Le laboratoire du x · Nombres · Psychométriques

« Si $0 < x < 1$ , laquelle des expressions suivantes est la plus grande ? » Cette question revient sous dix habits.

Elle ne demande aucun calcul. Elle demande de savoir où tombent $x^2$ , $x^3$ , $\sqrt{x}$ et $\frac{1}{x}$ quand $x$ change de zone.

Ici, on ne l'apprend pas par cœur. On le regarde.

Quatre zones, trois frontières

Trois frontières, $-1$ , $0$ et $1$ , coupent la droite des nombres en quatre zones.

Dans une même zone, les expressions gardent le même ordre. Elles ne se croisent qu'en passant une frontière.

Entre 0 et 1 : tout s'inverse

Au-delà de $1$ , élever au carré agrandit : $3^2 = 9$ .

Entre $0$ et $1$ , c'est l'inverse : multiplier par une fraction, c'est en prendre une part. $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ , la moitié de la moitié.

La racine fait le chemin inverse, et elle agrandit : $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ .

$0 < x < 1$ . Lequel est le plus grand : $x^2$ ou $\sqrt{x}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\sqrt{x}$ . Avec $x = \frac{1}{4}$ : $x^2 = \frac{1}{16}$ et $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ . Entre $0$ et $1$ , le carré descend et la racine monte.

Du côté des négatifs

Pour un négatif, le carré saute de l'autre côté de $0$ : il est toujours positif. Le cube, lui, garde le signe.

Et entre $-1$ et $0$ , le cube remonte vers $0$ : $(-0{,}5)^3 = -0{,}125$ , plus grand que $-0{,}5$ .

C'est la zone où l'intuition se trompe le plus : un nombre « élevé au cube » qui devient plus grand. Retournez-y dans le laboratoire, avec le témoin $x = -0{,}5$ .

$-1 < x < 0$ . Rangez $x$ , $x^2$ et $x^3$ du plus petit au plus grand.

Voir la réponse et le corrigé

$x < x^3 < x^2$ . Avec $x = -\frac{1}{2}$ : $x = -0{,}5$ , $x^3 = -0{,}125$ et $x^2 = 0{,}25$ . Le carré est positif ; le cube reste négatif, mais plus près de $0$ que $x$ .

La méthode des nombres témoins

À l'examen, on ne récite pas le tableau : on l'essaie.

L'énoncé donne une zone. On y choisit un nombre simple — un témoin — et on calcule chaque proposition avec lui.

Les témoins qui ne témoignent de rien.

x = 1

\begin{aligned}x &= 2 \;\text{ ou }\; x \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

À $x = 1$ , les expressions $x$ , $x^2$ , $x^3$ , $\sqrt{x}$ et $\frac{1}{x}$ valent toutes $1$ : le témoin ne sépare aucune proposition. Même chose pour $0$ et $-1$ . Jamais une frontière comme témoin.

Contre « nécessairement », un témoin ne prouve rien — mais il suffit à éliminer. Si l'énoncé ne donne pas de zone, essayez un témoin par zone : quatre calculs simples, et les propositions fausses tombent d'elles-mêmes.

La page suivante résout cinq questions avec vous, pas à pas, et réunit tout le chapitre.

Exercices

Exercice 1

$0 < x < 1$ . Laquelle des expressions est la plus petite ?

$x^2$
$\sqrt{x}$
$x^3$
$x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x^3$

Corrigé :

x = \tfrac{1}{2}

Un témoin dans la zone.

\begin{aligned}x^3 &= \tfrac{1}{8} < x^2 \\ &= \tfrac{1}{4} < x \\ &= \tfrac{1}{2} < \sqrt{x} \approx 0{,}71\end{aligned}

Entre $0$ et $1$ , chaque puissance rapetisse.

La bonne réponse : « $x^3$ ». « $x$ » serait la plus petite au-delà de $1$ — l'intuition des nombres plus grands que $1$ appliquée à la mauvaise zone. « $\sqrt{x}$ » est au contraire la plus grande des quatre ici. « $x^2$ » rapetisse, mais moins que $x^3$ .

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Exercice 2

$x > 1$ . Laquelle des expressions est la plus petite ?

$x$
$x^2$
$\sqrt{x}$
$\dfrac{1}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{1}{x}$

Corrigé :

x = 4

Un témoin dont la racine tombe juste.

\begin{aligned}\tfrac{1}{x} &= \tfrac{1}{4} < \sqrt{x} \\ &= 2 < x \\ &= 4 < x^2 \\ &= 16\end{aligned}

La bonne réponse : « $\dfrac{1}{x}$ ». Au-delà de $1$ , l'inverse passe sous $1$ , alors que les trois autres restent au-dessus. « $\sqrt{x}$ » est la plus petite des trois autres, mais elle reste plus grande que $1$ .

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Exercice 3

$-1 < x < 0$ . Laquelle des expressions est la plus grande ?

$\dfrac{1}{x}$
$x^3$
$x$
$x^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x^2$

Corrigé :

x = -\tfrac{1}{2}

Un témoin dans la zone.

x^2 = \tfrac{1}{4}

Le seul résultat positif : les trois autres sont négatifs.

La bonne réponse : « $x^2$ ». Un carré est positif, et c'est tout ce qu'il faut voir. « $x^3$ » est plus grand que $x$ dans cette zone — il remonte vers $0$ — mais il reste négatif. « $\dfrac{1}{x}$ » est la plus petite : il plonge sous $-1$ .

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Exercice 4

$-1 < x < 0$ . Laquelle des expressions est la plus petite ?

$x$
$\dfrac{1}{x}$
$x^2$
$x^3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{1}{x}$

Corrigé :

x = -\tfrac{1}{2}

Le témoin.

\begin{aligned}\tfrac{1}{x} &= -2 < x \\ &= -\tfrac{1}{2} < x^3 \\ &= -\tfrac{1}{8} < x^2 \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\dfrac{1}{x}$ ». L'inverse d'un nombre entre $-1$ et $0$ passe sous $-1$ . « $x$ » est le piège : on croit le cube « plus négatif », alors qu'ici il remonte vers $0$ — $x^3$ est plus grand que $x$ .

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Exercice 5

$x < -1$ . Comment se rangent $x$ , $x^2$ et $x^3$ ?

$x < x^3 < x^2$
$x < x^2 < x^3$
$x^3 < x < x^2$
$x^3 < x^2 < x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x^3 < x < x^2$

Corrigé :

\begin{aligned}x &= -2 : \; x^3 \\ &= -8 \\ \; x &= -2 \\ \; x^2 &= 4\end{aligned}

Le témoin $-2$ .

La bonne réponse : « $x^3 < x < x^2$ ». « $x < x^2 < x^3$ » est l'ordre des nombres plus grands que $1$ — il oublie que $x^3$ reste négatif. « $x^3 < x^2 < x$ » oublie que $x^2$ est positif. « $x < x^3 < x^2$ » est l'ordre de la zone entre $-1$ et $0$ , pas de celle-ci.

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Exercice 6

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $x^2 < x$ ?

$-1 < x < 1$
$x < 0$
$0 < x < 1$
$x > 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $0 < x < 1$

Corrigé :

x = -\tfrac{1}{2} : \; \tfrac{1}{4} < -\tfrac{1}{2} \text{ faux}

Pour un négatif, $x^2$ est positif : jamais plus petit que $x$ .

x = \tfrac{1}{2} : \; \tfrac{1}{4} < \tfrac{1}{2} \text{ vrai}

Entre $0$ et $1$ , le carré rapetisse.

x = 2 : \; 4 < 2 \text{ faux}

La bonne réponse : « $0 < x < 1$ ». « $x < 0$ » : un carré positif n'est jamais sous un négatif. « $-1 < x < 1$ » inclut ces négatifs à tort. « $x > 1$ » est la zone où le carré grandit.

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Exercice 7

On sait que $\dfrac{1}{x} > x$ . Laquelle des valeurs suivantes peut être $x$ ?

$2$
$-\dfrac{1}{2}$
$1$
$\dfrac{1}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{1}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}x &= \tfrac{1}{3} : \; \tfrac{1}{x} \\ &= 3 > \tfrac{1}{3}\end{aligned}

Vrai.

\begin{aligned}x &= -\tfrac{1}{2} : \; \tfrac{1}{x} \\ &= -2 < -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

Faux : entre $-1$ et $0$ , l'inverse plonge sous $x$ .

La bonne réponse : « $\dfrac{1}{3}$ ». Avec « $2$ », $\frac{1}{2} < 2$ . Avec « $1$ », $1 = 1$ : l'inégalité est stricte. « $-\dfrac{1}{2}$ » est le piège de la zone négative — l'inverse y est plus petit.

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Exercice 8

$0 < x < 1$ . Laquelle des expressions est nécessairement plus grande que $1$ ?

$x^2$
$\dfrac{1}{x}$
$\sqrt{x}$
$2x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{1}{x}$

Corrigé :

x < 1 \Rightarrow \tfrac{1}{x} > 1

Diviser $1$ par un nombre plus petit que $1$ donne plus que $1$ .

La bonne réponse : « $\dfrac{1}{x}$ ». « $x^2$ » et « $\sqrt{x}$ » restent entre $0$ et $1$ . « $2x$ » dépasse $1$ seulement si $x > \frac{1}{2}$ : avec $x = \frac{1}{4}$ , il vaut $\frac{1}{2}$ — pas « nécessairement ».

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Exercice 9

On sait que $-1 < x < 0$ . Rangez du plus petit au plus grand.

$\dfrac{1}{x}$
$x^2$
$x^3$
$x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\dfrac{1}{x}$ · $x$ · $x^3$ · $x^2$

Corrigé :

x = -\tfrac{1}{2}

un témoin dans la zone

\begin{aligned}\tfrac{1}{x} &= -2 < x \\ &= -\tfrac{1}{2} < x^3 \\ &= -\tfrac{1}{8} < x^2 \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

Entre $-1$ et $0$ , l'inverse s'éloigne de $0$ vers le bas, le cube remonte vers $0$ , et le carré passe du côté positif.

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Exercice 10

L'affirmation « si $x^2 > x$ , alors $x > 1$ » est-elle vraie ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}x &= -1 : \; x^2 \\ &= 1 > -1\end{aligned}

un témoin négatif vérifie $x^2 > x$

-1 < 1

et pourtant $x$ n'est pas plus grand que $1$

Faux. $x^2 > x$ est vrai pour $x > 1$ et pour tout $x < 0$ . Une seule zone oubliée suffit à faire tomber l'affirmation.

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Exercice 11

$x$ est un nombre positif, différent de $1$ . Dans quelle zone chaque inégalité est-elle vraie ?

Entre 0 et 1
Au-delà de 1

$\dfrac{1}{x} < x$
$\dfrac{1}{x} > 1$
$\sqrt{x} < x$
$\sqrt{x} > x$
$x^2 < x$
$x^3 > x^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x^2 < x$ — Entre 0 et 1 · $\sqrt{x} < x$ — Au-delà de 1 · $\dfrac{1}{x} > 1$ — Entre 0 et 1 · $x^3 > x^2$ — Au-delà de 1 · $\sqrt{x} > x$ — Entre 0 et 1 · $\dfrac{1}{x} < x$ — Au-delà de 1

Corrigé :

\begin{aligned}x &= \tfrac{1}{4} : \; x^2 \\ &= \tfrac{1}{16} \\ \; \sqrt{x} &= \tfrac{1}{2} \\ \; \tfrac{1}{x} &= 4\end{aligned}

un témoin entre $0$ et $1$

\begin{aligned}x &= 4 : \; x^2 \\ &= 16 \\ \; \sqrt{x} &= 2 \\ \; \tfrac{1}{x} &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

un témoin au-delà de $1$

Entre $0$ et $1$ , les puissances rapetissent et la racine et l'inverse grandissent ; au-delà de $1$ , c'est le miroir.

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Exercice 12

$x = \frac{1}{4}$ . Combien vaut $\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\begin{aligned}\sqrt{x} &= \tfrac{1}{2} \\ \quad x^2 &= \tfrac{1}{16}\end{aligned}

la racine agrandit, le carré rapetisse

\begin{aligned}\frac{1}{2} : \frac{1}{16} &= \frac{1}{2} \times 16 \\ &= 8\end{aligned}

$8$ . Diviser par un nombre plus petit que $1$ , c'est agrandir.

Vérifier la réponse sur elev

Quatre zones, trois frontières

Entre 0 et 1 : tout s'inverse

Du côté des négatifs

La méthode des nombres témoins

Exercices

La suite se pratique sur elev