Série 3 — La base commune

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui vous a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Le réflexe de la série : revenez à la base commune. Deux indices sur la même base se comparent et se moyennent directement ; un indice appliqué à une valeur qui n'est pas la base donne un faux nombre.

Ventes de deux kiosques du marché de Netanya, en pourcentage de leurs ventes de la semaine 1
Semaine 1sem. 1sem. 2sem. 3sem. 4sem. 5sem. 660 %70 %80 %90 %100 %110 %120 %130 %140 %150 %160 %Ventes, en % de la semaine 1
  • Kiosque de falafels
  • Kiosque à jus
La semaine 1, les deux kiosques ont vendu pour le même montant : les deux courbes se rapportent à ce montant commun. Les questions marquées « d'après le graphique » s'y réfèrent.

Exercices

Exercice 1

Deux agences de Tel-Aviv affichent le même voyage au même prix. La première accorde 12 %12\,\% de remise, la seconde 30 %30\,\%. Remises faites, l'écart entre les deux prix payés est de 540540 ₪. Quel est le prix affiché du voyage ?

  1. 3 0003\,000 ₪
  2. 1 8001\,800 ₪
  3. 2 1002\,100 ₪
  4. 4 5004\,500 ₪
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 3 0003\,000 ₪

Corrigé :

30−12=1830 - 12 = 18

les deux remises portent sur le même prix : l'écart vaut 18 % du prix affiché

5400,18=3 000\dfrac{540}{0{,}18} = 3\,000

le prix affiché

La bonne réponse : « 3 0003\,000 ₪ ». « 1 8001\,800 ₪ » attribue les 540540 ₪ à la seule remise de 30 %30\,\%. « 4 5004\,500 ₪ » attribue les 540540 ₪ à la seule remise de 12 %12\,\%. « 2 1002\,100 ₪ » est le prix payé à la seconde agence, 70 %70\,\% de 3 0003\,000 : la démarche est juste, la question est autre.

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Exercice 2

En janvier, le salaire de Dana a augmenté de 25 %25\,\%. En juillet, il a encore augmenté. Sur l'ensemble de l'année, son salaire a augmenté de 50 %50\,\%. De combien de pour cent a-t-il augmenté en juillet ?

  1. 20 %20\,\%
  2. 120 %120\,\%
  3. 1623 %16\tfrac{2}{3}\,\%
  4. 25 %25\,\%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 20 %20\,\%

Corrigé :

1,25×f=1,51{,}25 \times f = 1{,}5

+25 % en janvier, +50 % sur l'année : les hausses se multiplient

f=1,51,25=1,2\begin{aligned}f &= \dfrac{1{,}5}{1{,}25} \\ &= 1{,}2\end{aligned}

hausse de 20 %

La bonne réponse : « 20 %20\,\% ». « 25 %25\,\% » soustrait les pourcentages, 50−2550 - 25 : la hausse de juillet porte sur un salaire déjà augmenté. « 120 %120\,\% » garde le multiplicateur 1,21{,}2 sans retirer le 11 : c'est « augmenter à 120 %120\,\% ». « 1623 %16\tfrac{2}{3}\,\% » rapporte l'écart de 2525 points au salaire de fin d'année, 25150\frac{25}{150}, au lieu du salaire de juin, 125125.

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Exercice 3

En janvier, trois tablettes avaient le même prix. Ensuite, le prix de la tablette A a baissé de 10 %10\,\%, puis augmenté de 10 %10\,\%. Celui de la tablette B a augmenté de 10 %10\,\%, puis baissé de 10 %10\,\%. Celui de la tablette C a baissé de 1 %1\,\%. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

  1. On ne peut pas comparer sans les prix de janvier
  2. A coûte maintenant moins cher que B
  3. Les trois tablettes ont maintenant le même prix
  4. A et B coûtent autant qu'en janvier, C coûte moins
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Les trois tablettes ont maintenant le même prix

Corrigé :

A:0,9×1,1=0,99A : 0{,}9 \times 1{,}1 = 0{,}99

−10 % puis +10 % ; posez 100 : 100 → 90 → 99

B:1,1×0,9=0,99B : 1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99

l'ordre des facteurs ne change rien

C:1−0,01=0,99C : 1 - 0{,}01 = 0{,}99

une baisse simple de 1 %

La bonne réponse : « Les trois tablettes ont maintenant le même prix ». « A et B coûtent autant qu'en janvier, C coûte moins » croit qu'une baisse et une hausse de même taux s'annulent : A et B perdent 1 %1\,\%, comme C. « A coûte maintenant moins cher que B » croit que l'ordre des variations compte : 0,9×1,1=1,1×0,90{,}9 \times 1{,}1 = 1{,}1 \times 0{,}9. « On ne peut pas comparer sans les prix de janvier » oublie la base commune : les trois multiplicateurs suffisent pour comparer.

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Exercice 4

Dans un club, 40 %40\,\% des membres sont des adolescents, et 25 %25\,\% des adolescents font partie de l'équipe de natation. Tous les nageurs de l'équipe sont des adolescents du club. Le nombre de membres du club dépasse de 1 2601\,260 le nombre de nageurs de l'équipe. Combien le club compte-t-il de membres ?

  1. 3 6003\,600
  2. 1 3861\,386
  3. 1 4001\,400
  4. 12 60012\,600
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 1 4001\,400

Corrigé :

0,25×0,4=0,10{,}25 \times 0{,}4 = 0{,}1

les nageurs : 10 % des membres

N−0,1 N=0,9 N=1 260\begin{aligned}N - 0{,}1\,N &= 0{,}9\,N \\ &= 1\,260\end{aligned}

l'écart entre le tout et la part : le complément

N=1 400N = 1\,400

vérification : 1 400 − 140 = 1 260

La bonne réponse : « 1 4001\,400 ». « 3 6003\,600 » additionne les pourcentages, 65 %65\,\%, puis divise 1 2601\,260 par le complément, 0,350{,}35. « 12 60012\,600 » pose que les nageurs sont 1 2601\,260 : l'écart vaut N−0,1 NN - 0{,}1\,N, pas 0,1 N0{,}1\,N. « 1 3861\,386 » ajoute à 1 2601\,260 ses 10 %10\,\% au lieu de diviser par 0,90{,}9.

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Exercice 5

D'après le graphique, quelle semaine l'écart entre les montants vendus par les deux kiosques a-t-il été le plus grand ?

  1. La semaine 5
  2. La semaine 2
  3. La semaine 6
  4. La semaine 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B La semaine 2

Corrigé :

meˆme base  ⇒  eˊcart des montants∝eˊcart des courbes\text{même base} \;\Rightarrow\; \text{écart des montants} \propto \text{écart des courbes}

on mesure la distance entre les deux courbes

125−75=50125 - 75 = 50

semaine 2 : le plus grand écart

140−95=45150−115=35140−135=5\begin{aligned}140 - 95 &= 45 \\ \quad 150 - 115 &= 35 \\ \quad 140 - 135 &= 5\end{aligned}

semaines 4, 5 et 6

La bonne réponse : « La semaine 2 ». « La semaine 4 » est le pic du kiosque de falafels ; l'écart n'y est que de 4545 points. « La semaine 5 » est la semaine où le jus s'écarte le plus de 100 %100\,\% : on a mesuré l'écart à la semaine 1, pas l'écart entre les deux courbes. « La semaine 6 » est la semaine où les deux kiosques vendent le plus, mais presque autant l'un que l'autre : 55 points d'écart.

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Exercice 6

D'après le graphique, quelle semaine les deux kiosques ensemble ont-ils vendu pour le plus grand montant ?

  1. La semaine 2
  2. La semaine 5
  3. La semaine 6
  4. La semaine 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C La semaine 6

Corrigé :

total=base×a+b100\text{total} = \text{base} \times \dfrac{a + b}{100}

même base et même poids : le total suit la somme des deux indices

140+95=235115+150=265\begin{aligned}140 + 95 &= 235 \\ \quad 115 + 150 &= 265\end{aligned}

semaines 4 et 5

135+140=275135 + 140 = 275

semaine 6 : le maximum

La bonne réponse : « La semaine 6 ». « La semaine 2 » est la semaine du plus grand écart : un écart ne dit rien de la somme, ici 200200. « La semaine 4 » est le pic du kiosque de falafels seul : 235235 en tout. « La semaine 5 » est le pic du kiosque à jus seul : 265265 en tout, moins que 275275.

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Exercice 7

D'après le graphique, quelle est la première semaine où le kiosque à jus a réalisé plus de la moitié des ventes des deux kiosques réunis ?

  1. La semaine 5
  2. La semaine 2
  3. La semaine 6
  4. La semaine 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D La semaine 3

Corrigé :

j>12(j+f)  ⟺  j>fj > \tfrac{1}{2}(j + f) \iff j > f

plus de la moitié du total : plus que l'autre kiosque

sem. 2:75<125\text{sem. 2} : 75 < 125

même base : on compare les courbes

sem. 3:120>85\text{sem. 3} : 120 > 85

la première fois

La bonne réponse : « La semaine 3 ». « La semaine 2 » confond « plus de la moitié du total » avec « plus de 50 %50\,\% des ventes du falafel » : en semaine 2, 7575 vaut 60 %60\,\% de 125125. « La semaine 5 » prend la semaine où le jus vend le plus, sans le comparer au falafel. « La semaine 6 » lit les semaines à rebours : la semaine 6 est la dernière où la courbe du jus passe au-dessus.

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Exercice 8

D'après le graphique, le kiosque à jus a vendu pour 7 6007\,600 ₪ la semaine 4. Pour combien le kiosque de falafels a-t-il vendu cette semaine-là ?

  1. 11 02011\,020 ₪
  2. 8 0008\,000 ₪
  3. 11 20011\,200 ₪
  4. 10 64010\,640 ₪
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 11 20011\,200 ₪

Corrigé :

7 6000,95=8 000\dfrac{7\,600}{0{,}95} = 8\,000

la base, celle de la semaine 1 : 7 600 en sont 95 %

1,4×8 000=11 2001{,}4 \times 8\,000 = 11\,200

le falafel : 140 % de la même base

La bonne réponse : « 11 20011\,200 ₪ ». « 10 64010\,640 ₪ » applique les 140 %140\,\% du falafel aux 7 6007\,600 ₪ du jus : ce pourcentage se prend sur la base de la semaine 1. « 8 0008\,000 ₪ » s'arrête à la base : ce sont les ventes de la semaine 1. « 11 02011\,020 ₪ » ajoute aux 7 6007\,600 ₪ l'écart de 4545 points entre les courbes, pris sur 7 6007\,600.

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Exercice 9

Le lycée A compte kk fois plus d'élèves que le lycée B. Le nombre d'élèves inscrits en chimie au lycée A est le double de celui du lycée B. La part des inscrits en chimie parmi les élèves du lycée B est combien de fois celle du lycée A ?

  1. 2k\dfrac{2}{k}
  2. 2k2k
  3. k2\dfrac{k}{2}
  4. 12\dfrac{1}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C k2\dfrac{k}{2}

Corrigé :

B:cN,A:2ckN\text{B} : \dfrac{c}{N},\qquad \text{A} : \dfrac{2c}{kN}

chaque part : inscrits sur élèves

cN:2ckN=cN⋅kN2c=k2\begin{aligned}\dfrac{c}{N} : \dfrac{2c}{kN} &= \dfrac{c}{N} \cdot \dfrac{kN}{2c} \\ &= \dfrac{k}{2}\end{aligned}

le rapport des inscrits, divisé par le rapport des totaux

La bonne réponse : « k2\dfrac{k}{2} ». « 12\dfrac{1}{2} » ne garde que le rapport des inscrits, renversé, et oublie que les deux lycées n'ont pas le même total. « 2k2k » multiplie le rapport des totaux par celui des inscrits au lieu de diviser. « 2k\dfrac{2}{k} » donne la part de A sur celle de B : la question demande l'inverse.

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Exercice 10

Deux papeteries ont vendu ce mois-ci le même nombre de cahiers, et ont encaissé la même somme pour ces cahiers. La première vend tous ses cahiers au même prix. Dans la seconde, 40 %40\,\% des cahiers ont été vendus xx ₪ pièce, et les autres yy ₪ pièce. Quel est le prix d'un cahier dans la première papeterie ?

  1. 2x+3y10\dfrac{2x + 3y}{10}
  2. x+y2\dfrac{x + y}{2}
  3. 3x+2y5\dfrac{3x + 2y}{5}
  4. 2x+3y5\dfrac{2x + 3y}{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2x+3y5\dfrac{2x + 3y}{5}

Corrigé :

n p=0,4 n x+0,6 n yn\,p = 0{,}4\,n\,x + 0{,}6\,n\,y

n cahiers de chaque côté, même recette ; 40 % à x, 60 % à y

p=0,4 x+0,6 y=2x+3y5\begin{aligned}p &= 0{,}4\,x + 0{,}6\,y \\ &= \dfrac{2x + 3y}{5}\end{aligned}

une moyenne pondérée par les pourcentages

La bonne réponse : « 2x+3y5\dfrac{2x + 3y}{5} ». « x+y2\dfrac{x + y}{2} » fait la moyenne simple, comme si les deux prix avaient le même poids. « 3x+2y5\dfrac{3x + 2y}{5} » donne le poids de 60 %60\,\% au prix xx, qui ne concerne que 40 %40\,\% des cahiers. « 2x+3y10\dfrac{2x + 3y}{10} » divise encore par 22 la moyenne pondérée, comme pour la moyenne de deux nombres.

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