Les lettres qui cachent des chiffres

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Sur les vingt fascicules dépouillés pour écrire ce chapitre, douze sessions sur dix-neuf posent une question dont les chiffres sont des lettres.

Une addition posée en colonnes, une multiplication dont on ne voit qu'un chiffre, un nombre et son miroir. Jamais deux dans le même examen — mais presque toujours une.

Elle se reconnaît à sa première ligne, toujours la même : « AA, BB et CC sont des lettres qui représentent des chiffres de 11 à 99 ».

Suit un calcul posé, ou un nombre écrit AB‾\overline{AB}, puis une question : une valeur, ou « laquelle de ces affirmations est forcément vraie ».

Rien à réviser ici non plus. La question ne teste aucune formule : elle teste si vous savez lire un nombre écrit avec des lettres, et par quelle colonne commencer.

La seule idée du chapitre

Une lettre placée dans un nombre n'est pas un facteur.

« Le nombre à deux chiffres AB‾\overline{AB} » ne parle jamais de A×BA \times B. Il parle d'un nombre dont le chiffre des dizaines est AA, et celui des unités BB.

AB‾=10A+BABC‾=100A+10B+C\begin{aligned}\overline{AB} &= 10A + B \\ \qquad \overline{ABC} &= 100A + 10B + C\end{aligned}

C'est la traduction : chaque lettre pèse sa position. Tout le chapitre en découle, en trois gestes.

11

Traduire. Réécrire chaque nombre à lettres en valeurs de position — ou le laisser posé en colonnes, si le calcul l'est.

22

Commencer par les unités. C'est la seule colonne où aucune retenue ne vient d'ailleurs.

33

Vérifier. Refaire le calcul avec les chiffres trouvés. Une retenue oubliée ne se voit qu'à ce moment-là.

Que vaut AB‾−BA‾\overline{AB} - \overline{BA} quand A>BA > B ?

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9(A−B)9(A - B). (10A+B)−(10B+A)=9A−9B(10A + B) - (10B + A) = 9A - 9B. Un nombre moins son miroir est toujours un multiple de 99 — c'est l'une des choses que l'examen demande le plus souvent sur ce sujet.

Les lettres répétées

Un nombre dont les chiffres se répètent se factorise dès qu'on le traduit. Quatre écritures reviennent sans cesse.

AA‾=11A\overline{AA} = 11A

Onze fois le chiffre.

AAA‾=111A=3⋅37⋅A\begin{aligned}\overline{AAA} &= 111A \\ &= 3 \cdot 37 \cdot A\end{aligned}

Cent onze fois — et 111=3×37111 = 3 \times 37, ce qui rend AAA‾\overline{AAA} divisible par 3737 quelle que soit la lettre.

ABAB‾=101⋅AB‾\overline{ABAB} = 101 \cdot \overline{AB}

Le bloc ABAB répété : cent une fois le bloc.

ABBA‾=1001A+110B\overline{ABBA} = 1001A + 110B

Un multiple de 1111, quelles que soient les lettres — 1001=11×911001 = 11 \times 91.

AA‾+BB‾+CC‾=154\overline{AA} + \overline{BB} + \overline{CC} = 154. Que vaut A+B+CA + B + C ?

Voir la réponse et le corrigé

1414. 11A+11B+11C=11(A+B+C)=15411A + 11B + 11C = 11(A + B + C) = 154, donc A+B+C=14A + B + C = 14. Aucune lettre n'est connue une par une — et la question ne le demande pas.

Forme 1 — l'addition posée, avec des lettres répétées

La forme la plus fréquente. Le calcul est posé en colonnes, et chaque nombre répète sa lettre.

La question demande ce qui est forcément vrai des lettres. Faites tourner le calcul colonne par colonne — c'est le rythme à garder sur votre feuille.

La relation trouvée : A+B=CA + B = C, avec C≤9C \le 9. Elle règle toute question « nécessairement » : on la lit, puis on cherche un contre-exemple pour chaque affirmation.

Pour démolir une affirmation : un contre-exemple, avec les nombres les plus simples — 11, 11 et 22. Pour la garder : une raison qui marche pour toutes les lettres.

Commencez toujours par démolir : trois affirmations sur quatre tombent en dix secondes, et la survivante est la réponse.

Avec AA‾+BB‾=CC‾\overline{AA} + \overline{BB} = \overline{CC}, l'affirmation « CC est pair » est-elle forcément vraie ?

Voir la réponse et le corrigé

Non. 11+22=3311 + 22 = 33 : un seul contre-exemple, et l'affirmation est morte. Elle est vraie parfois (11+11=2211 + 11 = 22) — « parfois » ne suffit jamais.

Forme 2 — la colonne des unités et la retenue

Quand les lettres ne se répètent pas, on ne traduit pas : on lit le calcul colonne par colonne, en partant de la droite.

La colonne des unités est la seule qui ne reçoit rien de personne : c'est pour ça qu'on y commence. Elle livre un chiffre, et souvent une retenue.

Quand on additionne deux nombres, une retenue vaut 00 ou 11, jamais plus : 9+9=189 + 9 = 18. Avec trois nombres, elle peut monter à 22.

C'est une borne qui élimine des cas sans calcul.

Forme 3 — l'argument de taille

Le nombre de chiffres du résultat est une donnée — souvent la plus forte de l'énoncé.

XYZ‾≥100\overline{XYZ} \ge 100

Trois cases sous le trait : au moins 100100.

A+B≤18A + B \le 18

Deux chiffres additionnés : au plus 1818. Ces deux bornes suffisent parfois à tout trouver.

Deux chiffres additionnés

A+B=CD‾A + B = \overline{CD}, où toutes les lettres sont des chiffres de 11 à 99. Que vaut CC ?

A+B≤9+9=18A + B \le 9 + 9 = 18

La somme de deux chiffres est bornée.

CD‾≥10  ⇒  10≤A+B≤18\overline{CD} \ge 10 \;\Rightarrow\; 10 \le A + B \le 18

Elle a deux chiffres, donc elle dépasse 99.

C=1C = 1

Entre 1010 et 1818, le chiffre des dizaines vaut toujours 11. DD, lui, reste libre.

AA‾+AA‾=BCD‾\overline{AA} + \overline{AA} = \overline{BCD}. Que vaut BB ?

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B=1B = 1. 22A22A a trois chiffres, donc A≥5A \ge 5 : le résultat vaut 110110, 132132, 154154, 176176 ou 198198. Cinq résultats possibles, et un seul chiffre des centaines.

Forme 4 — le dernier chiffre d'un produit

Dans une multiplication posée, l'examen cache presque tout. Il laisse voir le chiffre des unités du résultat.

Il suffit : le dernier chiffre d'un produit ne dépend que des derniers chiffres des facteurs.

…5\ldots 5

Un produit qui finit par 55 : un facteur finit par 55, et l'autre est impair.

…0\ldots 0

Un produit qui finit par 00 : un facteur finit par 55 et l'autre est pair — ou bien l'un des deux finit déjà par 00.

A×AA \times A finit par 66. Que peut valoir AA ?

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44 ou 66. 42=164^2 = 16 et 62=366^2 = 36. Aucun autre chiffre ne donne un carré finissant par 66 — il suffit de parcourir les neuf.

Forme 5 — le nombre et son miroir

ABC‾\overline{ABC} et CBA‾\overline{CBA}, ou AB‾\overline{AB} et BA‾\overline{BA} : l'examen soustrait un nombre et son miroir.

Il demande par quoi la différence est forcément divisible. Vous n'avez pas besoin des lettres : la traduction fait tout.

AB‾−BA‾=9(A−B)\overline{AB} - \overline{BA} = 9(A - B)

Divisible par 99.

ABC‾−CBA‾=99(A−C)\overline{ABC} - \overline{CBA} = 99(A - C)

Divisible par 99, par 1111 et par 9999.

ABC‾−CBA‾=495\overline{ABC} - \overline{CBA} = 495. Que vaut A−CA - C ?

Voir la réponse et le corrigé

55. 99(A−C)=49599(A - C) = 495, donc A−C=5A - C = 5. Et BB ? N'importe quel chiffre — il ne compte pas.

Forme 6 — les lettres après la virgule

Plus rare, mais elle tombe. L'énoncé décrit un nombre décimal par ce que devient son produit par 1010, 100100 ou 10001000.

Il propose des écritures à lettres. C'est encore la position qui décide.

Où va la virgule

1000x1000x est un entier compris entre 10001000 et 99999999. Laquelle de ces écritures peut être celle de xx : AB,CD‾\overline{AB{,}CD}, A,BCD‾\overline{A{,}BCD} ou 0,ABCD‾\overline{0{,}ABCD} ?

1000≤1000x≤9999  ⇒  1≤x≤9,9991000 \le 1000x \le 9999 \;\Rightarrow\; 1 \le x \le 9{,}999

On divise les bornes par 10001000.

x=A,BCD‾x = \overline{A{,}BCD}

Un chiffre avant la virgule, trois après : la seule des trois écritures qui tienne entre 11 et 9,9999{,}999.

AB,CD‾≥10,0,ABCD‾<1\overline{AB{,}CD} \ge 10, \qquad \overline{0{,}ABCD} < 1

Les deux autres sont hors des bornes, quelles que soient les lettres.

Forme 7 — les restes et la divisibilité lus sur les lettres

Les critères de divisibilité se lisent sur les chiffres, donc sur les lettres. Deux servent presque toujours ici :

ABC‾=99A+9B+(A+B+C)\overline{ABC} = 99A + 9B + (A + B + C)

Par 99 et par 33 : le reste de ABC‾\overline{ABC} est celui de la somme de ses chiffres.

AB‾=11A+(B−A)\overline{AB} = 11A + (B - A)

Par 1111 : si B≥AB \ge A, le reste de AB‾\overline{AB} est B−AB - A. Le reste est nul quand A=BA = B.

AB‾\overline{AB} est divisible par 99 et A≠BA \neq B. Que vaut A+BA + B ?

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99. La somme des chiffres est un multiple de 99, donc 99 ou 1818 — et 1818 exigerait A=B=9A = B = 9.

Le même sujet, sans lettres

Certaines questions parlent de chiffres sans poser une seule lettre : « un nombre à trois chiffres dont la somme des chiffres est 66 », « combien de nombres à deux chiffres… ».

Posez les lettres vous-même — ABC‾\overline{ABC} — et le problème redevient celui de ce chapitre.

Combien de nombres à trois chiffres se lisent pareil dans les deux sens ?

Voir la réponse et le corrigé

9090. Un tel nombre s'écrit ABA‾\overline{ABA} : 99 choix pour AA (pas de zéro devant), 1010 pour BB. Neuf fois dix.

Sur la feuille, le jour J

11

Lire la contrainte : de 00 à 99 ou de 11 à 99 ? Lettres différentes ou pas ? Tout le reste en dépend.

22

Traduire si les lettres se répètent (AA‾=11A\overline{AA} = 11A) ; lire en colonnes sinon, en partant des unités.

33

Compter les chiffres du résultat : c'est une borne gratuite.

44

Pour un « nécessairement » : démolir chaque affirmation avec 11, 11 et 22 — puis prouver la survivante.

55

Vérifier en refaisant le calcul avec les chiffres trouvés.

Une question de ce chapitre se règle en moins d'une minute quand la lecture est installée. Si vous vous surprenez à essayer les quatre réponses une par une, c'est que vous avez sauté la traduction : revenez-y.

Exercices

Exercice 1

AB‾\overline{AB} est un nombre à deux chiffres. Lequel des nombres suivants lui est égal ?

  1. 10B+A10B + A
  2. 10A+B10A + B
  3. A×BA \times B
  4. A+BA + B
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 10A+B10A + B

Corrigé :

AB‾=10A+B\overline{AB} = 10A + B

Le chiffre des dizaines pèse dix fois plus que celui des unités.

10A+B10A + B. Le produit A×BA \times B est la réponse que la notation invite à choisir — et c'est exactement pour cela qu'elle est proposée.

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Exercice 2

AA‾+BB‾+CC‾=132\overline{AA} + \overline{BB} + \overline{CC} = 132. Que vaut A+B+CA + B + C ?

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Réponse : 12

Corrigé :

11A+11B+11C=13211A + 11B + 11C = 132

Chaque nombre à lettre répétée vaut onze fois sa lettre.

A+B+C=12A + B + C = 12

On divise par 1111.

1212.

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Exercice 3

AB‾+3=B0‾\overline{AB} + 3 = \overline{B0}. Que vaut AA ?

  1. 55
  2. 44
  3. 66
  4. 77
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Réponse : C 66

Corrigé :

B+3 finit par 0  ⇒  B=7B + 3 \text{ finit par } 0 \;\Rightarrow\; B = 7

Les unités d'abord : retenue 11.

A+1=B=7  ⇒  A=6\begin{aligned}A + 1 &= B \\ &= 7 \;\Rightarrow\; A \\ &= 6\end{aligned}

Les dizaines, avec la retenue.

67+3=7067 + 3 = 70

Vérification.

66. Répondre 77, c'est avoir trouvé BB et oublié qu'on demandait AA — relisez la question avant de cocher.

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Exercice 4

AA, BB et CC sont des chiffres avec A>CA > C. La différence ABC‾−CBA‾\overline{ABC} - \overline{CBA} est-elle toujours divisible par 1111 ?

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Réponse : Vrai

Corrigé :

ABC‾−CBA‾=99(A−C)\overline{ABC} - \overline{CBA} = 99(A - C)

La traduction : le BB disparaît.

99=9×1199 = 9 \times 11

Un multiple de 9999 est un multiple de 1111.

Vrai, quelles que soient les lettres : un nombre moins son miroir à trois chiffres vaut 99(A−C)99(A - C).

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Exercice 5

AA‾+BB‾=CC‾\overline{AA} + \overline{BB} = \overline{CC}, avec AA, BB et CC des chiffres de 11 à 99. Laquelle de ces affirmations est forcément vraie ?

  1. Si A≥7A \ge 7, alors B≤2B \le 2
  2. A≠BA \ne B
  3. CC est impair
  4. A+B≥4A + B \ge 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Si A≥7A \ge 7, alors B≤2B \le 2

Corrigé :

A+B=C≤9A + B = C \le 9

La relation, par les colonnes ou par 11A+11B=11C11A + 11B = 11C.

A≥7  ⇒  B≤9−7=2A \ge 7 \;\Rightarrow\; B \le 9 - 7 = 2

La première affirmation se prouve en une ligne.

11+11=2211 + 11 = 22

Et ce seul exemple démolit les trois autres : A+B=2A + B = 2, CC pair, A=BA = B.

Si A≥7A \ge 7, alors B≤2B \le 2. Un exemple minuscule suffit à écarter trois affirmations ; la quatrième demande une preuve, et elle tient en une inégalité.

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Exercice 6

AA est un chiffre plus grand que 55, et A×AA \times A finit par 99. Que vaut AA ?

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Réponse : 7

Corrigé :

32=972=49\begin{aligned}3^2 &= 9 \\ \qquad 7^2 &= 49\end{aligned}

Deux chiffres ont un carré qui finit par 99.

A>5  ⇒  A=7A > 5 \;\Rightarrow\; A = 7

77.

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Exercice 7

Associez chaque nombre écrit avec des lettres à sa traduction en valeurs de position.

  • AB‾\overline{AB}
  • BA‾\overline{BA}
  • AB0‾\overline{AB0}
  • A0B‾\overline{A0B}
  • 100A+10B100A + 10B
  • 100A+B100A + B
  • 10A+B10A + B
  • 10B+A10B + A
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Réponse : AB‾\overline{AB} — 10A+B10A + B · BA‾\overline{BA} — 10B+A10B + A · AB0‾\overline{AB0} — 100A+10B100A + 10B · A0B‾\overline{A0B} — 100A+B100A + B

Corrigé :

AB0‾=100A+10B+0\overline{AB0} = 100A + 10B + 0

Trois chiffres : la lettre de gauche pèse 100100.

A0B‾=100A+0×10+B\overline{A0B} = 100A + 0 \times 10 + B

Le 00 tient la place des dizaines : il ne pèse rien, mais il pousse AA aux centaines.

Chaque lettre pèse sa position, jamais le produit des autres. Le piège : lire A0B‾\overline{A0B} comme 10A+B10A + B, en oubliant que le 00 occupe une place.

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Exercice 8

AA et BB sont des chiffres, A≠0A \ne 0. Le nombre à quatre chiffres ABAB‾\overline{ABAB} est toujours divisible par 1111.

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Réponse : Faux

Corrigé :

ABAB‾=101×AB‾\overline{ABAB} = 101 \times \overline{AB}

La traduction : le bloc AB‾\overline{AB} répété.

1010=11×91+91010 = 11 \times 91 + 9

Contre-exemple : A=1A = 1, B=0B = 0 donne 10101010, qui ne se divise pas par 1111.

Faux. Le diviseur toujours sûr de ABAB‾\overline{ABAB} est 101101. Le piège : confondre avec ABBA‾\overline{ABBA}, lui toujours divisible par 1111.

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Exercice 9

Complétez.

AA‾+BB‾=CC‾\overline{AA} + \overline{BB} = \overline{CC}, avec A=2BA = 2B et C=9C = 9. Alors B=B = ____ et A=A = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AA‾+BB‾=CC‾\overline{AA} + \overline{BB} = \overline{CC}, avec A=2BA = 2B et C=9C = 9. Alors B=B = 3 et A=A = 6.

Corrigé :

A+B=C=9\begin{aligned}A + B &= C \\ &= 9\end{aligned}

La relation de la forme 1.

2B+B=9  ⇒  B=3\begin{aligned}2B + B &= 9 \;\Rightarrow\; B \\ &= 3\end{aligned}

On remplace AA par 2B2B.

66+33=99✓66 + 33 = 99 \quad\checkmark

Vérification.

B=3B = 3 et A=6A = 6. Le piège : écrire A=3A = 3 parce que c'est le premier nombre trouvé — relisez quelle lettre vaut le double de l'autre.

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Exercice 10

AB‾+8=B1‾\overline{AB} + 8 = \overline{B1}, avec AA et BB des chiffres de 11 à 99. Que vaut le nombre AB‾\overline{AB} ?

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Réponse : 23

Corrigé :

B+8 finit par 1  ⇒  B=3B + 8 \text{ finit par } 1 \;\Rightarrow\; B = 3

Les unités d'abord : 3+8=113 + 8 = 11, on pose 11 et on retient 11.

A+1=B=3  ⇒  A=2\begin{aligned}A + 1 &= B \\ &= 3 \;\Rightarrow\; A \\ &= 2\end{aligned}

Les dizaines, avec la retenue.

23+8=31✓23 + 8 = 31 \quad\checkmark

Vérification.

2323. Sans la retenue, on écrirait A=3A = 3 et 33+8=4133 + 8 = 41 : la vérification l'aurait attrapé.

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Exercice 11

AB‾×2=CDE‾\overline{AB} \times 2 = \overline{CDE}, un nombre à trois chiffres, avec AA et BB des chiffres de 11 à 99. Que vaut CC ?

  1. 22
  2. 99
  3. On ne peut pas le savoir
  4. 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 11

Corrigé :

AB‾≤99  ⇒  2×AB‾≤198\overline{AB} \le 99 \;\Rightarrow\; 2 \times \overline{AB} \le 198

La borne haute.

100≤CDE‾≤198100 \le \overline{CDE} \le 198

Trois chiffres : au moins 100100.

C=1C = 1

Entre 100100 et 198198, le chiffre des centaines vaut toujours 11.

11. « On ne peut pas le savoir » est le piège : l'argument de taille donne CC sans connaître AA ni BB.

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Exercice 12

AA est un chiffre. Le nombre A×AA \times A peut-il finir par ce chiffre ?

  • Possible
  • Impossible
  • 00
  • 11
  • 22
  • 33
  • 44
  • 55
  • 66
  • 77
  • 88
  • 99
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 00 — Possible · 11 — Possible · 22 — Impossible · 33 — Impossible · 44 — Possible · 55 — Possible · 66 — Possible · 77 — Impossible · 88 — Impossible · 99 — Possible

Corrigé :

0212…92=0149162536496481\begin{aligned}0^2 \\ 1^2 \\ \ldots \\ 9^2 &= 0 \\ 1 \\ 4 \\ 9 \\ 16 \\ 25 \\ 36 \\ 49 \\ 64 \\ 81\end{aligned}

On parcourt les dix chiffres.

{0,1,4,5,6,9}\{0, 1, 4, 5, 6, 9\}

Les seules fins atteintes.

Un carré ne finit jamais par 22, 33, 77 ni 88. Le piège : cocher 33 « possible » parce que 32=93^2 = 9 — c'est la fin du carré qui compte, pas le chiffre de départ.

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Exercice 13

Une ligne de ce raisonnement est fausse. Trouvez-la.

ABC‾−CBA‾=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)\overline{ABC} - \overline{CBA} = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A)
=99A−99C=99(A−C)= 99A - 99C = 99(A - C)
donc toujours divisible par 18\text{donc toujours divisible par } 18
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : donc toujours divisible par 18\text{donc toujours divisible par } 18 → donc toujours divisible par 9 et par 11\text{donc toujours divisible par } 9 \text{ et par } 11

Corrigé :

99=9×1199 = 9 \times 11

Les diviseurs sûrs viennent de 9999.

A−C=1  ⇒  99A - C = 1 \;\Rightarrow\; 99

Contre-exemple : 211−112=99211 - 112 = 99, qui ne se divise pas par 1818.

La dernière ligne. 99(A−C)99(A - C) n'est divisible par 1818 que si A−CA - C est pair. Le piège : multiplier les diviseurs de 9999 par un facteur qu'il n'a pas.

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Exercice 14

AB‾\overline{AB} est divisible par 1111, et A+B=14A + B = 14. Que vaut le nombre AB‾\overline{AB} ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 77

Corrigé :

AB‾=11A+(B−A)\overline{AB} = 11A + (B - A)

Le reste par 1111 se lit sur les lettres.

B−A=0  ⇒  A=B=7\begin{aligned}B - A &= 0 \;\Rightarrow\; A \\ &= B \\ &= 7\end{aligned}

Divisible par 1111 : A=BA = B, et A+B=14A + B = 14.

7777. À deux chiffres, les multiples de 1111 sont exactement les nombres à chiffre répété.

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Exercice 15

Combien de nombres à deux chiffres ont pour somme de chiffres 99 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

AB‾A+B=9A≥1\begin{aligned}\overline{AB} \\ \quad A + B &= 9 \\ \quad A \ge 1\end{aligned}

On pose les lettres soi-même.

A=12…9  ⇒  B=87…0\begin{aligned}A &= 1 \\ 2 \\ \ldots \\ 9 \;\Rightarrow\; B &= 8 \\ 7 \\ \ldots \\ 0\end{aligned}

Chaque AA fixe BB ; B=0B = 0 est permis.

99 : de 1818 à 9090. Le piège : oublier 9090, parce que B=0B = 0 semble interdit — il ne l'est qu'en tête du nombre.

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