Série 3 — Lire, peser, borner · Moyennes · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

Le réflexe de la série : pensez en écarts à la moyenne. Ce qu'un groupe a de trop au-dessus de la moyenne, le reste l'a en moins au-dessous, et chaque écart compte autant de fois qu'il y a de personnes. Pour un maximum ou un minimum, poussez tout le reste à sa borne.

Le circuit de Dan et de Lior en Galilée

Ville	Prix d'une nuit (₪)	Nuit passée par Dan	Nuit passée par Lior
Akko	390	3e	1re
Haïfa	410	5e	2e
Nazareth	340	1re	4e
Safed	470	2e	5e
Tibériade	520	4e	3e

Dan et Lior ont dormi une nuit dans chacune de ces cinq villes, chacun dans son ordre, au même prix. La question marquée « d'après le tableau du circuit » s'y réfère.

Les quatre équipes d'un club d'aviron de Tel-Aviv

Équipe	Nombre de rameurs	Poids moyen d'un rameur (kg)
A	8	72
B	12	67
C	9	74
D	6	80

Chaque rameur fait partie d'une seule équipe. Les questions marquées « d'après le tableau du club d'aviron » s'y réfèrent.

Exercices

Exercice 1

D'après le tableau du circuit, quel a été le prix moyen d'une nuit pendant les trois premières nuits du circuit de Dan ?

$440$ ₪
$400$ ₪
$380$ ₪
$426$ ₪

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $400$ ₪

Corrigé :

\text{Nazareth},\ \text{Safed},\ \text{Akko}

les nuits 1, 2 et 3 de Dan, lues dans sa colonne

\begin{aligned}\dfrac{340 + 470 + 390}{3} &= \dfrac{1\,200}{3} \\ &= 400\end{aligned}

la somme des trois prix sur trois nuits

La bonne réponse : « $400$ ₪ ». « $380$ ₪ » prend les trois premières villes du tableau, dans l'ordre alphabétique : Akko, Haïfa et Nazareth. « $440$ ₪ » lit la colonne de Lior, dont les trois premières nuits sont Akko, Haïfa et Tibériade. « $426$ ₪ » fait la moyenne des cinq nuits, sans s'arrêter aux trois premières.

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Exercice 2

Dans une suite de nombres, chaque nombre, sauf le premier et le dernier, est égal à la moyenne des deux nombres qui l'entourent. Le deuxième nombre vaut $17$ et le cinquième vaut $38$ . Combien vaut le premier ?

$24$
$27{,}5$
$-4$
$10$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $10$

Corrigé :

\begin{aligned}\text{écart constant} &= \dfrac{38 - 17}{3} \\ &= 7\end{aligned}

trois écarts séparent le deuxième du cinquième

17 - 7 = 10

le premier est un écart avant le deuxième

La bonne réponse : « $10$ ». « $-4$ » prend $38 - 17 = 21$ pour l'écart entre deux voisins, alors qu'il en couvre trois : $17 - 21$ . « $27{,}5$ » fait la moyenne des deux nombres donnés, qui ne sont pas voisins du même terme. « $24$ » trouve bien l'écart, mais avance d'un pas au lieu de reculer : c'est le troisième nombre.

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Exercice 3

D'après le tableau du club d'aviron, quel est le poids moyen d'un rameur des équipes A et B réunies ?

$69$ kg
$69{,}5$ kg
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$70$ kg

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $69$ kg

Corrigé :

\begin{aligned}8 \times 72 &= 576 \\ \qquad 12 \times 67 &= 804\end{aligned}

la somme des poids de chaque équipe

\begin{aligned}\dfrac{576 + 804}{8 + 12} &= \dfrac{1\,380}{20} \\ &= 69\end{aligned}

la somme totale sur l'effectif total

La bonne réponse : « $69$ kg ». « $69{,}5$ kg » fait la moyenne des deux moyennes, $\frac{72 + 67}{2}$ : l'équipe B compte plus de rameurs. « $70$ kg » échange les effectifs, $\frac{8 \times 67 + 12 \times 72}{20}$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut le poids de chaque rameur : le tableau donne l'effectif et la moyenne, donc la somme.

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Exercice 4

Les cinq nombres $a$ , $b$ , $c$ , $d$ et $e$ ont pour moyenne $m$ . Laquelle des listes suivantes a nécessairement pour moyenne $m$ ?

$3a$ , $3b$ , $3c$ , $3d$ , $3e$
$a + b$ , $c$ , $d$ , $e$
$a - 2$ , $b + 2$ , $c - 1$ , $d + 1$ , $e$
$a + 2$ , $b + 4$ , $c + 6$ , $d + 8$ , $e + 10$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $a - 2$ , $b + 2$ , $c - 1$ , $d + 1$ , $e$

Corrigé :

a + b + c + d + e = 5m

la somme des cinq nombres

\dfrac{5m - 2 + 2 - 1 + 1 + 0}{5} = m

les décalages s'annulent

\begin{aligned}\dfrac{5m + 30}{5} &= m + 6 \\ \qquad \dfrac{15m}{5} &= 3m \\ \qquad \dfrac{5m}{4}\end{aligned}

les trois autres listes

La bonne réponse : « $a - 2$ , $b + 2$ , $c - 1$ , $d + 1$ , $e$ ». La somme des décalages est nulle. « $a + 2$ , $b + 4$ , $c + 6$ , $d + 8$ , $e + 10$ » ajoute $30$ à la somme : la moyenne monte de $6$ . « $3a$ , $3b$ , $3c$ , $3d$ , $3e$ » triple la moyenne. « $a + b$ , $c$ , $d$ , $e$ » garde la somme, mais il n'y a plus que quatre nombres : la moyenne vaut $\frac{5m}{4}$ .

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Exercice 5

D'après le tableau du club d'aviron, on veut ajouter à l'équipe C de nouveaux rameurs, qui pèsent chacun $82$ kg. Combien faut-il en ajouter, au minimum, pour que le poids total de l'équipe dépasse strictement $1\,000$ kg ?

$4$
$13$
$5$
$14$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $5$

Corrigé :

9 \times 74 = 666

le poids total actuel de l'équipe C

666 + 82k > 1\,000 \iff k > \dfrac{334}{82} \approx 4{,}07

l'inégalité stricte

k = 5

le plus petit entier qui la vérifie : 666 + 4 × 82 = 994 ne suffit pas

La bonne réponse : « $5$ ». « $4$ » arrondit $4{,}07$ vers le bas : avec $4$ rameurs, le total n'est que de $994$ kg. « $13$ » oublie les rameurs déjà présents et cherche combien de rameurs de $82$ kg dépassent seuls $1\,000$ kg. « $14$ » donne le nombre de rameurs de l'équipe après l'ajout, $9 + 5$ , au lieu du nombre ajouté.

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Exercice 6

La moyenne des deux notes de Yonatan dépasse de $3$ points la moyenne des deux notes de Michal. La première note de Yonatan est inférieure de $4$ points à la première note de Michal. De combien de points la seconde note de Yonatan dépasse-t-elle la seconde note de Michal ?

$10$
$3$
$2$
$7$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $10$

Corrigé :

\begin{aligned}(y_1 + y_2) - (m_1 + m_2) &= 2 \times 3 \\ &= 6\end{aligned}

l'écart des moyennes, doublé, donne l'écart des sommes

y_1 - m_1 = -4

la première note de Yonatan est plus basse

\begin{aligned}y_2 - m_2 &= 6 - (-4) \\ &= 10\end{aligned}

on retire l'écart déjà connu

La bonne réponse : « $10$ ». « $7$ » raisonne sur les moyennes comme sur les sommes, $3 + 4$ : il fallait d'abord doubler l'écart. « $2$ » double bien l'écart, mais retranche les $4$ points au lieu de les ajouter : la première note de Yonatan est en retard. « $3$ » croit que l'écart des secondes notes égale l'écart des moyennes.

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Exercice 7

Dans une classe de $25$ élèves, la moyenne à un examen est $70$ . Les $5$ élèves d'un groupe de soutien ont obtenu une moyenne de $61$ , et $5$ autres élèves ont obtenu chacun $82$ . Quelle est la moyenne des $15$ élèves restants ?

$69{,}25$
$69$
$67$
$71$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $69$

Corrigé :

\begin{aligned}5 \times (61 - 70) &= -45 \\ \qquad 5 \times (82 - 70) &= +60\end{aligned}

les écarts à la moyenne de la classe, groupe par groupe

\begin{aligned}-45 + 60 + E &= 0 \;\Rightarrow\; E \\ &= -15\end{aligned}

les écarts de toute la classe se compensent

70 + \dfrac{-15}{15} = 69

on répartit l'écart restant sur les 15 élèves

La bonne réponse : « $69$ ». « $67$ » fait la moyenne des écarts sans les pondérer : $-9$ , $+12$ et un troisième écart qui annulerait leur somme, $-3$ , comme si chaque groupe comptait un seul élève. « $69{,}25$ » répartit l'écart restant sur $20$ élèves au lieu de $15$ . « $71$ » se trompe de signe : l'écart restant est négatif.

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Exercice 8

Pendant $n$ nuits, une auberge a accueilli en moyenne $g$ randonneurs par nuit. Pendant les $k$ premières nuits ( $k < n$ ), elle en a accueilli exactement $p$ chaque nuit ; parmi les nuits restantes, certaines peuvent n'avoir accueilli personne. Au plus, combien de randonneurs a-t-elle pu accueillir en une seule des nuits restantes ?

$ng - p$
$(n - k)\,g$
$ng - kp$
$\dfrac{ng - kp}{n - k}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $ng - kp$

Corrigé :

ng

le nombre total de randonneurs

ng - kp

ceux des nuits restantes

ng - kp + 0 + \dots + 0

pour le maximum, une seule nuit les reçoit tous, les autres aucun, ce que l'énoncé permet

La bonne réponse : « $ng - kp$ ». Avec des nombres : $5$ nuits à $10$ en moyenne, dont $2$ nuits à $12$ , laissent $26$ randonneurs, tous possibles la même nuit. « $\dfrac{ng - kp}{n - k}$ » partage le reste entre les nuits restantes : c'est leur moyenne, pas un maximum. « $ng - p$ » ne retire qu'une seule des $k$ premières nuits. « $(n - k)\,g$ » suppose que les nuits restantes sont à la moyenne $g$ .

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Exercice 9

Sept entiers positifs ont pour somme $100$ . Le plus grand d'entre eux est strictement supérieur à chacun des six autres. Quelle est la plus petite valeur possible du plus grand ?

$14$
$17$
$15$
$16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $16$

Corrigé :

\text{les six autres} \leq M - 1

le plus grand dépasse strictement chacun d'eux

100 \leq M + 6\,(M - 1) = 7M - 6 \;\Rightarrow\; M \geq \dfrac{106}{7} \approx 15{,}1

pour que M soit petit, les autres sont aussi grands que possible

\begin{aligned}M &= 16 :\ 16 + 15 + 15 + 15 + 15 + 12 + 12 \\ &= 100\end{aligned}

16 est atteint

La bonne réponse : « $16$ ». « $15$ » oublie l'inégalité stricte et pose $7M \geq 100$ : avec $15$ , les six autres devraient se partager $85$ , donc l'un d'eux atteindrait $15$ . « $14$ » arrondit la moyenne $\frac{100}{7}$ vers le bas, alors que le plus grand est au moins la moyenne. « $17$ » divise la somme par le nombre des autres entiers, $\frac{100}{6}$ , et arrondit.

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Exercice 10

Un groupe de randonneurs a un âge moyen de $30$ ans. Une guide de $52$ ans se joint au groupe, et l'âge moyen passe à $32$ ans. Combien de personnes compte maintenant le groupe, guide comprise ?

$26$
$20$
$10$
$11$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $11$

Corrigé :

52 - 32 = 20

l'écart de la guide à la nouvelle moyenne

\begin{aligned}n \times (32 - 30) &= 20 \;\Rightarrow\; n \\ &= 10\end{aligned}

chaque randonneur d'avant gagne 2 ans d'écart : ensemble, ils compensent les 20 ans

10 + 1 = 11

le groupe avec la guide

La bonne réponse : « $11$ ». « $10$ » est l'effectif avant l'arrivée de la guide. « $20$ » s'arrête à l'écart de la guide à la nouvelle moyenne, sans le diviser par la hausse de $2$ ans. « $26$ » divise l'âge de la guide par la hausse, $\frac{52}{2}$ , au lieu de son écart à la nouvelle moyenne.

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Exercices

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