Le rapport dans les figures · Proportionnalité et rapport · Psychométriques

C'est la famille la plus fréquente de tout le relevé : 43 questions sur $190$ , et au moins une à chaque session.

Deux triangles qui partagent une hauteur, une figure agrandie, un trapèze coupé par une diagonale ou par une parallèle, un secteur, deux cylindres : la question ne demande presque jamais une aire calculée de bout en bout. Elle demande un rapport, et le rapport se lit sur la figure.

Le formulaire de l'examen ne donne que la proportion de Thalès. Tout le reste de cette unité doit être su.

Six gestes, et un seul réflexe derrière eux : avant de calculer une aire, demandez-vous ce qui est commun aux deux figures — une hauteur, une forme, un angle ou un volume.

Geste 1 — Même hauteur : les aires sont dans le rapport des bases

L'aire d'un triangle est $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$ . Quand deux triangles ont la même hauteur, le facteur $\frac{h}{2}$ est commun : il disparaît du rapport. Les aires sont alors dans le rapport des bases, sans carré.

\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{BD}{DC}

deux triangles de même sommet dont les bases sont sur une même droite

Un trapèze coupé par une diagonale

La diagonale

AC

coupe le trapèze en deux triangles de même hauteur, la distance entre les bases parallèles. Leurs aires sont dans le rapport des bases :

4 : 10 = 2 : 5

\text{même sommet, bases alignées}

la hauteur commune est la distance du sommet à la droite

\text{trapèze et une diagonale}

les deux triangles ont pour hauteur la distance entre les bases : aires dans le rapport des bases

\text{médiane}

elle coupe la base en deux moitiés : deux triangles d'aires égales

\text{trapèze et deux diagonales}

bases a et b : les triangles du haut et du bas sont dans le rapport a² : b², les deux triangles latéraux sont égaux

Le trapèze de la coopérative

Le terrain d'une coopérative a la forme d'un trapèze $ABCD$ , de bases $AB = 6$ et $DC = 9$ , et d'aire $60$ . Le chemin $AC$ le coupe en deux. Quelle est l'aire de la parcelle $ACD$ ?

S_{ABC} : S_{ACD} = 6 : 9

même hauteur : le rapport des bases

6 + 9 = 15 \text{ parts}

les deux parcelles font le trapèze entier

\begin{aligned}S_{ACD} &= \frac{9}{15} \cdot 60 \\ &= 36\end{aligned}

et la parcelle ABC vaut 24

Le carré qui n'a rien à faire là.

\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \left(\frac{3}{5}\right)^2

\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{3}{5}

le carré vient avec des figures semblables (geste 2) ; ici les deux triangles n'ont pas la même forme, ils n'ont en commun que la hauteur

Un triangle a une aire de $48$ . Un segment issu d'un sommet coupe le côté opposé dans le rapport $1 : 3$ . Quelles sont les aires des deux triangles obtenus ?

Voir la réponse et le corrigé

$12$ et $36$ . Même hauteur : les aires suivent le rapport $1 : 3$ . Quatre parts pour $48$ , soit $12$ la part.

Geste 2 — Figures semblables : $k$ , puis $k^2$ , puis $k^3$

Deux figures sont semblables quand l'une est un agrandissement exact de l'autre, de rapport $k$ . Les longueurs (côtés, périmètres, hauteurs, rayons) sont multipliées par $k$ .

Une aire est un produit de deux longueurs : elle est multipliée par $k^2$ . Un volume en est un produit de trois : il est multiplié par $k^3$ .

\text{longueurs} \times k

\text{aires} \times k^2

surface, aire totale d'un solide

\text{volumes} \times k^3

contenance, masse d'un même matériau

\text{aire} \times 9 \Rightarrow \text{côté} \times 3

à l'envers : on prend la racine carrée

\text{volume} \times 8 \Rightarrow \text{côté} \times 2

à l'envers : on prend la racine cubique

\text{volume} \times 8 \Rightarrow \text{aire} \times 4

on repasse toujours par k : ici k = 2

Trois raccourcis qui sautent une étape.

\text{côtés} \times 2 \Rightarrow \text{aire} \times 2

\text{aire} \times 2^2 = \times 4

l'aire suit le carré du rapport

\text{aire} \times 9 \Rightarrow \text{côté} \times 9

\text{côté} \times \sqrt{9} = \times 3

à l'envers, on prend la racine

\text{aire} \times 4 \Rightarrow \text{périmètre} \times 4

\text{périmètre} \times 2

le périmètre est une longueur : il suit k, pas k²

Deux carrés ont pour aires $50$ et $200$ . Dans quel rapport sont leurs côtés ?

Voir la réponse et le corrigé

$1 : 2$ . Les aires sont dans le rapport $1 : 4$ , donc $k^2 = 4$ et $k = 2$ . Inutile de calculer $\sqrt{50}$ .

Geste 3 — La parallèle à la base découpe un petit triangle semblable

Une droite parallèle à un côté d'un triangle découpe un petit triangle semblable au grand : mêmes angles, côtés proportionnels.

Le rapport $k$ se lit sur deux segments qui se correspondent, par exemple $\frac{BC}{DE}$ ou $\frac{AB}{AD}$ . Le reste du grand triangle est un trapèze, et son aire vaut le grand moins le petit.

S_{\text{trapèze}} = (k^2 - 1) \cdot S_{\text{petit}}

k est le rapport du grand triangle au petit

Un segment en lettres

Dans le triangle $ABC$ , $DE$ est parallèle à $BC$ , avec $D$ sur $AB$ et $E$ sur $AC$ . On donne $AD = x$ , $DB = 6$ , $DE = 4$ et $BC = 10$ . Que vaut $x$ ?

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

Thalès : on compare le petit triangle au grand, côté par côté

\frac{x}{x + 6} = \frac{4}{10}

AB vaut AD + DB, pas DB

\begin{aligned}10x &= 4x + 24 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

Deux confusions sur le rapport.

\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

DE se compare à BC, donc AD se compare à AB entier ; le rapport AD : DB n'est pas celui des triangles

\begin{aligned}AD : DB &= 1 : 2 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}AB &= 3 \cdot AD \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

le grand côté est AD + DB, trois parts

S_{\text{trapèze}} = k^2 \cdot S_{\text{petit}}

S_{\text{trapèze}} = (k^2 - 1) \cdot S_{\text{petit}}

k² S est le grand triangle entier, petit compris

Dans un triangle, une parallèle à la base découpe un petit triangle d'aire $20$ . La parallèle mesure $4$ et la base $6$ . Quelle est l'aire du trapèze qui reste ?

Voir la réponse et le corrigé

$25$ . $k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ , donc le grand triangle a une aire $\frac{9}{4} \cdot 20 = 45$ , et le trapèze $45 - 20 = 25$ .

Geste 4 — Secteurs : l'aire suit l'angle

Un secteur est une part de tarte. Sa part du disque est sa part du tour : $\frac{\alpha}{360^\circ}$ .

Son aire et la longueur de son arc sont donc proportionnelles à son angle. Et comme deux disques sont toujours semblables, un rayon multiplié par $k$ multiplie l'aire par $k^2$ , à angle égal.

S_{\text{secteur}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2

à rayon égal, l'aire suit l'angle

\ell_{\text{arc}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r

la longueur de l'arc suit l'angle aussi

r \times k \Rightarrow S \times k^2

à angle égal, l'aire suit le carré du rayon

\alpha \times 2,\ r \div 2 \Rightarrow S \div 2

les deux effets se multiplient : 2 fois un quart

La pizza de Haïfa

Deux pizzas sont coupées en parts de même angle. La grande a un rayon double de la petite. Combien de fois une grande part est-elle plus grande qu'une petite ?

\alpha \text{ égal}

l'angle ne change rien au rapport

\begin{aligned}k &= 2 \Rightarrow k^2 \\ &= 4\end{aligned}

4 fois plus grande : une grande part vaut quatre petites

Le rayon traité comme une aire.

r \times 2 \Rightarrow S \times 2

r \times 2 \Rightarrow S \times 4

l'aire d'un disque est en r²

S_{\text{secteur}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r

S_{\text{secteur}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2

2πr est la circonférence : cette formule donne la longueur de l'arc

Un disque a une aire de $64\pi$ . Quelle est l'aire d'un secteur de $45^\circ$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$8\pi$ . $45^\circ$ est le huitième du tour, et le huitième de $64\pi$ est $8\pi$ . Aucun rayon à calculer.

Geste 5 — Des angles ou des côtés donnés par un rapport

Le triangle 1 : 2 : 3

Des angles dans le rapport

1 : 2 : 3

: six parts pour

180^\circ

, donc

30^\circ

60^\circ

90^\circ

. En face de

30^\circ

, le côté vaut la moitié de l'hypoténuse :

3

6

Un rapport se lit en parts. Des angles dans le rapport $1 : 2 : 3$ font $6$ parts, et un triangle a $180^\circ$ : la part vaut $30^\circ$ .

Des côtés dans le rapport $3 : 4 : 5$ se partagent le périmètre en $12$ parts. Dans les deux cas, on divise le total par la somme des termes.

1 : 2 : 3 \Rightarrow 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ

côtés 1 : √3 : 2 ; en face de 30°, la moitié de l'hypoténuse

1 : 1 : 2 \Rightarrow 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ

le demi-carré ; côtés 1 : 1 : √2

\begin{aligned}x \\ \ x \\ \ 3x \Rightarrow 5x &= 180^\circ\end{aligned}

« un angle vaut 3 fois l'autre » dans un triangle isocèle : cinq parts

3 : 4 : 5,\ \text{périmètre } 36 \Rightarrow 9, 12, 15

douze parts de 3

Le rapport des angles n'est pas celui des côtés.

\text{angles } 1 : 2 : 3 \Rightarrow \text{côtés } 1 : 2 : 3

\text{côtés } 1 : \sqrt{3} : 2

des côtés 1, 2, 3 ne forment même pas un triangle : 1 + 2 = 3

Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet vaut $3$ fois chacun des angles de la base. Que vaut l'angle au sommet ?

Voir la réponse et le corrigé

$108^\circ$ . Les angles font $x$ , $x$ et $3x$ , soit cinq parts pour $180^\circ$ : $x = 36^\circ$ , et le sommet vaut $3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$ . Le piège : oublier le second angle de la base et trouver $45^\circ$ et $135^\circ$ .

Geste 6 — Volumes : cylindres et cônes

Deux cylindres de même volume

Deux cylindres de même volume :

\pi \cdot 2^2 \cdot 9 = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi

. Le rayon est multiplié par

\frac{3}{2}

, la hauteur divisée par

\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}

Le volume d'un cylindre est $\pi r^2 h$ . À volume égal, le produit $r^2 h$ ne bouge pas : la hauteur est inversement proportionnelle au carré du rayon.

Rayon doublé, hauteur divisée par $4$ . C'est la question du liquide versé d'un récipient dans un autre.

V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h

aire de la base fois hauteur

V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h

le tiers du cylindre de même base et de même hauteur

\begin{aligned}r_2 &= k \cdot r_1 \Rightarrow h_2 \\ &= \frac{h_1}{k^2}\end{aligned}

même volume

\text{cône rempli à mi-hauteur} : \frac{1}{8}

le liquide forme un petit cône semblable, de rapport 1/2

Le cône et le cylindre

Un cylindre et un cône ont la même base, de rayon $3$ , et la même hauteur, $10$ . Quels sont leurs volumes ?

\begin{aligned}V_{\text{cylindre}} &= \pi \cdot 3^2 \cdot 10 \\ &= 90\pi\end{aligned}

\begin{aligned}V_{\text{cône}} &= \frac{90\pi}{3} \\ &= 30\pi\end{aligned}

trois cônes pleins remplissent le cylindre

Deux réflexes linéaires.

r \times 2 \Rightarrow h \div 2

r \times 2 \Rightarrow h \div 4

le volume dépend de r², pas de r

\text{cône rempli à mi-hauteur} : \frac{1}{2}

\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

le liquide est un petit cône semblable : son volume suit k³

Un verre cylindrique de rayon $2$ est rempli d'eau sur $12$ cm. On verse l'eau dans un pot cylindrique de rayon $4$ . À quelle hauteur monte-t-elle ?

Voir la réponse et le corrigé

À $3$ cm. Le rayon double, donc la hauteur est divisée par $2^2 = 4$ : $\frac{12}{4} = 3$ . Contrôle : $\pi \cdot 4 \cdot 12 = \pi \cdot 16 \cdot 3 = 48\pi$ .

Réflexe ou piège ?

Huit cartes, huit raccourcis sur les figures. Juste, ou piège ? Tranchez avant de lire la réponse.

Avant de cocher. Nommez ce qui est commun aux deux figures. Une hauteur : les aires suivent les bases, sans carré. Une forme (figures semblables, parallèle à la base, deux disques) : trouvez $k$ sur deux longueurs qui se correspondent, puis $k^2$ pour les aires et $k^3$ pour les volumes. Un trapèze sous une parallèle vaut $(k^2 - 1)$ fois le petit triangle. Un rayon : l'aire du secteur suit l'angle. Un volume : la hauteur suit $\frac{1}{r^2}$ , et un cône vaut le tiers de son cylindre.

Exercices

Exercice 1

Dans le triangle $ABC$ de la figure, le point $D$ est sur $BC$ , avec $BD = 4$ et $DC = 6$ . L'aire du triangle $ABC$ vaut $45$ . Quelle est l'aire du triangle $ABD$ ?

$22{,}5$
$27$
$18$
$7{,}2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $18$

Corrigé :

S_{ABD} : S_{ADC} = 4 : 6

même hauteur : le rapport des bases

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{4}{10} \cdot 45 \\ &= 18\end{aligned}

BD fait 4 des 10 unités de BC

La bonne réponse : « $18$ ». Les triangles $ABD$ et $ADC$ ont la même hauteur, issue de $A$ . « $27$ » est l'aire de l'autre triangle, $ADC$ . « $22{,}5$ » coupe le triangle en deux moitiés, comme si $AD$ était une médiane. « $7{,}2$ » élève le rapport des bases au carré : $\left(\frac{4}{10}\right)^2 \cdot 45$ . Le carré vaut pour des figures semblables, pas pour une hauteur commune.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans le trapèze $ABCD$ de la figure, les bases sont $AB = 4$ et $DC = 8$ . La diagonale $AC$ découpe le triangle $ABC$ , d'aire $10$ . Quelle est l'aire du trapèze ?

$20$
$50$
$40$
$30$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $30$

Corrigé :

S_{ABC} : S_{ACD} = 4 : 8

même hauteur : le rapport des bases

\begin{aligned}S_{ACD} &= 2 \cdot 10 \\ &= 20\end{aligned}

la base DC est le double de AB

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 10 + 20 \\ &= 30\end{aligned}

les deux triangles font le trapèze

La bonne réponse : « $30$ ». Les triangles $ABC$ et $ACD$ ont la même hauteur, la distance entre les bases. « $20$ » est l'aire du seul triangle $ACD$ : il faut lui ajouter $ABC$ . « $40$ » élève le rapport des bases au carré pour le triangle $ACD$ , et oublie d'ajouter $ABC$ . « $50$ » élève le rapport des bases au carré : $10 + 4 \cdot 10$ . Les deux triangles ne sont pas semblables.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Les deux triangles de la figure sont semblables, et l'aire du grand est $9$ fois celle du petit. Le périmètre du petit triangle vaut $14$ . Quel est le périmètre du grand ?

$42$
$126$
$23$
$378$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $42$

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 9 \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

on revient au rapport des longueurs

14 \cdot 3 = 42

le périmètre est une longueur

La bonne réponse : « $42$ ». Les aires suivent $k^2$ , le périmètre suit $k$ . « $126$ » multiplie le périmètre par $9$ , le rapport des aires, au lieu de $k = 3$ . « $378$ » multiplie par $27 = 3^3$ , le rapport des volumes. « $23$ » ajoute $9$ au périmètre au lieu de multiplier.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Dans la figure, $DE$ est parallèle à $BC$ , avec $DE = 4$ et $BC = 10$ . Le triangle $ADE$ a une aire de $8$ . Quelle est l'aire du trapèze $DBCE$ ?

$42$
$50$
$58$
$12$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $42$

Corrigé :

\begin{aligned}k &= \frac{10}{4} \\ &= \frac{5}{2}\end{aligned}

le rapport des côtés parallèles

\begin{aligned}S_{ABC} &= \left(\frac{5}{2}\right)^2 \cdot 8 \\ &= 50\end{aligned}

l'aire suit k²

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 50 - 8 \\ &= 42\end{aligned}

le trapèze est le grand moins le petit

La bonne réponse : « $42$ ». Le petit triangle et le grand sont semblables, de rapport $\frac{10}{4}$ . « $12$ » agrandit l'aire par $k = 2{,}5$ au lieu de $k^2$ , puis retire le petit triangle : $20 - 8$ . « $50$ » est l'aire du grand triangle $ABC$ entier, petit triangle compris. « $58$ » ajoute le petit triangle au grand au lieu de le retirer.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Dans le triangle $ABC$ de la figure, $DE$ est parallèle à $BC$ . On donne $AD = x$ , $DB = 3$ , $DE = 6$ et $BC = 8$ . Que vaut $x$ ?

$9$
$12$
$2{,}25$
$4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $9$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{DE}{BC} \Rightarrow \frac{x}{x + 3} \\ &= \frac{6}{8}\end{aligned}

AB vaut AD + DB

\begin{aligned}8x &= 6x + 18 \Rightarrow x \\ &= 9\end{aligned}

contrôle : 9/12 = 6/8

La bonne réponse : « $9$ ». On compare le petit triangle $ADE$ au grand triangle $ABC$ . « $2{,}25$ » écrit $\frac{x}{3} = \frac{6}{8}$ : il compare $AD$ à $DB$ au lieu de $AB$ . « $4$ » écrit $\frac{x}{3} = \frac{8}{6}$ : le mauvais segment, et le rapport renversé. « $12$ » est la longueur de $AB$ , pas celle de $AD$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Le cercle de la figure a un rayon de $6$ . Quelle est l'aire du secteur grisé, d'angle $120^\circ$ ?

$24\pi$
$12\pi$
$4\pi$
$36\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $12\pi$

Corrigé :

\frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}

la part du tour

\begin{aligned}\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 &= \frac{36\pi}{3} \\ &= 12\pi\end{aligned}

la même part du disque

La bonne réponse : « $12\pi$ ». Un secteur de $120^\circ$ est le tiers du disque. « $4\pi$ » est la longueur de l'arc : le tiers de la circonférence $12\pi$ . « $36\pi$ » est l'aire du disque entier. « $24\pi$ » est l'aire de la partie blanche, le secteur de $240^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Le secteur A a un rayon de $4$ et un angle de $90^\circ$ . Le secteur B a un rayon de $8$ et un angle de $45^\circ$ . Combien de fois l'aire de B est-elle plus grande que celle de A ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2$

Corrigé :

\begin{aligned}S_A &= \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 4^2 \\ &= 4\pi\end{aligned}

le quart d'un disque d'aire 16π

\begin{aligned}S_B &= \frac{45}{360} \cdot \pi \cdot 8^2 \\ &= 8\pi\end{aligned}

le huitième d'un disque d'aire 64π

\frac{8\pi}{4\pi} = 2

les deux effets se multiplient : 4 × 1/2

La bonne réponse : « $2$ ». Rayon doublé : aire $\times 4$ . Angle divisé par deux : aire $\div 2$ . « $1$ » croit que l'angle divisé par deux compense le rayon doublé ; or l'aire suit le carré du rayon. « $4$ » ne tient compte que du rayon et oublie l'angle. « $8$ » multiplie par $2$ pour l'angle au lieu de diviser.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Les angles du triangle de la figure sont dans le rapport $1 : 2 : 3$ . Son plus petit côté mesure $5$ . Que mesure son plus grand côté ?

$10$
$5\sqrt{3}$
$5\sqrt{2}$
$15$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $10$

Corrigé :

\begin{aligned}x + 2x + 3x &= 180^\circ \Rightarrow x \\ &= 30^\circ\end{aligned}

six parts pour 180°

\text{côtés} \ 1 : \sqrt{3} : 2

le triangle 30°-60°-90°

2 \cdot 5 = 10

l'hypoténuse est le double du petit côté

La bonne réponse : « $10$ ». Les angles valent $30^\circ$ , $60^\circ$ et $90^\circ$ ; en face de $30^\circ$ , le côté vaut la moitié de l'hypoténuse. « $15$ » croit que les côtés suivent le rapport des angles, $1 : 2 : 3$ . « $5\sqrt{3}$ » est l'autre côté de l'angle droit, en face de $60^\circ$ . « $5\sqrt{2}$ » applique les côtés du triangle $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Les deux cylindres de la figure ont le même volume. Le premier a un rayon de $3$ et une hauteur de $8$ ; le second a un rayon de $6$ . Quelle est sa hauteur $h$ ?

$32$
$2$
$4$
$16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2$

Corrigé :

\pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi

le volume du premier

\pi \cdot 6^2 \cdot h = 36\pi h

le volume du second

\begin{aligned}36\pi h &= 72\pi \Rightarrow h \\ &= 2\end{aligned}

8 divisé par 4

La bonne réponse : « $2$ ». Le rayon double : la hauteur est divisée par $2^2$ . « $4$ » divise la hauteur par $2$ , comme si le volume suivait le rayon et non son carré. « $16$ » multiplie la hauteur par $2$ : plus large ne veut pas dire plus haut. « $32$ » multiplie la hauteur par $4$ au lieu de la diviser.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Le cylindre de la figure, de rayon $3$ et de hauteur $8$ , est plein d'eau. On la verse dans des cônes de rayon $3$ et de hauteur $4$ . Combien de cônes peut-on remplir ?

$3$
$2$
$6$
$12$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $6$

Corrigé :

\begin{aligned}V_{\text{cylindre}} &= \pi \cdot 3^2 \cdot 8 \\ &= 72\pi\end{aligned}

base 9π, hauteur 8

\begin{aligned}V_{\text{cône}} &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 \\ &= 12\pi\end{aligned}

le tiers de base fois hauteur

\frac{72\pi}{12\pi} = 6

six cônes

La bonne réponse : « $6$ ». Le cône vaut le tiers du cylindre de même base et de même hauteur ; ici sa hauteur est la moitié. « $3$ » prend le cône pour le tiers du cylindre sans voir que sa hauteur n'est que la moitié. « $2$ » oublie le $\frac{1}{3}$ du cône : il calcule comme pour des cylindres de hauteur $4$ . « $12$ » divise le volume du cône par $4$ quand sa hauteur est divisée par $2$ , comme pour un cône semblable ; ici le rayon ne change pas.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

On agrandit un cube : son volume est multiplié par $8$ . Par combien l'aire totale de ses six faces est-elle multipliée ?

$2$
$4$
$8$
$64$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $4$

Corrigé :

\begin{aligned}k^3 &= 8 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

l'arête double

\begin{aligned}k^2 &= 2^2 \\ &= 4\end{aligned}

chaque face, donc l'aire totale, est multipliée par 4

La bonne réponse : « $4$ ». On repasse par le rapport des arêtes : $k^3 = 8$ , donc $k = 2$ . « $8$ » applique à l'aire le facteur des volumes. « $2$ » est le facteur des arêtes, $k$ , pas celui des aires. « $64$ » élève le facteur des volumes au carré au lieu de passer par $k$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Deux figures semblables. Associez chaque situation à son facteur.

$k = 3$ : le périmètre
$k = 3$ : l'aire
$k = 3$ : le volume
aire $\times 4$ : le côté

$\times 2$
$\times 27$
$\times 3$
$\times 9$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $k = 3$ : le périmètre — $\times 3$ · $k = 3$ : l'aire — $\times 9$ · $k = 3$ : le volume — $\times 27$ · aire $\times 4$ : le côté — $\times 2$

Corrigé :

\text{longueurs} \times k,\ \text{aires} \times k^2,\ \text{volumes} \times k^3

\begin{aligned}k^2 &= 4 \;\Rightarrow\; k \\ &= 2\end{aligned}

à l'envers, la racine

Le périmètre est une longueur : il suit $k$ , pas $k^2$ . Le piège : multiplier le côté par $4$ quand l'aire est multipliée par $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Dans le triangle $ABC$ de la figure, le point $D$ est sur $BC$ , avec $BD = 2$ et $DC = 5$ . L'aire du triangle grisé $ABD$ vaut $8$ . Quelle est l'aire du triangle $ADC$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

S_{ABD} : S_{ADC} = 2 : 5

même sommet $A$ , même hauteur : le rapport des bases

\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{5}{2} \times 8 \\ &= 20\end{aligned}

une part vaut $4$

$20$ . Le piège : mettre le rapport au carré, $\frac{25}{4} \times 8 = 50$ — les deux triangles ne sont pas semblables, ils n'ont en commun que la hauteur.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

Les deux cylindres de la figure ont le même volume. Le premier a un rayon de $3$ et une hauteur de $8$ ; le second a un rayon de $6$ , le double. Alors la hauteur du second vaut $4$ , la moitié de $8$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi

le volume du premier

\begin{aligned}\pi \cdot 6^2 \cdot h &= 72\pi \;\Rightarrow\; h \\ &= 2\end{aligned}

rayon doublé : hauteur divisée par $2^2 = 4$

Faux : la hauteur vaut $2$ . Le volume dépend de $r^2$ : doubler le rayon multiplie la base par $4$ , et la hauteur est divisée par $4$ , pas par $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Geste 1 — Même hauteur : les aires sont dans le rapport des bases

Geste 2 — Figures semblables : kkk, puis k2k^2k2, puis k3k^3k3

Geste 3 — La parallèle à la base découpe un petit triangle semblable

Geste 4 — Secteurs : l'aire suit l'angle

Geste 5 — Des angles ou des côtés donnés par un rapport

Geste 6 — Volumes : cylindres et cônes

Réflexe ou piège ?

Exercices

La suite se pratique sur elev

Geste 2 — Figures semblables : $k$ , puis $k^2$ , puis $k^3$