Série 2 — Ce que les mobiles partagent · Distance, vitesse et temps · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

Avant de calculer, nommez la grandeur que les deux mobiles partagent. Même durée : les distances suivent les vitesses. Même distance : les durées suivent l'inverse des vitesses. Le distracteur le plus attirant est presque toujours le bon rapport, retourné.

Exercices

Exercice 1

Un guépard court à $108$ km/h. À cette vitesse, combien de mètres parcourt-il en $5$ secondes ?

$30$
$540$
$150$
$1\,944$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $150$

Corrigé :

108 : 3{,}6 = 30 \;\text{m/s}

30 \times 5 = 150 \;\text{m}

La bonne réponse : « $150$ ». « $540$ » multiplie $108$ par $5$ sans convertir : des km/h fois des secondes ne donnent pas des mètres. « $1\,944$ » multiplie par $3{,}6$ au lieu de diviser ( $108 \times 3{,}6 \times 5$ ) : en mètres par seconde, le nombre est plus petit qu'en km/h. « $30$ » est la vitesse en mètres par seconde ; il manque la multiplication par les $5$ secondes.

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Exercice 2

Une automobiliste roule $1$ heure à $70$ km/h, puis $2$ heures à $40$ km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet, en km/h ?

$55$
$60$
$75$
$50$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $50$

Corrigé :

70 \times 1 + 40 \times 2 = 150 \;\text{km}

la distance totale

\frac{150}{3} = 50

sur la durée totale, $3$ heures

La bonne réponse : « $50$ ». « $55$ » fait la moyenne des deux vitesses, alors que l'automobiliste a roulé deux fois plus longtemps à $40$ km/h. « $60$ » pondère à l'envers : deux heures à $70$ km/h et une à $40$ . « $75$ » divise les $150$ km par $2$ , le nombre de tronçons, au lieu des $3$ heures.

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Exercice 3

Comparez les deux quantités. Colonne A : le temps qu'il faut pour parcourir $30$ km à $40$ km/h. Colonne B : le temps qu'il faut pour parcourir $50$ km à $60$ km/h.

On ne peut pas le savoir avec ces seules données
La quantité de la colonne A est la plus grande
La quantité de la colonne B est la plus grande
Les deux quantités sont égales

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C La quantité de la colonne B est la plus grande

Corrigé :

\frac{30}{40} \;\text{h} = 45 \;\text{min}

colonne A

\frac{50}{60} \;\text{h} = 50 \;\text{min}

colonne B

La bonne réponse : « La quantité de la colonne B est la plus grande ». « Les deux quantités sont égales » compare des différences : $60 - 40 = 50 - 30 = 20$ ; une durée est un quotient, pas une différence. « La quantité de la colonne A est la plus grande » compare les quotients retournés, la vitesse sur la distance : $\frac{40}{30} > \frac{60}{50}$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » : les deux durées se calculent, rien ne manque.

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Exercice 4

Deux drones volent, chacun à vitesse constante. La vitesse du premier est $k$ fois celle du second, et le premier met $m$ fois moins de temps que le second pour son vol. Quel est le rapport entre la distance parcourue par le premier drone et celle parcourue par le second ?

$km$
$k$
$\frac{k}{m}$
$\frac{m}{k}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{k}{m}$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{d_1}{d_2} &= \frac{v_1}{v_2} \times \frac{t_1}{t_2} \\ &= k \times \frac{1}{m}\end{aligned}

distance = vitesse fois temps : les deux rapports se multiplient

\frac{d_1}{d_2} = \frac{k}{m}

La bonne réponse : « $\frac{k}{m}$ ». « $km$ » multiplie par $m$ alors que le premier met $m$ fois moins de temps. « $\frac{m}{k}$ » est le rapport retourné : la distance du second sur celle du premier. « $k$ » ne garde que le rapport des vitesses et oublie que les durées diffèrent.

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Exercice 5

Noam part de chez lui en courant. Sa sœur part de la même maison $a$ minutes plus tard, à vélo, par le même chemin, et le rattrape $b$ minutes après son propre départ. Chacun garde sa vitesse. Combien de fois la vitesse de la sœur vaut-elle celle de Noam ?

$\frac{b}{a+b}$
$\frac{a+b}{a}$
$\frac{a}{b}$
$\frac{a+b}{b}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{a+b}{b}$

Corrigé :

\begin{aligned}t_{\text{Noam}} &= a + b \qquad t_{\text{sœur}} \\ &= b\end{aligned}

Noam court depuis le début, sa sœur seulement depuis son départ

\begin{aligned}\frac{v_S}{v_N} &= \frac{t_N}{t_S} \\ &= \frac{a+b}{b}\end{aligned}

même distance au rattrapage : les vitesses suivent l'inverse des durées

La bonne réponse : « $\frac{a+b}{b}$ ». « $\frac{b}{a+b}$ » prend le rapport des durées dans le mauvais sens ; ce nombre est inférieur à $1$ , alors que la sœur, qui rattrape son frère, va plus vite que lui. « $\frac{a}{b}$ » compare le retard au départ à la durée de course de la sœur : le retard n'est la durée de course de personne. « $\frac{a+b}{a}$ » divise par le retard au lieu de la durée de course de la sœur.

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Exercice 6

Un cycliste parcourt $30$ km à $12$ km/h, et fait en route une pause de $30$ minutes. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet, pause comprise, en km/h ?

$10$
$12$
$6$
$15$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $10$

Corrigé :

\frac{30}{12} = 2{,}5 \;\text{h}

le temps passé à rouler

2{,}5 + 0{,}5 = 3 \;\text{h}

la pause compte dans la durée du trajet

\frac{30}{3} = 10

La bonne réponse : « $10$ ». « $12$ » oublie la pause : c'est la vitesse quand il roule. « $15$ » retranche la pause au lieu de l'ajouter : $\frac{30}{2}$ . « $6$ » fait la moyenne de $12$ km/h et des $0$ km/h de la pause, comme si la pause durait autant que le temps passé à rouler.

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Exercice 7

Ron va de chez lui à la gare à $12$ km/h et revient par le même chemin à $8$ km/h. L'aller-retour dure $1$ h $15$ min en tout. Quelle distance sépare sa maison de la gare, en km ?

$12$
$5{,}52$
$6{,}25$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $6$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{d}{12} + \frac{d}{8} &= \frac{2d + 3d}{24} \\ &= \frac{5d}{24}\end{aligned}

la durée totale, en heures

\begin{aligned}\frac{5d}{24} &= \frac{5}{4} \;\Rightarrow\; d \\ &= 6\end{aligned}

$1$ h $15$ min, c'est $\frac{5}{4}$ d'heure

La bonne réponse : « $6$ ». « $6{,}25$ » prend la moyenne des deux vitesses, $10$ km/h : $12{,}5$ km en $1{,}25$ h, puis la moitié ; or Ron passe plus de temps au retour, plus lent. « $12$ » est la longueur de l'aller-retour, pas celle d'un seul trajet. « $5{,}52$ » écrit $1$ h $15$ min comme $1{,}15$ heure au lieu de $1{,}25$ .

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Exercice 8

Sur une course de $10$ km, Amit court à $15$ km/h et Ben à $12$ km/h ; ils partent ensemble et gardent chacun sa vitesse. À quelle distance de l'arrivée se trouve Ben au moment où Amit la franchit ?

$3$ km
$2$ km
$8$ km
$2{,}5$ km

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2$ km

Corrigé :

\begin{aligned}t &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3} \;\text{h}\end{aligned}

le temps d'Amit sur toute la course

12 \times \frac{2}{3} = 8 \;\text{km}

ce que Ben parcourt pendant ce temps

10 - 8 = 2 \;\text{km}

La bonne réponse : « $2$ km ». « $2{,}5$ km » multiplie l'écart des vitesses, $3$ km/h, par le temps de Ben sur la course, $\frac{10}{12}$ h : au moment qui compte, seul le temps d'Amit s'est écoulé. « $3$ km » multiplie le même écart par une heure, une durée que rien ne donne. « $8$ km » est la distance que Ben a parcourue, pas celle qui lui reste.

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Exercice 9

Rina et Gil partent ensemble du même point et parcourent la même distance, chacun à vitesse constante. Rina roule à $a$ km/h et Gil à $a^2$ km/h, où $a$ est un nombre positif. Rina arrive la première. Que peut-on affirmer avec certitude ?

$a > 1$
$0 < a < 1$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$a$ est un nombre entier

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $0 < a < 1$

Corrigé :

a > a^2

à distance égale, celle qui arrive la première est la plus rapide

a > 0 \;\Rightarrow\; 1 > a

on divise par $a$ , positif : le sens de l'inégalité ne change pas

La bonne réponse : « $0 < a < 1$ ». « $a > 1$ » suppose qu'un carré est toujours plus grand que le nombre lui-même ; c'est faux entre $0$ et $1$ , par exemple $0{,}5^2 = 0{,}25$ . « $a$ est un nombre entier » ajoute une contrainte que rien n'impose, et aucun entier positif ne vérifie d'ailleurs $a > a^2$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » : la seule condition $a > a^2$ suffit à placer $a$ .

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Exercice 10

Le segment $[AB]$ est un diamètre d'un cercle de rayon $30$ mètres. Au même instant, Ari et Bella quittent $A$ pour rejoindre $B$ , chacun à $1{,}5$ m/s : Bella suit le diamètre, Ari suit le demi-cercle. Combien de secondes après Bella Ari arrive-t-il en $B$ ?

$20\pi$
$20\pi - 40$
$40\pi - 40$
$10\pi - 20$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $20\pi - 40$

Corrigé :

60 : 1{,}5 = 40 \;\text{s}

Bella parcourt le diamètre, $2 \times 30 = 60$ m

30\pi : 1{,}5 = 20\pi \;\text{s}

Ari parcourt le demi-cercle, $\pi \times 30$ m

20\pi - 40 \approx 22{,}8 \;\text{s}

le retard d'Ari sur Bella

La bonne réponse : « $20\pi - 40$ ». « $40\pi - 40$ » fait parcourir à Ari le cercle entier, $60\pi$ m, au lieu du demi-cercle. « $20\pi$ » est la durée du trajet d'Ari, pas son retard sur Bella. « $10\pi - 20$ » prend $30$ m pour le diamètre : les deux trajets deviennent alors deux fois trop courts.

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Exercices

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