Série 2 — dix questions · Nombres · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de la série et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Chaque corrigé nomme la bonne réponse, puis les autres avec l'erreur précise qui les fabrique : à l'examen, aucun distracteur n'est tiré au hasard.

Un seul réflexe à installer dans cette série : le signe d'abord, la valeur ensuite. Comptez les négatifs avant de calculer quoi que ce soit — la moitié des propositions tombent sur le signe seul.

Exercices

Exercice 1

Combien vaut $(-2) \times (-3) \times (-1) \times 5$ ?

$1$
$30$
$-1$
$-30$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $-30$

Corrigé :

3 \text{ facteurs négatifs}

Impair : le produit est négatif.

2 \times 3 \times 1 \times 5 = 30

La bonne réponse : « $-30$ ». « $30$ » perd un facteur négatif dans le compte. « $-1$ » et « $1$ » additionnent au lieu de multiplier : $-2 - 3 - 1 + 5 = -1$ .

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Exercice 2

Combien vaut $\dfrac{(-12) \times 3}{(-4) \times (-9)}$ ?

$1$
$-1$
$3$
$-3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $-1$

Corrigé :

\frac{(-12) \times 3}{(-4) \times (-9)} = \frac{-36}{36}

En haut, un négatif ; en bas, deux : positif.

= -1

La bonne réponse : « $-1$ ». « $1$ » se trompe dans le compte : il y a trois facteurs négatifs, deux en bas et un en haut — un nombre impair. « $-3$ » et « $3$ » ne simplifient qu'une paire, $\frac{-12}{-4} = 3$ , et oublient l'autre, $\frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}$ .

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Exercice 3

Combien vaut $(-1)^7 - (-1)^8$ ?

$-2$
$2$
$-1$
$0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $-2$

Corrigé :

\begin{aligned}(-1)^7 &= -1 \\ \qquad (-1)^8 &= 1\end{aligned}

Impair, puis pair.

-1 - 1 = -2

La bonne réponse : « $-2$ ». « $0$ » donne le même signe aux deux puissances. « $2$ » inverse les deux. « $-1$ » ne garde que le premier terme.

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Exercice 4

Combien vaut $-4^2 + 3 \times (-2)^2$ ?

$4$
$28$
$-28$
$-4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $-4$

Corrigé :

-4^2 = -16

Sans parenthèses, le carré ne porte que sur le $4$ .

\begin{aligned}3 \times (-2)^2 &= 3 \times 4 \\ &= 12\end{aligned}

Avec parenthèses, le carré est positif.

-16 + 12 = -4

La bonne réponse : « $-4$ ». « $28$ » lit $-4^2$ comme $16$ . « $-28$ » lit $(-2)^2$ comme $-4$ . « $4$ » fait les deux erreurs : $16 - 12$ .

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Exercice 5

$x < 0$ . Laquelle des expressions est nécessairement positive ?

$x^3$
$x^4$
$2x$
$-x^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x^4$

Corrigé :

x^4 = (x^2)^2 > 0

Exposant pair, base non nulle.

La bonne réponse : « $x^4$ ». « $x^3$ » et « $2x$ » gardent le signe de $x$ : négatifs. « $-x^2$ » est le piège de l'écriture : le carré est positif, et le signe moins devant le rend négatif — c'est $-(x^2)$ , pas $(-x)^2$ .

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Exercice 6

$ab < 0$ et $a > b$ . Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

$a^2 < b^2$
$a > 0$
$a + b > 0$
$b > 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $a > 0$

Corrigé :

ab < 0

$a$ et $b$ sont de signes contraires.

a > b \;\Rightarrow\; a > 0 > b

Le plus grand des deux est le positif.

La bonne réponse : « $a > 0$ ». « $b > 0$ » met le positif du mauvais côté. « $a + b > 0$ » et « $a^2 < b^2$ » dépendent des tailles : $a = 1$ , $b = -5$ donne $a + b = -4$ et $a^2 = 1 < 25$ ; $a = 5$ , $b = -1$ donne l'inverse.

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Exercice 7

On sait que $a^2 b < 0$ . Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

$a < 0$
$a + b < 0$
$ab < 0$
$b < 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $b < 0$

Corrigé :

a^2 > 0

$a$ n'est pas nul — sinon le produit vaudrait $0$ — et son carré est positif.

a^2 b < 0 \;\Rightarrow\; b < 0

Seul $b$ peut porter le signe moins.

La bonne réponse : « $b < 0$ ». « $a < 0$ » : le carré efface le signe de $a$ , qui peut être positif ou négatif. « $ab < 0$ » n'est vrai que si $a > 0$ . « $a + b < 0$ » : $a = 10$ , $b = -1$ donne $9$ .

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Exercice 8

$x$ et $y$ sont deux nombres négatifs. Laquelle des expressions peut être égale à $0$ ?

$x - y$
$\dfrac{x}{y}$
$x + y$
$xy$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x - y$

Corrigé :

\begin{aligned}x &= y \\ &= -3 : \; x - y \\ &= 0\end{aligned}

Un seul exemple suffit pour « peut ».

La bonne réponse : « $x - y$ ». « $xy$ » et « $\dfrac{x}{y}$ » sont positifs : deux négatifs, jamais $0$ . « $x + y$ » est négatif : deux pas vers la gauche ne ramènent jamais à $0$ .

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Exercice 9

Le produit de $n$ facteurs, tous égaux à $-3$ , est positif. Laquelle des valeurs suivantes peut être $n$ ?

$8$
$7$
$5$
$11$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $8$

Corrigé :

(-3)^n > 0 \iff n \text{ pair}

Les facteurs négatifs doivent aller par paires.

La bonne réponse : « $8$ ». Le seul exposant pair des quatre. Avec $5$ , $7$ ou $11$ , il reste un $(-3)$ sans partenaire : le produit est négatif.

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Exercice 10

On sait que $\dfrac{a}{b} > 0$ et $a + b < 0$ . Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

$a$ et $b$ sont de signes contraires
$a < 0$ et $b < 0$
$ab < 0$
$a > 0$ et $b > 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $a < 0$ et $b < 0$

Corrigé :

\frac{a}{b} > 0

$a$ et $b$ ont le même signe.

a + b < 0

Deux positifs ne peuvent pas avoir une somme négative : ils sont tous deux négatifs.

La bonne réponse : « $a < 0$ et $b < 0$ ». « $a > 0$ et $b > 0$ » respecte le quotient mais donnerait une somme positive. « signes contraires » et « $ab < 0$ » contredisent le quotient positif.

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Exercice 11

Combien vaut $\dfrac{(-2)^5}{(-4)^2}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

\begin{aligned}(-2)^5 &= -32 \\ \quad (-4)^2 &= 16\end{aligned}

exposant impair en haut, pair en bas

\frac{-32}{16} = -2

$-2$ . Le signe d'abord : un négatif divisé par un positif.

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Exercice 12

$a$ et $b$ sont non nuls, et $ab > 0$ . L'affirmation « $\dfrac{a}{b} > 0$ » est-elle forcément vraie ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

ab > 0

$a$ et $b$ ont le même signe

\frac{(+)}{(+)} > 0, \quad \frac{(-)}{(-)} > 0

la division suit la règle de la multiplication

Vrai. Produit et quotient de deux nombres ont toujours le même signe.

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Exercices

La suite se pratique sur elev