Le signe se compte · Nombres · Psychométriques

« Moins par moins donne plus » : tout le monde connaît la règle. Ce n'est pourtant pas elle que l'examen teste.

Il pose un produit de cinq facteurs, une puissance d'un négatif, ou deux lettres dont on ne connaît que le signe. Et il demande seulement le signe du résultat.

Ce signe ne se devine pas. Il se compte.

Chaque négatif retourne le résultat

Multiplier par un nombre négatif, c'est retourner le signe. Deux retournements s'annulent ; un troisième retourne de nouveau.

Retournez vous-même les facteurs ci-dessous, un clic par facteur, et regardez le résultat basculer.

(-) \times (-) = (+)

Un nombre pair de facteurs négatifs : le produit est positif.

(-) \times (-) \times (-) = (-)

Un nombre impair de facteurs négatifs : le produit est négatif.

La division suit exactement la multiplication : $\frac{-12}{-3} = 4$ et $\frac{-12}{3} = -4$ . Et un seul facteur nul rend tout le produit égal à $0$ — un nombre qui n'a pas de signe du tout.

Quel est le signe de $(-1) \times 2 \times (-3) \times 4 \times (-5) \times 6$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Négatif : trois facteurs négatifs, un nombre impair. Inutile de calculer $720$ — le compte suffit.

Les puissances de négatifs

Une puissance est un produit de facteurs identiques. $(-2)^5$ , ce sont cinq facteurs $(-2)$ : le nombre de négatifs est l'exposant lui-même.

Multipliez ci-dessous, et regardez les facteurs se ranger par paires.

(-3)^4 = 81

Exposant pair : positif, quel que soit le signe de la base.

(-3)^3 = -27

Exposant impair : la puissance garde le signe de la base.

Que vaut $(-1)^{2027}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$-1$ : l'exposant $2027$ est impair. Les puissances de $-1$ ne valent que $1$ ou $-1$ , et seule la parité de l'exposant décide.

Le piège des parenthèses

$-3^2$ et $(-3)^2$ ne sont pas le même nombre.

Sans parenthèses, la puissance ne voit que le $3$ : $-3^2 = -(3^2) = -9$ . Avec parenthèses, le signe entre dans la puissance : $(-3)^2 = 9$ .

Épluchez ce calcul, une opération par clic. Les trois distracteurs de la question sont écrits dans le bilan.

Que vaut $-2^4$ ? Et $(-2)^4$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$-2^4 = -16$ : la puissance ne voit que le $2$ . $(-2)^4 = 16$ : quatre facteurs négatifs, un nombre pair.

Des lettres dont on ne connaît que le signe

La forme la plus fréquente : « $a < 0$ et $b > 0$ . Laquelle des expressions est nécessairement positive ? »

On ne connaît aucune valeur, et on n'en a pas besoin. On remplace chaque lettre par son signe, puis on compte.

Un signe moins devant une lettre ne dit rien du signe du nombre.

-a < 0

-a > 0 \;\text{ si }\; a < 0

$-a$ se lit « l'opposé de $a$ », pas « un nombre négatif ». Si $a = -5$ , alors $-a = 5$ .

Quand on ne sait pas si une lettre est positive ou négative, deux essais suffisent pour faire tomber un « nécessairement » : un nombre positif, puis un négatif. La page « Le laboratoire du x » en fait une méthode.

Exercices

Exercice 1

Combien vaut $(-3) \times (-5) \times 2 \times (-1) \times (-4)$ ?

$120$
$-120$
$-60$
$60$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $120$

Corrigé :

4 \text{ facteurs négatifs}

Quatre facteurs négatifs : un nombre pair, le produit est positif.

3 \times 5 \times 2 \times 1 \times 4 = 120

La valeur se calcule sans les signes.

La bonne réponse : « $120$ ». « $-120$ » oublie un des quatre facteurs négatifs en les comptant ; « $60$ » et « $-60$ » oublient le facteur $2$ . Le signe d'abord, en comptant ; la valeur ensuite, sans les signes.

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Exercice 2

$a < 0$ et $b < 0$ . Laquelle des expressions est nécessairement négative ?

$a + b$
$ab$
$a^2 + b$
$\dfrac{a}{b}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a + b$

Corrigé :

a + b < 0

Deux négatifs ajoutés restent négatifs : on descend deux fois sous $0$ .

\begin{aligned}a &= -3 \\ \; b &= -1 : \; a^2 + b \\ &= 8\end{aligned}

Un contre-exemple suffit contre « $a^2 + b$ » : il peut être positif.

La bonne réponse : « $a + b$ ». « $ab$ » et « $\dfrac{a}{b}$ » sont toujours positifs — deux négatifs. « $a^2 + b$ » dépend des valeurs : positif avec $a = -3$ , $b = -1$ , négatif avec $a = -1$ , $b = -3$ .

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Exercice 3

Combien vaut $-3^2 - (-3)^2$ ?

$-9$
$0$
$-18$
$18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $-18$

Corrigé :

-3^2 = -9

Sans parenthèses, la puissance ne porte que sur le $3$ .

(-3)^2 = 9

Avec parenthèses, le signe entre dans le carré.

-9 - 9 = -18

La bonne réponse : « $-18$ ». « $0$ » vient d'une seule confusion : lire $-3^2$ comme $9$ , ou $(-3)^2$ comme $-9$ . « $18$ » vient des deux confusions à la fois : $9 - (-9)$ . « $-9$ » s'arrête au premier terme.

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Exercice 4

$x \ne 0$ . Laquelle des expressions a nécessairement le même signe que $x$ ?

$x^4$
$x^2$
$-x$
$x^3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x^3$

Corrigé :

x^3 = x \times x^2

$x^2$ est positif, donc $x^3$ a le signe de $x$ : un exposant impair garde le signe.

La bonne réponse : « $x^3$ ». « $x^2$ » et « $x^4$ » sont toujours positifs — faux dès que $x$ est négatif. « $-x$ » a toujours le signe contraire.

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Exercice 5

Le produit de six nombres non nuls est négatif. Combien d'entre eux, au plus, sont négatifs ?

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Réponse : D $5$

Corrigé :

\text{produit négatif} \iff \text{nombre impair de négatifs}

Le compte des négatifs est impair : $1$ , $3$ ou $5$ .

5

Le plus grand impair qui ne dépasse pas $6$ .

La bonne réponse : « $5$ ». « $6$ » donnerait un produit positif — six négatifs vont par paires. « $3$ » et « $1$ » sont possibles, mais la question demande le maximum.

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Exercice 6

$\dfrac{a}{b} < 0$ et $b > 0$ . Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

$a + b < 0$
$a < 0$
$a^2 b < 0$
$ab > 0$

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Réponse : B $a < 0$

Corrigé :

\frac{a}{b} < 0 \text{ et } b > 0 \Rightarrow a < 0

Un quotient négatif a ses deux termes de signes contraires.

La bonne réponse : « $a < 0$ ». « $ab > 0$ » est faux : $a$ et $b$ ont des signes contraires, leur produit est négatif. « $a + b < 0$ » dépend des valeurs ( $a = -1$ , $b = 5$ donne $4$ ). « $a^2 b < 0$ » est faux : $a^2 b$ est positif.

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Exercice 7

Combien vaut $(-1)^{101} + (-1)^{100}$ ?

$1$
$0$
$-2$
$2$

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Réponse : B $0$

Corrigé :

(-1)^{101} = -1

Exposant impair : le signe reste.

(-1)^{100} = 1

Exposant pair : positif.

-1 + 1 = 0

La bonne réponse : « $0$ ». « $2$ » traite les deux puissances comme positives, « $-2$ » les deux comme négatives. « $1$ » ne garde qu'un terme. Seule la parité de l'exposant compte : $101$ est impair, $100$ est pair.

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Exercice 8

$a$ et $b$ sont deux nombres non nuls de signes contraires. Laquelle des expressions est nécessairement positive ?

$a - b$
$a + b$
$ab$
$-ab$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $-ab$

Corrigé :

ab < 0

Signes contraires : le produit est négatif.

-ab > 0

L'opposé d'un négatif est positif.

La bonne réponse : « $-ab$ ». « $ab$ » est toujours négatif. « $a + b$ » et « $a - b$ » dépendent de qui est positif et de combien : avec $a = 2$ , $b = -5$ , $a + b = -3$ ; avec $a = -2$ , $b = 5$ , $a - b = -7$ .

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Exercice 9

Combien vaut $(-2)^3 \times (-1)^4 - (-3)^2$ ?

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Réponse : -17

Corrigé :

\begin{aligned}(-2)^3 &= -8 \\ \quad (-1)^4 &= 1 \\ \quad (-3)^2 &= 9\end{aligned}

exposant impair : négatif ; exposant pair : positif

-8 \times 1 - 9 = -17

$-17$ . Le piège : lire $-(-3)^2$ comme $+9$ . Le carré vaut $9$ , et le signe moins devant le retire.

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Exercice 10

$a < 0$ . L'affirmation « $-a^2$ est positif » est-elle vraie ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

-a^2 = -(a^2)

la puissance passe avant le signe moins

\begin{aligned}a &= -3 : \; -a^2 \\ &= -9 < 0\end{aligned}

un essai le confirme

Faux. $a^2$ est positif, donc $-a^2$ est négatif, quel que soit le signe de $a$ . C'est $(-a)^2$ qui serait positif.

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Exercice 11

On sait que $a < 0 < b$ . Rangez chaque expression selon son signe.

Toujours positive
Toujours négative

$-a$
$(ab)^2$
$\dfrac{b}{a}$
$a - b$
$a^2 b$
$a^3 b^2$
$ab$
$b - a$

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Réponse : $a^2 b$ — Toujours positive · $ab$ — Toujours négative · $-a$ — Toujours positive · $a^3 b^2$ — Toujours négative · $\dfrac{b}{a}$ — Toujours négative · $(ab)^2$ — Toujours positive · $b - a$ — Toujours positive · $a - b$ — Toujours négative

Corrigé :

a \to (-), \quad b \to (+)

on remplace chaque lettre par son signe

\begin{aligned}a^3 b^2 &= (-) \times (+) \\ &= (-)\end{aligned}

exposant impair : $a^3$ garde le signe de $a$

b - a = b + (-a) > 0

retirer un négatif, c'est ajouter

Quatre positives ( $a^2 b$ , $-a$ , $(ab)^2$ , $b - a$ ) et quatre négatives ( $ab$ , $a^3 b^2$ , $\frac{b}{a}$ , $a - b$ ). Comptez les négatifs : un carré n'en apporte aucun.

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Exercice 12

Rangez ces nombres du plus petit au plus grand.

$-(-2)^2$
$-2^4$
$(-2)^2$
$(-2)^3$
$(-2)^4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $-2^4$ · $(-2)^3$ · $-(-2)^2$ · $(-2)^2$ · $(-2)^4$

Corrigé :

\begin{aligned}-2^4 &= -16 \\ \quad (-2)^3 &= -8 \\ \quad -(-2)^2 &= -4\end{aligned}

les trois négatifs

\begin{aligned}(-2)^2 &= 4 \\ \quad (-2)^4 &= 16\end{aligned}

les deux positifs : exposants pairs

$-16 < -8 < -4 < 4 < 16$ . Sans parenthèses, $-2^4$ est le plus petit : la puissance ne voit que le $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Chaque négatif retourne le résultat

Les puissances de négatifs

Le piège des parenthèses

Des lettres dont on ne connaît que le signe

Exercices

La suite se pratique sur elev