Calculer sans calculatrice · Nombres · Psychométriques

L'examen interdit la calculatrice, et il le sait : ses nombres sont choisis pour qu'un raccourci existe.

Mais avant tout raccourci, il y a l'ordre des opérations. Les distracteurs sont justement fabriqués avec l'ordre fautif.

Le rang des opérations

1

Les parenthèses, de l'intérieur vers l'extérieur.

2

Les puissances et les racines.

3

Les multiplications et les divisions — elles ont le même rang : de gauche à droite.

4

Les additions et les soustractions — même rang aussi : de gauche à droite.

Épluchez ce calcul, une opération par clic. Avant chaque clic, dites à voix basse laquelle passe en premier.

Le mot qui trompe est « de gauche à droite ». La multiplication ne passe pas avant la division : elles ont le même rang, et c'est leur place qui décide.

Même chose pour l'addition et la soustraction.

Que vaut $36 : 6 : 3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$2$ : de gauche à droite, $36 : 6 = 6$ , puis $6 : 3 = 2$ . Le distracteur $18$ vient de $36 : (6 : 3) = 36 : 2$ .

La barre de fraction est une parenthèse

Une fraction groupe son numérateur et son dénominateur, comme s'ils étaient entre parenthèses.

$\frac{8 + 4}{2 + 4} = \frac{12}{6} = 2$ : on calcule le haut, puis le bas, puis on divise.

On ne simplifie qu'un facteur, jamais un terme.

\begin{aligned}\frac{8 + 4}{2 + 4} &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{8 + 4}{2 + 4} &= \frac{12}{6} \\ &= 2\end{aligned}

Le $4$ est ajouté, pas multiplié : il ne se simplifie pas. La simplification n'est permise que si le même nombre multiplie tout le haut et tout le bas.

Raccourci 1 — passer par un nombre rond

$29 \times 34$ se pose en trois lignes.

Mais l'un des deux facteurs est tout près d'un nombre rond, et multiplier par un nombre rond se fait de tête.

Calculez $99 \times 47$ de tête.

Voir la réponse et le corrigé

$4\,653$ : $100 \times 47 - 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$ .

Raccourci 2 — mettre en facteur

Quand le même nombre revient dans deux produits, on le sort : $a \times b + a \times c = a \times (b + c)$ .

L'examen construit ses calculs pour que la parenthèse tombe sur un nombre rond.

Raccourci 3 — les paires amies

Dans un produit, l'ordre des facteurs est libre. On rapproche donc ceux qui font un nombre rond.

Les paires amies à connaître : $2 \times 5 = 10$ , $4 \times 25 = 100$ , $8 \times 125 = 1\,000$ .

Calculez $125 \times 17 \times 8$ .

Voir la réponse et le corrigé

$17\,000$ : $125 \times 8 = 1\,000$ , puis $1\,000 \times 17$ .

Avant de poser une opération, regardez les propositions. Éloignées les unes des autres : un ordre de grandeur suffit. Différentes seulement par le dernier chiffre : calculez seulement le dernier chiffre.

L'unité « Sans calculatrice : l'ordre de grandeur », dans « Méthode et règles », pousse ces deux gestes plus loin.

Exercices

Exercice 1

Combien vaut $30 - 4 \times 5 + 2$ ?

$8$
$132$
$12$
$182$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $12$

Corrigé :

30 - 20 + 2

La multiplication d'abord : $4 \times 5 = 20$ .

= 10 + 2 = 12

Puis de gauche à droite.

La bonne réponse : « $12$ ». « $132$ » fait $30 - 4$ d'abord : $26 \times 5 + 2$ . « $8$ » fait l'addition avant la soustraction : $30 - 22$ . « $182$ » ajoute les deux erreurs : $26 \times 7$ .

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Exercice 2

Combien vaut $48 : 4 : 2$ ?

$24$
$12$
$8$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $6$

Corrigé :

48 : 4 = 12

De gauche à droite : la première division d'abord.

12 : 2 = 6

La bonne réponse : « $6$ ». « $24$ » divise par $4 : 2 = 2$ — c'est $48 : (4 : 2)$ , une parenthèse qui n'existe pas. « $12$ » s'arrête après la première division. « $8$ » divise par $4 + 2$ .

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Exercice 3

Combien vaut $\dfrac{15 + 9}{3 + 9}$ ?

$6$
$12$
$5$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{15 + 9}{3 + 9} &= \frac{24}{12} \\ &= 2\end{aligned}

La barre de fraction groupe le haut et le bas : on les calcule d'abord.

La bonne réponse : « $2$ ». « $5$ » « simplifie » les deux $9$ — on ne simplifie jamais un terme ajouté. « $6$ » divise morceau par morceau : $15 : 3 + 9 : 9$ . « $12$ » est le dénominateur seul.

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Exercice 4

Combien vaut $49 \times 23$ ?

$1\,150$
$1\,173$
$1\,127$
$1\,027$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $1\,127$

Corrigé :

49 \times 23 = 50 \times 23 - 23

$49 = 50 - 1$ : on passe par le nombre rond.

= 1\,150 - 23 = 1\,127

La bonne réponse : « $1\,127$ ». « $1\,150$ » oublie de retirer le $23$ en trop. « $1\,173$ » l'ajoute au lieu de le retirer. « $1\,027$ » est une erreur de soustraction ; son dernier chiffre est pourtant juste — raison de plus pour finir le calcul.

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Exercice 5

Combien vaut $23 \times 17 + 23 \times 83$ ?

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Réponse : 2300

Corrigé :

23 \times (17 + 83)

$23$ revient dans les deux produits : on le met en facteur.

= 23 \times 100 = 2\,300

La parenthèse tombe sur $100$ — ce n'est pas un hasard.

$2\,300$ . Poser les deux multiplications aurait marché aussi, en trois fois plus de temps. Quand un nombre revient deux fois, cherchez la parenthèse ronde.

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Exercice 6

Combien vaut $4 \times 13 \times 25$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1300

Corrigé :

(4 \times 25) \times 13

Les facteurs se déplacent librement : on rapproche la paire amie.

= 100 \times 13 = 1\,300

$1\,300$ . $4 \times 25 = 100$ est la paire amie la plus utile de l'examen, avec $2 \times 5 = 10$ et $8 \times 125 = 1\,000$ .

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Exercice 7

Combien vaut $2 + 3 \times (4 - 1)^2$ ?

$45$
$121$
$29$
$20$

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Réponse : C $29$

Corrigé :

2 + 3 \times 3^2

Les parenthèses.

2 + 3 \times 9

La puissance.

2 + 27 = 29

La multiplication, puis l'addition.

La bonne réponse : « $29$ ». « $45$ » fait $2 + 3$ d'abord : $5 \times 9$ . « $121$ » élève tout au carré : $(2 + 3 \times 3)^2$ . « $20$ » confond « au carré » et « fois deux » : $2 + 3 \times 3 \times 2$ .

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Exercice 8

Combien vaut $101 \times 101 - 101$ ?

$10\,110$
$10\,100$
$10\,000$
$10\,201$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $10\,100$

Corrigé :

101 \times 101 - 101 \times 1

Le dernier $101$ est un produit caché : $101 \times 1$ .

\begin{aligned}101 \times (101 - 1) &= 101 \times 100 \\ &= 10\,100\end{aligned}

On met $101$ en facteur.

La bonne réponse : « $10\,100$ ». « $10\,201$ » est $101 \times 101$ seul — la soustraction oubliée. « $10\,000$ » vient de $101 - 1 = 100$ mis au carré. « $10\,110$ » est une erreur de retenue.

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Exercice 9

L'affirmation « $\dfrac{6 + 9}{3} = 2 + 9$ » est-elle vraie ?

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Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{6 + 9}{3} &= \frac{15}{3} \\ &= 5\end{aligned}

la barre groupe tout le haut : on l'additionne d'abord

2 + 9 = 11 \ne 5

le $9$ n'a pas été divisé

Faux. Diviser une somme, c'est diviser chacun de ses termes : $\frac{6}{3} + \frac{9}{3} = 2 + 3 = 5$ . Simplifier le seul $6$ par $3$ oublie le $9$ .

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Exercice 10

Complétez, en passant par le nombre rond.

98 × 25 = 100 × 25 − ____ = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 98 × 25 = 100 × 25 − 50 = 2450

Corrigé :

98 = 100 - 2

le nombre rond, moins ce qui dépasse

\begin{aligned}100 \times 25 - 2 \times 25 &= 2\,500 - 50 \\ &= 2\,450\end{aligned}

Il faut retirer deux fois $25$ , soit $50$ — pas $25$ seul, comme pour un écart de $1$ .

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Exercice 11

Rangez ces calculs du plus petit résultat au plus grand.

$(2 + 3) \times 4$
$2 + 3 \times 4$
$20 - 4 - 3$
$36 : (6 : 3)$
$36 : 6 : 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $36 : 6 : 3$ · $20 - 4 - 3$ · $2 + 3 \times 4$ · $36 : (6 : 3)$ · $(2 + 3) \times 4$

Corrigé :

\begin{aligned}36 : 6 : 3 &= 6 : 3 \\ &= 2\end{aligned}

même rang : de gauche à droite

\begin{aligned}20 - 4 - 3 &= 13 \\ \quad 2 + 3 \times 4 &= 14\end{aligned}

la multiplication passe avant l'addition

\begin{aligned}36 : (6 : 3) &= 36 : 2 \\ &= 18 \\ \quad (2 + 3) \times 4 &= 20\end{aligned}

les parenthèses d'abord

$2 < 13 < 14 < 18 < 20$ . Les mêmes nombres, avec ou sans parenthèses, ne donnent pas le même résultat : c'est ainsi que l'examen fabrique ses distracteurs.

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Exercice 12

Combien vaut $5 \times 37 \times 20$ ?

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Réponse : 3700

Corrigé :

(5 \times 20) \times 37

la paire amie : $5 \times 20 = 100$

= 100 \times 37 = 3\,700

$3\,700$ . Poser $5 \times 37 = 185$ , puis $185 \times 20$ , marche aussi — en deux fois plus de temps.

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Le rang des opérations

La barre de fraction est une parenthèse

Raccourci 1 — passer par un nombre rond

Raccourci 2 — mettre en facteur

Raccourci 3 — les paires amies

Exercices

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