Série 3 — Répondre en lettres

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

Devant une réponse en lettres, ne devinez pas : choisissez des nombres simples pour les lettres (par exemple a=1a = 1, b=3b = 3), résolvez avec ces nombres, puis testez chaque proposition. Une seule tombe juste.

Exercices

Exercice 1

Un véhicule parcourt dd km en tt heures, à vitesse constante. Combien d'heures mettrait-il pour parcourir 3d3d km à une vitesse deux fois plus grande ?

  1. 3t2\frac{3t}{2}
  2. 6t6t
  3. t6\frac{t}{6}
  4. 2t3\frac{2t}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 3t2\frac{3t}{2}

Corrigé :

v=dtv = \frac{d}{t}
t′=3d2v=3d2⋅td=3t2\begin{aligned}t' &= \frac{3d}{2v} \\ &= \frac{3d}{2} \cdot \frac{t}{d} \\ &= \frac{3t}{2}\end{aligned}

trois fois plus loin, deux fois plus vite

La bonne réponse : « 3t2\frac{3t}{2} ». « 6t6t » multiplie la durée par le facteur de la vitesse au lieu de la diviser : une vitesse double raccourcit le trajet. « 2t3\frac{2t}{3} » est le rapport retourné, 23\frac{2}{3} au lieu de 32\frac{3}{2}. « t6\frac{t}{6} » divise par les deux facteurs, alors qu'une distance triplée allonge la durée.

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Exercice 2

Un train long de 200200 mètres roule à 7272 km/h. Entre l'entrée de la locomotive dans un tunnel et la sortie du dernier wagon, il s'écoule 3030 secondes. Quelle est la longueur du tunnel, en mètres ?

  1. 400400
  2. 2 1602\,160
  3. 800800
  4. 600600
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 400400

Corrigé :

72:3,6=20  m/s72 : 3{,}6 = 20 \;\text{m/s}
20×30=600  m20 \times 30 = 600 \;\text{m}

ce que parcourt la locomotive : le tunnel, puis la longueur du train

600−200=400  m600 - 200 = 400 \;\text{m}

La bonne réponse : « 400400 ». « 600600 » oublie que la locomotive doit aussi faire sortir les 200200 mètres du train. « 800800 » ajoute la longueur du train au lieu de la retrancher. « 2 1602\,160 » multiplie 7272 par 3030 sans convertir les km/h en m/s.

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Exercice 3

Un livreur veut une vitesse moyenne de 4040 km/h sur un trajet. Il en parcourt la première moitié à 3030 km/h. À quelle vitesse, en km/h, doit-il parcourir la seconde moitié ?

  1. 7070
  2. 120120
  3. 6060
  4. 5050
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 6060

Corrigé :

ttotal=12040=3  h\begin{aligned}t_{\text{total}} &= \frac{120}{40} \\ &= 3 \;\text{h}\end{aligned}

un trajet commode de 120120 km ; le résultat n'en dépend pas

t1=6030=2  h\begin{aligned}t_1 &= \frac{60}{30} \\ &= 2 \;\text{h}\end{aligned}

la première moitié

v2=603−2=60\begin{aligned}v_2 &= \frac{60}{3 - 2} \\ &= 60\end{aligned}

La bonne réponse : « 6060 ». « 5050 » veut que la moyenne des deux vitesses fasse 4040 : à distances égales, la vitesse moyenne penche vers la petite vitesse, et il faut compenser davantage. « 7070 » additionne 3030 et 4040 : une vitesse ne s'obtient pas en ajoutant des vitesses. « 120120 » écrit 1v=130−140\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{40} : il oublie que la moyenne porte sur le trajet entier, deux moitiés, et soustrait dans le mauvais ordre.

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Exercice 4

Deux villes sont distantes de DD km. Deux cars partent au même instant, l'un de chaque ville, et roulent l'un vers l'autre : le premier à uu km/h, le second à ww km/h. À quelle distance de la ville du premier car se croisent-ils ?

  1. Du+w\frac{D}{u+w}
  2. Dwu+w\frac{Dw}{u+w}
  3. Duu+w\frac{Du}{u+w}
  4. D2\frac{D}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Duu+w\frac{Du}{u+w}

Corrigé :

t=Du+wt = \frac{D}{u + w}

l'écart se referme à la somme des vitesses

u⋅t=Duu+wu \cdot t = \frac{Du}{u+w}

la distance du premier car pendant ce temps

La bonne réponse : « Duu+w\frac{Du}{u+w} ». « Dwu+w\frac{Dw}{u+w} » est la distance parcourue par le second car, mesurée depuis sa ville. « D2\frac{D}{2} » suppose que les deux cars roulent à la même vitesse. « Du+w\frac{D}{u+w} » est la durée avant la rencontre, en heures : ce n'est pas une distance.

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Exercice 5

Anat et Ben parcourent la même distance, chacun à vitesse constante : Anat à mm km/h et Ben à m2m^2 km/h, où mm est un nombre positif. Ben met moins de temps qu'Anat. Laquelle des valeurs suivantes est impossible pour mm ?

  1. 54\frac{5}{4}
  2. 33
  3. 32\frac{3}{2}
  4. 45\frac{4}{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 45\frac{4}{5}

Corrigé :

m2>mm^2 > m

à distance égale, celui qui met le moins de temps va le plus vite

m>0  ⇒  m>1m > 0 \;\Rightarrow\; m > 1

on divise par mm, positif

45<1\frac{4}{5} < 1

la seule valeur exclue : son carré, 1625\frac{16}{25}, est plus petit qu'elle

La bonne réponse : « 45\frac{4}{5} ». « 54\frac{5}{4} » et « 32\frac{3}{2} » sont possibles, puisqu'elles dépassent 11 ; les écarter, c'est exiger sans raison que mm soit entier. « 33 » est possible aussi : 9>39 > 3. Le piège inverse consiste à croire qu'un carré est toujours plus grand que le nombre : c'est faux pour 45\frac{4}{5}.

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Exercice 6

À l'aller, Shaï roule 2020 minutes à xx km/h, puis encore 2020 minutes à 3x3x km/h. Il revient par la même route, à vitesse constante, en une heure exactement. Quelle est sa vitesse au retour, en km/h ?

  1. 4x3\frac{4x}{3}
  2. 4x5\frac{4x}{5}
  3. 3x4\frac{3x}{4}
  4. 2x2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4x3\frac{4x}{3}

Corrigé :

2060 x+2060⋅3x=x3+x=4x3\begin{aligned}\frac{20}{60}\,x + \frac{20}{60} \cdot 3x &= \frac{x}{3} + x \\ &= \frac{4x}{3}\end{aligned}

la longueur de la route : deux tronçons de même durée, un tiers d'heure chacun

vretour=4x/31=4x3\begin{aligned}v_{\text{retour}} &= \frac{4x/3}{1} \\ &= \frac{4x}{3}\end{aligned}

parcourue en une heure

La bonne réponse : « 4x3\frac{4x}{3} ». « 2x2x » fait la moyenne des deux vitesses de l'aller : ce serait la vitesse au retour si le retour durait autant que l'aller, 4040 minutes ; il dure une heure. « 4x5\frac{4x}{5} » écrit 2020 minutes comme 0,20{,}2 heure au lieu d'un tiers d'heure. « 3x4\frac{3x}{4} » retourne la fraction : la durée sur la distance.

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Exercice 7

Un store descend de 44 cm par seconde, et l'ouverture de la fenêtre passe de 1,81{,}8 m à 0,60{,}6 m. Pendant ce temps, un chat traverse à vitesse constante une pièce de 99 m. Quelle est la vitesse du chat, en mètres par seconde ?

  1. 3030
  2. 0,60{,}6
  3. 0,30{,}3
  4. 0,20{,}2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 0,30{,}3

Corrigé :

1,8−0,6=1,2  m=120  cm\begin{aligned}1{,}8 - 0{,}6 &= 1{,}2 \;\text{m} \\ &= 120 \;\text{cm}\end{aligned}

la variation de l'ouverture : la course du store

120:4=30  s120 : 4 = 30 \;\text{s}

la durée commune

9:30=0,3  m/s9 : 30 = 0{,}3 \;\text{m/s}

La bonne réponse : « 0,30{,}3 ». « 0,60{,}6 » prend l'ouverture restante, 6060 cm, pour la course du store : 60:4=1560 : 4 = 15 s, puis 9:159 : 15. « 0,20{,}2 » prend l'ouverture de départ, 180180 cm, pour cette course : 4545 s. « 3030 » mélange les unités : 1,21{,}2 m divisé par 44 cm par seconde donne 0,30{,}3 « seconde », puis 9:0,3=309 : 0{,}3 = 30.

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Exercice 8

150 mOP

Une piste circulaire a un rayon de 150150 mètres. Deux coureuses partent au même instant du même point de la piste, en sens opposés, l'une à 33 m/s et l'autre à 22 m/s. Quelle distance la plus rapide a-t-elle parcourue au moment où les deux coureuses se trouvent, pour la première fois, en deux points diamétralement opposés ?

  1. 75π75\pi m
  2. 90π90\pi m
  3. 180π180\pi m
  4. 180180 m
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 90π90\pi m

Corrigé :

π×150=150π\pi \times 150 = 150\pi

diamétralement opposées : à elles deux, elles ont couvert un demi-cercle

33+2×150π=90π\frac{3}{3+2} \times 150\pi = 90\pi

même durée : le demi-cercle se partage dans le rapport des vitesses

La bonne réponse : « 90π90\pi m ». « 180π180\pi m » partage la circonférence entière, 300π300\pi m : après un tour complet à elles deux, les coureuses se retrouvent, elles ne sont pas opposées. « 75π75\pi m » partage le demi-cercle en deux moitiés égales, comme si les vitesses étaient égales. « 180180 m » partage le diamètre, 300300 m, au lieu du demi-cercle : les coureuses suivent la piste, pas une corde.

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Exercice 9

Deux cyclistes partent au même instant, l'un de la ville AA, l'autre de la ville BB, et roulent l'un vers l'autre, chacun à vitesse constante. Ils se croisent au bout de 22 heures, à 3636 km de AA. Le cycliste parti de AA atteint BB 11 h 2020 min après la rencontre. Quelle est la distance entre AA et BB, en km ?

  1. 7272
  2. 2424
  3. 57,657{,}6
  4. 6060
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 6060

Corrigé :

vA=362=18  km/h\begin{aligned}v_A &= \frac{36}{2} \\ &= 18 \;\text{km/h}\end{aligned}

la vitesse du cycliste parti de AA, lue avant la rencontre

18×43=24  km18 \times \frac{4}{3} = 24 \;\text{km}

après la rencontre, en 11 h 2020 min, soit 43\frac{4}{3} d'heure : ce qui lui restait jusqu'à BB

AB=36+24=60\begin{aligned}AB &= 36 + 24 \\ &= 60\end{aligned}

La bonne réponse : « 6060 ». « 7272 » place la rencontre au milieu et double les 3636 km : rien ne dit que les deux vitesses sont égales. « 57,657{,}6 » écrit 11 h 2020 min comme 1,21{,}2 heure. « 2424 » n'est que la distance entre le point de rencontre et BB.

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Exercice 10

Tal part à vélo de la ville PP vers la ville QQ. Plus tard, Ido part de QQ vers PP. Au départ d'Ido, Tal a déjà parcouru aa km, et il reste bb km entre eux, avec b>ab > a. Chacun roule à vitesse constante, et ils se croisent exactement au milieu du trajet entre PP et QQ. Combien de fois la vitesse d'Ido vaut-elle celle de Tal ?

  1. b−aa+b\frac{b-a}{a+b}
  2. 11
  3. a+bb−a\frac{a+b}{b-a}
  4. bb−2a\frac{b}{b-2a}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C a+bb−a\frac{a+b}{b-a}

Corrigé :

PQ=a+bPQ = a + b

ce que Tal a déjà parcouru, plus ce qui reste entre eux

dIdo=a+b2dTal=a+b2−a=b−a2\begin{aligned}d_{\text{Ido}} &= \frac{a+b}{2} \qquad d_{\text{Tal}} \\ &= \frac{a+b}{2} - a \\ &= \frac{b-a}{2}\end{aligned}

de l'instant où Ido part jusqu'au milieu

vIvT=a+bb−a\frac{v_I}{v_T} = \frac{a+b}{b-a}

même durée : le rapport des distances est celui des vitesses

La bonne réponse : « a+bb−a\frac{a+b}{b-a} ». « bb−2a\frac{b}{b-2a} » prend l'écart restant, bb, pour la longueur du trajet entier : le milieu se place alors au mauvais endroit. « 11 » suppose des vitesses égales ; or Ido fait la moitié du trajet pendant que Tal ne fait qu'un morceau du chemin qui l'en sépare. « b−aa+b\frac{b-a}{a+b} » est le rapport retourné, la vitesse de Tal sur celle d'Ido.

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