Le laboratoire du x
« Si , laquelle des expressions suivantes est la plus grande ? » Cette question revient sous dix habits. Elle ne demande aucun calcul. Elle demande de…
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Transcription
« Si 0 < x < 1, laquelle des expressions suivantes est la plus grande ? » Cette question revient sous dix formes à l'examen. Elle ne demande aucun calcul : elle exige de savoir où tombent x au carré, x au cube, racine de x et 1 sur x quand x change de zone. La droite des nombres se coupe en quatre zones par trois frontières : -1, 0 et 1. Dans une même zone, les expressions gardent toujours le même ordre.
Elles ne se croisent qu'en passant une frontière. Au-delà de 1, le carré agrandit : 3 au carré égale 9. Entre 0 et 1, c'est l'inverse : élever au carré revient à prendre une fraction d'une part. Un demi au carré égale un quart.
La racine fait le chemin inverse et agrandit : racine de un quart égale un demi. 0 < x < 1. Lequel est le plus grand : x au carré ou racine de x ?
Racine de x. Avec le témoin x égale 1 sur 4 : x au carré égale 1 sur 16 et racine de x égale 1 sur 2. Entre 0 et 1, le carré diminue et la racine augmente. Attention au piège de l'intuition du côté des négatifs. Pour un nombre négatif, le carré saute de l'autre côté de 0 et devient positif. Le cube garde son signe négatif, mais entre -1 et 0, il remonte vers 0 :
(-0,5) au cube égale -0,125, qui est plus grand que -0,5. -1 < x < 0. Rangez x, x au carré et x au cube du plus petit au plus grand.
x < x au cube < x au carré. Avec x égale -0,5 : x vaut -0,5, x au cube vaut -0,125 et x au carré vaut 0,25. Le carré est positif, tandis que le cube reste négatif mais plus près de 0 que x. À l'examen, on ne récite pas : on teste un nombre témoin. Mais évitez le piège absolu :
ne choisissez jamais une frontière comme 1, 0 ou -1. À x égale 1, toutes les expressions valent 1 : le témoin ne sépare aucune proposition. Face au mot « nécessairement », un témoin ne prouve rien mais suffit à éliminer une proposition fausse. Si l'énoncé ne donne aucune zone, testez un témoin par zone :
quatre calculs simples suffisent pour éliminer tous les pièges. Retenez la règle : les expressions ne se croisent qu'aux frontières -1, 0 et 1. Choisissez un témoin simple au cœur de chaque zone, jamais sur la frontière.