Série 2 — treize questions · Lettres et chiffres · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, puis trois de pratique. Lancez un chrono : douze minutes pour les dix. Répondez-y avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc, comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe : la colonne des unités d'abord, et la retenue posée par écrit au-dessus de la colonne suivante.

Exercices

Exercice 1

$\overline{AB} + 4 = \overline{B0}$ . Que vaut $A$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $5$

Corrigé :

B + 4 \text{ finit par } 0 \;\Rightarrow\; B = 6

Unités : retenue $1$ .

\begin{aligned}A + 1 &= 6 \;\Rightarrow\; A \\ &= 5\end{aligned}

Dizaines.

56 + 4 = 60

Vérification.

$5$ .

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Exercice 2

$A + A + A = \overline{BA}$ , où $\overline{BA}$ est un nombre à deux chiffres. Que vaut $A$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}3A &= 10B + A \;\Rightarrow\; 2A \\ &= 10B\end{aligned}

Traduction, puis on isole.

\begin{aligned}A &= 5B \;\Rightarrow\; B \\ &= 1 \\ \; A &= 5\end{aligned}

$A$ est un chiffre, donc $B = 1$ .

5 + 5 + 5 = 15

Vérification.

$5$ . Une autre lecture : $3A$ finit par $A$ , donc $2A$ finit par $0$ , donc $A = 5$ — c'est la colonne des unités qui parle.

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Exercice 3

$\overline{AB} + \overline{CB} = 100$ , avec $A$ , $B$ et $C$ des chiffres de $1$ à $9$ . Que vaut $B$ ?

$4$
$0$
$10$
$5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $5$

Corrigé :

B + B \text{ finit par } 0 \;\Rightarrow\; B = 5

Unités : $2B$ est un multiple de $10$ , et $B$ n'est pas $0$ .

\begin{aligned}A + C + 1 &= 10 \;\Rightarrow\; A + C \\ &= 9\end{aligned}

Dizaines, avec la retenue : les deux autres lettres ne sont pas déterminées.

45 + 55 = 100

Une vérification sur un exemple.

$5$ . Par exemple $45 + 55 = 100$ , ou $25 + 75$ .

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Exercice 4

$\overline{AB} + \overline{AB} = \overline{CA}$ , avec $A$ , $B$ et $C$ des chiffres de $1$ à $9$ . Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

$C$ est pair
$B$ est pair
$A = B$
$A$ est pair

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $A$ est pair

Corrigé :

B + B \text{ finit par } A

Unités : $A$ est le dernier chiffre de $2B$ , donc $A$ est pair.

\begin{aligned}21 + 21 &= 42 \\ \qquad 26 + 26 &= 52\end{aligned}

Deux solutions : $B$ impair puis pair, $C$ pair puis impair, et jamais $A = B$ .

$A$ est pair. Le double d'un chiffre finit toujours par un chiffre pair — c'est la colonne des unités, sans aucun calcul.

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Exercice 5

$\overline{1A} + \overline{A1} = \overline{B3}$ . Que vaut $A$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}(10 + A) + (10A + 1) &= 11A + 11 \\ &= 11(A + 1)\end{aligned}

Traduction : c'est encore un nombre et son miroir.

11(A + 1) \text{ finit par } 3 \;\Rightarrow\; A + 1 = 3

Un multiple de $11$ à deux chiffres finit par le chiffre qu'il répète.

\begin{aligned}A &= 2 : \quad 12 + 21 \\ &= 33\end{aligned}

Vérification.

$2$ .

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Exercice 6

Combien de couples de chiffres $(A, B)$ , avec $A$ et $B$ de $1$ à $9$ , vérifient $\overline{AB} + \overline{BA} = 99$ ?

$9$
$4$
$10$
$8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $8$

Corrigé :

\begin{aligned}11(A + B) &= 99 \;\Rightarrow\; A + B \\ &= 9\end{aligned}

Traduction.

(1, 8), (2, 7), \ldots, (8, 1)

Huit couples ordonnés : $A$ va de $1$ à $8$ , et $B$ suit.

$8$ . Répondre $4$ , c'est avoir compté les paires sans ordre — mais $(1, 8)$ et $(8, 1)$ sont deux couples différents, et $18 + 81$ comme $81 + 18$ font $99$ .

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Exercice 7

$\overline{AB} \times 6 = \overline{BBB}$ . Que vaut $A + B$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

\begin{aligned}6(10A + B) &= 111B \;\Rightarrow\; 60A \\ &= 105B\end{aligned}

Traduction, puis on regroupe les $B$ .

\begin{aligned}4A &= 7B \;\Rightarrow\; A \\ &= 7 \\ \; B &= 4\end{aligned}

On simplifie par $15$ : $4$ et $7$ sont premiers entre eux, donc $A$ est un multiple de $7$ .

74 \times 6 = 444

Vérification.

$11$ .

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Exercice 8

$\overline{AB} + B = \overline{AC}$ , avec $A$ , $B$ et $C$ des chiffres de $1$ à $9$ . Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

$A + B > C$
$B > 4$
$A = B$
$C$ est pair

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $C$ est pair

Corrigé :

B + B = C

Unités. Et comme le chiffre des dizaines n'a pas bougé, il n'y a pas de retenue : $2B \le 9$ .

\begin{aligned}C &= 2B \;\Rightarrow\; C \text{ pair} \\ \; B \le 4\end{aligned}

La première affirmation tient ; la deuxième est le contraire de ce qu'on vient de trouver.

11 + 1 = 12

Ce seul exemple démolit les deux dernières : $A = B$ n'est pas forcé ( $21 + 1 = 22$ marche aussi), et $A + B = 2 = C$ .

$C$ est pair. Le chiffre des dizaines inchangé est une information : il dit qu'aucune retenue n'est passée.

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Exercice 9

$\overline{AA} + \overline{BB} + \overline{CC} = \overline{DD}$ , avec $A$ , $B$ , $C$ et $D$ des chiffres de $1$ à $9$ . Que vaut $D - A - B - C$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

\begin{aligned}11(A + B + C) &= 11D \;\Rightarrow\; A + B + C \\ &= D\end{aligned}

Traduction : trois nombres à lettre répétée, et un quatrième.

D - A - B - C = 0

$0$ . Il y a plusieurs solutions ( $11 + 11 + 11 = 33$ , $11 + 22 + 33 = 66$ …) et la quantité demandée vaut $0$ pour toutes : la question ne cherchait pas les lettres.

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Exercice 10

$A > B$ , et $\overline{AB} - \overline{BA} = 9$ . Combien de nombres $\overline{AB}$ conviennent ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $8$

Corrigé :

\begin{aligned}9(A - B) &= 9 \;\Rightarrow\; A - B \\ &= 1\end{aligned}

Le miroir.

21, 32, 43, \ldots, 98

Deux chiffres consécutifs, le plus grand devant : de $21$ à $98$ , huit nombres.

$8$ . $10$ est exclu : avec $B = 0$ , $\overline{BA}$ s'écrirait $01$ , et un nombre à deux chiffres ne commence jamais par $0$ — relisez toujours les bornes des lettres.

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Exercice 11

Dans l'addition $\overline{AB} + \overline{CD}$ , la retenue de la colonne des unités vers celle des dizaines peut valoir $2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

B + D \le 9 + 9 = 18

Deux chiffres font au plus $18$ .

18 = 10 + 8

Une seule dizaine à reporter : la retenue vaut $0$ ou $1$ .

Faux. Une retenue de $2$ demande trois chiffres dans la colonne ( $9 + 9 + 9 = 27$ ). Le piège : confondre la colonne de deux nombres et celle de trois.

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Exercice 12

Complétez, colonne par colonne.

$\overline{A5} + \overline{3B} = 92$ . Aux unités, $5 + B$ finit par $2$ : $B =$ ____. Aux dizaines, $A + 3 + 1 = 9$ : $A =$ ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\overline{A5} + \overline{3B} = 92$ . Aux unités, $5 + B$ finit par $2$ : $B =$ 7. Aux dizaines, $A + 3 + 1 = 9$ : $A =$ 5.

Corrigé :

5 + 7 = 12

On pose $2$ , on retient $1$ .

\begin{aligned}A + 3 + 1 &= 9 \;\Rightarrow\; A \\ &= 5\end{aligned}

La retenue entre dans la colonne des dizaines.

55 + 37 = 92 \quad\checkmark

Vérification.

$7$ , puis $5$ . Sans la retenue, on trouverait $A = 6$ , et $65 + 37 = 102$ .

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Exercice 13

$\overline{AB} + 5 = \overline{B1}$ . Rangez les étapes de la résolution dans l'ordre.

Dizaines : $A + 1 = 6$ , donc $A = 5$
On pose la retenue $1$ au-dessus des dizaines
Unités : $B + 5$ finit par $1$ , donc $B = 6$
Vérification : $56 + 5 = 61$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Unités : $B + 5$ finit par $1$ , donc $B = 6$ · On pose la retenue $1$ au-dessus des dizaines · Dizaines : $A + 1 = 6$ , donc $A = 5$ · Vérification : $56 + 5 = 61$

Corrigé :

6 + 5 = 11

Les unités d'abord : elles ne reçoivent rien de personne.

A + 1 = B

La retenue vient avant les dizaines, qui la reçoivent.

Unités, retenue, dizaines, vérification. Le piège : commencer par les dizaines, qui dépendent d'une retenue encore inconnue.

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Exercices

La suite se pratique sur elev