit sur elle.

B \ge 1 \;\Rightarrow\; A < C

$C$ dépasse $A$ d'au moins $1$ .

\begin{aligned}11 + 22 &= 33 \\ \qquad 11 + 11 &= 22\end{aligned}

Le premier exemple démolit « $C$ pair », le second « $A \ne B$ ».

Quatre affirmations découlent de $A + B = C \le 9$ ; deux tombent sur un seul exemple. Le piège : garder « $C$ pair » parce que $11 + 11 = 22$ marche.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

$A$ et $B$ sont des chiffres de $1$ à $9$ , et $A \times B = \overline{C5}$ , un nombre à deux chiffres qui finit par $5$ . Alors $A$ et $B$ sont forcément impairs.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\text{pair} \times \text{n'importe quoi} = \text{pair}

Un seul facteur pair rend le produit pair.

\ldots 5 \text{ est impair}

Le produit finit par $5$ : il est impair, donc aucun facteur n'est pair.

Vrai : $15 = 3 \times 5$ , $25 = 5 \times 5$ , $35 = 5 \times 7$ , $45 = 5 \times 9$ . Le piège : chercher un contre-exemple au hasard au lieu de lire la parité.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

On veut savoir si « $\overline{AA} + \overline{BB} = \overline{CC}$ entraîne $C$ impair ». Une ligne du raisonnement est fausse : trouvez-la.

A + B = C

\begin{aligned}A &= 1 \\ \; B &= 2 \;\Rightarrow\; C \\ &= 3 \text{ (impair)}\end{aligned}

\begin{aligned}A &= 2 \\ \; B &= 3 \;\Rightarrow\; C \\ &= 5 \text{ (impair)}\end{aligned}

\text{donc } C \text{ est toujours impair}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\text{donc } C \text{ est toujours impair}$ → $A = B = 1 \;\Rightarrow\; C = 2 : \text{l'affirmation tombe}$

Corrigé :

11 + 11 = 22

Un seul exemple pair suffit à démolir.

La dernière ligne : deux exemples qui marchent ne prouvent rien. Le piège : conclure « toujours » après quelques essais heureux.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev