On résout ensemble · Nombres · Psychométriques

Cinq questions, une par grande forme du chapitre : les consécutifs, les signes, l'ordre des opérations, et deux questions de zones sur la droite des nombres.

Chacune se résout avec vous. Trois questions proposent, à chaque pas, deux ou trois gestes : un mauvais choix explique pourquoi il est mauvais — souvent, c'est lui qui fabrique un distracteur.

Les deux autres vous font essayer vous-même les nombres, comme on le fait au brouillon.

Avant de cliquer, dites le geste à voix basse. C'est l'écart entre votre réflexe et le bon geste qui vous apprend quelque chose.

1. Trois consécutifs, et un « nécessairement »

2. Des lettres dont on ne connaît que le signe

Activité interactive

$a < 0 < b$ . Laquelle des expressions est nécessairement négative ?

$a^2 b$

$ab^2$

$\dfrac{b}{a^2}$

$-ab$

Que fait-on des lettres ?

On choisit des valeurs, $a = -1$ et $b = 1$ .

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Possible, mais $1$ et $-1$ sont des frontières : ils cachent souvent les différences. Ici, les signes suffisent.

On remplace chaque lettre par son signe.

Voir la réponse et le corrigé

On ne connaît que les signes — et c'est tout ce que la question demande.

a \to (-), \qquad b \to (+)

Chaque expression devient un compte de signes.

Que vaut le signe d'un carré, $a^2$ ou $b^2$ ?

Celui de la lettre.

Voir la réponse et le corrigé

Un carré est un produit de deux facteurs identiques : deux négatifs donnent un positif.

Toujours positif.

Voir la réponse et le corrigé

Pour un nombre non nul, oui — quel que soit son signe.

a^2 > 0, \qquad b^2 > 0

Les carrés ne comptent plus : seules les lettres sans exposant pair décident.

Il reste à compter. Quelle expression contient un nombre impair de négatifs ?

$ab^2$ : un seul négatif, $a$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui : $(-) \times (+) = (-)$ .

$-ab$ : deux signes moins.

Voir la réponse et le corrigé

Deux négatifs, $-$ et $a$ : le résultat est positif. $-ab$ est l'opposé de $ab$ , qui est négatif.

ab^2 = (-) \times (+) < 0

La seule expression toujours négative.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $ab^2$ ». « $a^2 b$ » et « $\dfrac{b}{a^2}$ » sont positifs : le carré efface le signe de $a$ . « $-ab$ » est positif : c'est l'opposé d'un produit négatif.

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3. Le rang des opérations

Activité interactive

Combien vaut $2 - 6 : 2 \times 3 + 4^2 : 8$ ?

$-5$

$3$

$-4$

$-9$

Par quoi commence-t-on ?

$2 - 6$ : c'est le premier à gauche.

Voir la réponse et le corrigé

La soustraction est au dernier rang. C'est ce geste qui fabrique « $-4$ ».

La puissance $4^2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Pas de parenthèses : les puissances passent en premier.

$2 \times 3$ : la multiplication d'abord.

Voir la réponse et le corrigé

La multiplication n'a pas priorité sur la division, et il y a de toute façon une puissance à faire avant.

2 - 6 : 2 \times 3 + 16 : 8

$4^2 = 16$ .

Ensuite, dans $6 : 2 \times 3$ ?

$2 \times 3$ d'abord : la multiplication passe avant la division.

Voir la réponse et le corrigé

Même rang : c'est la place qui décide. Ce geste donne $6 : 6 = 1$ , et mène à « $3$ ».

De gauche à droite : $6 : 2$ , puis $\times 3$ .

Voir la réponse et le corrigé

La division est à gauche, elle passe la première.

2 - 9 + 16 : 8

$6 : 2 = 3$ , puis $3 \times 3 = 9$ .

Et $16 : 8$ ?

On le fait maintenant.

Voir la réponse et le corrigé

Une division reste prioritaire sur l'addition et la soustraction.

On calcule d'abord $2 - 9 + 16$ , puis on divise par $8$ .

Voir la réponse et le corrigé

Ce serait mettre $2 - 9 + 16$ entre parenthèses : la division ne porte que sur $16$ .

2 - 9 + 2

$16 : 8 = 2$ .

Pour finir ?

$9 + 2 = 11$ d'abord, puis $2 - 11$ .

Voir la réponse et le corrigé

Addition et soustraction ont le même rang : de gauche à droite. Ce geste donne « $-9$ ».

De gauche à droite : $2 - 9 = -7$ , puis $-7 + 2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Même rang, donc la place décide.

-5

$-7 + 2 = -5$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $-5$ ». Chaque distracteur est une règle de rang oubliée : « $3$ » fait la multiplication avant la division, « $-4$ » commence par $2 - 6$ , « $-9$ » fait l'addition avant la soustraction.

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4. La plus grande, entre 0 et 1

Activité interactive

$0 < x < 1$ . Laquelle des expressions a la plus grande valeur ?

$x$

$x^2$

$\sqrt{x}$

$x^3$

Quelle stratégie ?

Essayer $x = 1$ .

Voir la réponse et le corrigé

$1$ est une frontière : les quatre expressions y valent $1$ . Le témoin ne sépare rien — et il n'est même pas dans la zone.

Choisir un témoin dans la zone.

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Un nombre simple strictement entre $0$ et $1$ .

Réciter « le carré agrandit ».

Voir la réponse et le corrigé

C'est vrai au-delà de $1$ , et faux ici — exactement le réflexe que la question vise.

x = \tfrac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ plutôt que $\frac{1}{2}$ : sa racine tombe juste.

Que valent les quatre propositions avec $x = \frac{1}{4}$ ?

$x^2 = \frac{1}{2}$ , $x^3 = \frac{3}{4}$ , $\sqrt{x} = \frac{1}{8}$

Voir la réponse et le corrigé

C'est confondre « au carré » et « fois deux ». $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}$ .

$x^2 = \frac{1}{16}$ , $x^3 = \frac{1}{64}$ , $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

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Une part d'une part rapetisse ; la racine agrandit.

\begin{aligned}x^3 &= \tfrac{1}{64} < x^2 \\ &= \tfrac{1}{16} < x \\ &= \tfrac{1}{4} < \sqrt{x} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

L'ordre entier de la zone, lu sur un seul témoin.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $\sqrt{x}$ ». Entre $0$ et $1$ , les puissances rapetissent : « $x^3$ » est la plus petite, pas la plus grande. « $x$ » serait la bonne réponse si l'on cherchait la plus grande parmi $x$ , $x^2$ , $x^3$ seulement.

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5. Une inégalité, et deux zones

Et maintenant, seul

Après chaque question résolue avec vous, deux questions de la même forme vous attendaient, à résoudre seul.

Le jeu « Signe éclair », juste après, entraîne les réflexes de signe et de parité. Les cinq séries reprennent ensuite tout le chapitre au format de l'examen.

Exercices

Exercice 1

$p$ , $q$ , $r$ et $s$ sont quatre entiers consécutifs, avec $p < q < r < s$ . Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

$p + q + r + s$ est impair
$s - p = 4$
$pqrs$ est impair
$p + s = q + r$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $p + s = q + r$

Corrigé :

\begin{aligned}q &= p + 1 \\ \; r &= p + 2 \\ \; s &= p + 3\end{aligned}

Une seule lettre.

\begin{aligned}p + s &= 2p + 3 \\ &= q + r\end{aligned}

Vrai pour tout $p$ .

La bonne réponse : « $p + s = q + r$ ». La somme des quatre vaut $4p + 6$ : toujours paire. L'écart $s - p$ vaut $3$ , pas $4$ — on compte les pas, pas les nombres. Et quatre consécutifs contiennent deux pairs : le produit est pair.

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Exercice 2

$a > 0 > b$ . Laquelle des expressions est nécessairement positive ?

$a^2 b$
$a + b$
$\dfrac{a}{b^2}$
$ab$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{a}{b^2}$

Corrigé :

b^2 > 0

Le carré efface le signe de $b$ .

\frac{a}{b^2} = \frac{(+)}{(+)} > 0

La bonne réponse : « $\dfrac{a}{b^2}$ ». « $ab$ » et « $a^2 b$ » contiennent un seul négatif, $b$ : ils sont négatifs. « $a + b$ » dépend des valeurs : $a = 1$ , $b = -5$ donne $-4$ .

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Exercice 3

Combien vaut $18 - 12 : 3 \times 2 + 2^3 : 4$ ?

$12$
$6$
$8$
$18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $12$

Corrigé :

18 - 12 : 3 \times 2 + 8 : 4

La puissance.

18 - 8 + 2

$12 : 3 \times 2 = 8$ de gauche à droite, et $8 : 4 = 2$ .

= 12

De gauche à droite.

La bonne réponse : « $12$ ». « $18$ » fait la multiplication avant la division : $12 : 6 = 2$ . « $8$ » fait l'addition avant la soustraction : $18 - 10$ . « $6$ » commence par $18 - 12$ .

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Exercice 4

$x > 1$ . Laquelle des expressions a la plus grande valeur ?

$x^2$
$x^3$
$\dfrac{1}{x}$
$\sqrt{x}$

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Réponse : B $x^3$

Corrigé :

x = 4

Un témoin au-delà de $1$ , dont la racine tombe juste.

\begin{aligned}\tfrac{1}{x} &= \tfrac{1}{4} < \sqrt{x} \\ &= 2 < x^2 \\ &= 16 < x^3 \\ &= 64\end{aligned}

Au-delà de $1$ , les puissances grandissent.

La bonne réponse : « $x^3$ ». C'est le miroir de la question 4 : au-delà de $1$ , plus l'exposant est grand, plus le résultat est grand. « $\dfrac{1}{x}$ » est au contraire la plus petite.

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Exercice 5

$x$ est un nombre tel que $x^2 > x$ . Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

$x$ n'est pas compris entre $0$ et $1$
$x > 1$
$x < 0$
$x^3 > x$

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Réponse : A $x$ n'est pas compris entre $0$ et $1$

Corrigé :

x = -\tfrac{1}{2} : \; \tfrac{1}{4} > -\tfrac{1}{2} \;\checkmark

Tout négatif convient : son carré est positif.

\begin{aligned}x &= \tfrac{1}{2} : \; \tfrac{1}{4} > \tfrac{1}{2} \;\times \qquad x \\ &= 2 : \; 4 > 2 \;\checkmark\end{aligned}

Les solutions : $x < 0$ ou $x > 1$ .

La bonne réponse : « $x$ n'est pas compris entre $0$ et $1$ ». « $x > 1$ » et « $x < 0$ » ne décrivent qu'une des deux zones. « $x^3 > x$ » est faux pour $x = -2$ : $-8 < -2$ .

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Exercice 6

$n$ est un entier. L'affirmation « $n(n + 1)(n + 2)$ est divisible par $6$ » est-elle vraie pour tout $n$ ?

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Réponse : Vrai

Corrigé :

n, \; n + 1, \; n + 2

trois entiers consécutifs

2 \mid n(n + 1)(n + 2), \quad 3 \mid n(n + 1)(n + 2)

l'un des trois est pair, l'un des trois est multiple de $3$

6 = 2 \times 3

divisible par $2$ et par $3$ , donc par $6$

Vrai, pour tout $n$ : $1 \times 2 \times 3 = 6$ , $2 \times 3 \times 4 = 24$ , $5 \times 6 \times 7 = 210$ . Ici, essayer ne suffit pas à prouver : c'est le raisonnement en lettres qui tient pour tous.

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Exercice 7

Combien vaut $(-1)^{1} + (-1)^{2} + (-1)^{3} + \ldots + (-1)^{25}$ ?

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Réponse : -1

Corrigé :

\begin{aligned}(-1)^{1} + (-1)^{2} &= -1 + 1 \\ &= 0\end{aligned}

les termes s'annulent deux par deux

12 \times 0 + (-1)^{25} = -1

douze paires, et le dernier terme reste seul, d'exposant impair

$-1$ . Vingt-cinq termes : douze paires nulles, et un $(-1)^{25} = -1$ de trop.

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Exercice 8

Combien vaut $24 : 4 \times 2 - 3^2$ ?

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Réponse : 3

Corrigé :

24 : 4 \times 2 - 9

la puissance d'abord

\begin{aligned}6 \times 2 - 9 &= 12 - 9 \\ &= 3\end{aligned}

puis de gauche à droite : $24 : 4$ avant $\times 2$

$3$ . Le distracteur fait $4 \times 2$ d'abord : $24 : 8 - 9 = -6$ .

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Exercice 9

On sait que $-1 < x < 0$ . Rangez chaque expression selon son signe.

Positive
Négative

$-x$
$\dfrac{1}{x}$
$x - x^2$
$x^2$
$x^3$
$x^4$

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Réponse : $x^2$ — Positive · $x^3$ — Négative · $\dfrac{1}{x}$ — Négative · $-x$ — Positive · $x^4$ — Positive · $x - x^2$ — Négative

Corrigé :

x = -\tfrac{1}{2}

un témoin dans la zone

\begin{aligned}x^2 &= \tfrac{1}{4} \\ \; x^3 &= -\tfrac{1}{8} \\ \; \tfrac{1}{x} &= -2 \\ \; -x &= \tfrac{1}{2} \\ \; x^4 &= \tfrac{1}{16}\end{aligned}

\begin{aligned}x - x^2 &= -\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} \\ &= -\tfrac{3}{4}\end{aligned}

un négatif moins un positif

Les exposants pairs donnent du positif, les impairs gardent le signe. L'inverse aussi garde le signe.

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Exercice 10

$x$ est un nombre tel que $\dfrac{1}{x} < x$ . Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

$x^2 > 1$
$x > 1$
$x > 0$
$x > -1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x > -1$

Corrigé :

\begin{aligned}x &= -2 : \; -\tfrac{1}{2} < -2 \; \times \qquad x \\ &= -\tfrac{1}{2} : \; -2 < -\tfrac{1}{2} \; \checkmark\end{aligned}

un témoin par zone, du côté négatif

\begin{aligned}x &= \tfrac{1}{2} : \; 2 < \tfrac{1}{2} \; \times \qquad x \\ &= 2 : \; \tfrac{1}{2} < 2 \; \checkmark\end{aligned}

puis du côté positif

-1 < x < 0 \;\text{ ou }\; x > 1

les solutions : deux zones

La bonne réponse : « $x > -1$ », vraie dans les deux zones. « $x > 1$ » et « $x > 0$ » oublient la zone entre $-1$ et $0$ ; « $x^2 > 1$ » est faux pour $x = -\frac{1}{2}$ .

Vérifier la réponse sur elev

1. Trois consécutifs, et un « nécessairement »

2. Des lettres dont on ne connaît que le signe

3. Le rang des opérations

4. La plus grande, entre 0 et 1

5. Une inégalité, et deux zones

Et maintenant, seul

Exercices

La suite se pratique sur elev