On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Six questions, une par forme que les annales ressortent d'une session à l'autre.

Le partage dont le total se cache derrière une différence, les rapports enchaînés, les ouvriers qui s'en vont en cours de chantier, le pourcentage qui devient un rapport, les pourcentages emboîtés avec un « au minimum », et la figure coupée par une parallèle.

Chacune se résout avec vous : à chaque pas, la question « que fait-on maintenant ? » vous propose deux ou trois gestes.

Un mauvais geste vous dit pourquoi il est mauvais et vous laisse rejouer ; le bon révèle la ligne de calcul et ouvre le pas suivant. À la fin, la bonne réponse — et ce que chacun des trois distracteurs mesurait.

Avant de cliquer, dites le geste à voix basse. En proportions, le geste tient presque toujours en trois mots : « une part vaut… ». C'est l'écart entre votre réflexe et le bon geste qui vous apprend quelque chose — pas la lecture du corrigé.

1. Le partage, et le total caché derrière une différence

2. Les rapports enchaînés

3. Les ouvriers qui s'en vont en cours de route

4. Le pourcentage qui devient un rapport

5. Les pourcentages emboîtés, et le minimum

6. La parallèle au tiers du côté

SABCDE
DE est parallèle à BC, et AD est le tiers de AB.

À votre tour — six questions, une par forme

Les mêmes six formes, avec d'autres nombres et d'autres habits. Cette fois personne ne vous propose le geste suivant : à vous de le dire. Chaque corrigé nomme la bonne réponse et ce que chacune des trois autres mesurait.

Exercices

Exercice 1

Dans un sac, les billes rouges, bleues et vertes sont dans le rapport 3:4:83 : 4 : 8. Il y a 6060 billes vertes de plus que de billes rouges. Combien de billes le sac contient-il ?

  1. 132132
  2. 180180
  3. 900900
  4. 225225
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 180180

Corrigé :

3x  :  4x  :  8x3x \;:\; 4x \;:\; 8x

Le rapport devient des parts : une part vaut xx billes.

8x−3x=5x=60  ⇒  x=12\begin{aligned}8x - 3x &= 5x \\ &= 60 \;\Rightarrow\; x \\ &= 12\end{aligned}

La différence entre vertes et rouges fait cinq parts.

(3+4+8)×12=15×12=180\begin{aligned}(3 + 4 + 8) \times 12 &= 15 \times 12 \\ &= 180\end{aligned}

Le total compte les quinze parts. Contrôle : 3636, 4848 et 9696 billes, et 96−36=6096 - 36 = 60.

La bonne réponse : « 180180 ». « 225225 » compare les vertes aux bleues, 8−4=48 - 4 = 4 parts au lieu de 55 ; « 132132 » trouve la part, puis oublie les billes bleues dans le total ; « 900900 » prend la différence de 6060 billes pour une seule part.

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Exercice 2

Dans un verger de Galilée, il y a trois fois plus d'oliviers que de figuiers, et deux fois plus de figuiers que de grenadiers. Le verger compte 180180 arbres de ces trois espèces. Combien y a-t-il de figuiers ?

  1. 4040
  2. 120120
  3. 4545
  4. 6060
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4040

Corrigé :

G=xF=2xO=3×2x=6x\begin{aligned}G &= x \qquad F \\ &= 2x \qquad O \\ &= 3 \times 2x \\ &= 6x\end{aligned}

Les grenadiers, les moins nombreux, valent une part ; on remonte la chaîne.

6x+2x+x=9x=180  ⇒  x=20\begin{aligned}6x + 2x + x &= 9x \\ &= 180 \;\Rightarrow\; x \\ &= 20\end{aligned}

Neuf parts de vingt arbres.

F=2x=40\begin{aligned}F &= 2x \\ &= 40\end{aligned}

La question demande les figuiers. Contrôle : 120=3×40120 = 3 \times 40, 40=2×2040 = 2 \times 20, et 120+40+20=180120 + 40 + 20 = 180.

La bonne réponse : « 4040 ». « 120120 » est le nombre d'oliviers — le bon calcul, la mauvaise part ; « 6060 » lit les multiplicateurs comme un rapport 3:2:13 : 2 : 1 ; « 4545 » oublie les grenadiers et partage 180180 dans le rapport O:F=3:1O : F = 3 : 1.

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Exercice 3

1010 bénévoles doivent replanter une parcelle de forêt en 1818 jours. Après 66 jours de travail, 55 bénévoles de plus rejoignent l'équipe, et chacun travaille au même rythme. Combien de jours la plantation a-t-elle duré en tout ?

  1. 88
  2. 1212
  3. 1414
  4. 2424
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 1414

Corrigé :

10×18=18010 \times 18 = 180

Le travail entier, en bénévoles-jours.

180−10×6=120180 - 10 \times 6 = 120

Ce qui reste après les six premiers jours, faits à dix.

12015=8\frac{120}{15} = 8

Le reste, partagé entre les quinze bénévoles.

6+8=146 + 8 = 14

La question demande la durée totale.

La bonne réponse : « 1414 ». « 88 » est la durée après l'arrivée des renforts, sans les 66 premiers jours ; « 2424 » applique la proportionnalité directe — plus de bénévoles, plus de jours : 6+12×15106 + 12 \times \frac{15}{10} ; « 1212 » fait toute la plantation à quinze, comme s'ils étaient là dès le premier jour.

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Exercice 4

Dans une école de Tel-Aviv, il y a 40 %40\,\% d'élèves de plus en primaire qu'au collège. Lequel des nombres suivants peut être le nombre total d'élèves de l'école (primaire et collège) ?

  1. 7070
  2. 140140
  3. 160160
  4. 132132
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 132132

Corrigé :

P=1,4 C=75 C\begin{aligned}P &= 1{,}4\,C \\ &= \frac{7}{5}\,C\end{aligned}

La base des 40 %40\,\% est le collège.

P:C=7:5P : C = 7 : 5

Douze parts en tout : le total est un multiple de 1212.

132=12×11132 = 12 \times 11

Seul 132132 convient. Contrôle : une part vaut 1111, donc 7777 élèves en primaire et 5555 au collège, et 77=1,4×5577 = 1{,}4 \times 55.

La bonne réponse : « 132132 ». « 140140 » est 100+40 %100 + 40\,\% — un pourcentage pris sur un total de 100100 ; « 160160 » est un multiple de 88 : il vient du rapport 5:35 : 3, quand on prend le primaire pour base (C=P−40 %C = P - 40\,\% de PP) ; « 7070 » est un multiple de 77 — les parts du primaire seules, sans celles du collège.

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Exercice 5

Dans un kibboutz, 60 %60\,\% des habitants travaillent aux champs, et la moitié d'entre eux savent conduire un tracteur. Par ailleurs, 85 %85\,\% des habitants sont nés au kibboutz. Quel est, au minimum, le pourcentage des habitants qui savent conduire un tracteur et qui sont nés au kibboutz ?

  1. 0 %0\,\%
  2. 35 %35\,\%
  3. 15 %15\,\%
  4. 25,5 %25{,}5\,\%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 15 %15\,\%

Corrigé :

0,6×0,5=0,30{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3

La moitié des travailleurs des champs : 30 %30\,\% des habitants conduisent un tracteur.

30 %+85 %=115 %>100 %30\,\% + 85\,\% = 115\,\% > 100\,\%

Les deux groupes ne tiennent pas côte à côte : ils se chevauchent forcément.

115 %−100 %=15 %115\,\% - 100\,\% = 15\,\%

Le chevauchement minimal. Il est atteint quand les 15 %15\,\% d'habitants nés ailleurs savent tous conduire un tracteur.

La bonne réponse : « 15 %15\,\% ». « 25,5 %25{,}5\,\% » multiplie 30 %30\,\% par 85 %85\,\%, comme si les deux caractères étaient indépendants — une valeur possible, pas le minimum ; « 35 %35\,\% » prend la moitié sur tout le kibboutz, 50 %+85 %−100 %50\,\% + 85\,\% - 100\,\% ; « 0 %0\,\% » oublie que les deux groupes dépassent ensemble 100 %100\,\%.

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Exercice 6

TPQRMN

Un panneau de chantier a la forme du triangle PQRPQR de la figure. Le segment MNMN est parallèle à QRQR, avec MM sur PQPQ, NN sur PRPR et PM=14 PQPM = \frac{1}{4}\,PQ. La pointe blanche, le triangle PMNPMN, a une aire TT ; la bande MQRNMQRN est peinte en rouge. Quelle est l'aire de la bande rouge ?

  1. 15T15T
  2. 3T3T
  3. 8T8T
  4. 16T16T
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 15T15T

Corrigé :

k=PQPM=4\begin{aligned}k &= \frac{PQ}{PM} \\ &= 4\end{aligned}

MN∥QRMN \parallel QR : les triangles PMNPMN et PQRPQR sont semblables, de rapport 44.

[PQR]=42×T=16T\begin{aligned}[PQR] &= 4^2 \times T \\ &= 16T\end{aligned}

Longueurs × 44, aires × 1616.

[MQRN]=16T−T=15T\begin{aligned}[MQRN] &= 16T - T \\ &= 15T\end{aligned}

La bande est le grand triangle moins la pointe.

La bonne réponse : « 15T15T ». « 3T3T » multiplie l'aire par 44 comme une longueur, 4T−T4T - T ; « 16T16T » est l'aire du panneau entier, pointe comprise ; « 8T8T » prend le rapport PM:MQ=1:3PM : MQ = 1 : 3 pour le rapport d'agrandissement, 32T−T3^2 T - T.

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Exercice 7

Trois sœurs se partagent une somme dans le rapport 1:4:61 : 4 : 6. La plus gâtée reçoit 450450 ₪ de plus que la moins gâtée. Quelle somme ont-elles partagée, en shekels ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 990

Corrigé :

6−1=5 parts6 - 1 = 5 \text{ parts}

l'écart entre la plus gâtée et la moins gâtée

450÷5=90450 \div 5 = 90

une part vaut 9090 ₪

(1+4+6)×90=990(1 + 4 + 6) \times 90 = 990

onze parts en tout

990990 ₪. Le piège : diviser 450450 par 1111, comme si l'écart était le total.

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Exercice 8

Une école a deux fois plus d'élèves en primaire qu'au collège, et trois fois plus au collège qu'au lycée. Alors primaire : lycée =6:1= 6 : 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

lyceˊe=1  ⇒  colleˋge=3\begin{aligned}\text{lycée} &= 1 \;\Rightarrow\; \text{collège} \\ &= 3\end{aligned}

on pose 11 sur celui qui n'est le multiple de personne

primaire=2×3=6\begin{aligned}\text{primaire} &= 2 \times 3 \\ &= 6\end{aligned}

on remonte la chaîne

Vrai : 6:3:16 : 3 : 1. Le piège : écrire 2:32 : 3 en recopiant les multiplicateurs comme des parts.

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Exercice 9

Complétez, en comptant le travail en ouvriers-jours.

8 ouvriers devaient finir un chantier en 12 jours. Après 3 jours, 2 ouvriers partent. Le chantier vaut ____ ouvriers-jours, il en reste ____ après 3 jours, et les 6 ouvriers restants les finissent en ____ jours.

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Réponse : 8 ouvriers devaient finir un chantier en 12 jours. Après 3 jours, 2 ouvriers partent. Le chantier vaut 96 ouvriers-jours, il en reste 72 après 3 jours, et les 6 ouvriers restants les finissent en 12 jours.

Corrigé :

8×12=968 \times 12 = 96

le chantier entier

96−8×3=7296 - 8 \times 3 = 72

ce qui reste après 33 jours

72÷6=1272 \div 6 = 12

partagé entre 66 ouvriers

9696, 7272 et 1212 : le chantier dure 3+12=153 + 12 = 15 jours en tout. Le piège : répondre 1212 jours en tout, en oubliant les 33 jours déjà faits.

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Exercice 10

B est comparé à A. Rangez ces cas selon le nombre de parts du total A + B, du plus petit au plus grand.

  • B a 10 %10\,\% de plus que A
  • B a 100 %100\,\% de plus que A
  • B a 20 %20\,\% de plus que A
  • B a 25 %25\,\% de moins que A
  • B a 50 %50\,\% de plus que A
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B a 100 %100\,\% de plus que A · B a 50 %50\,\% de plus que A · B a 25 %25\,\% de moins que A · B a 20 %20\,\% de plus que A · B a 10 %10\,\% de plus que A

Corrigé :

+100 %→2:1  (3),+50 %→3:2  (5)+100\,\% \to 2 : 1 \;(3),\quad +50\,\% \to 3 : 2 \;(5)
−25 %→3:4  (7),+20 %→6:5  (11)-25\,\% \to 3 : 4 \;(7),\quad +20\,\% \to 6 : 5 \;(11)
+10 %→11:10  (21)+10\,\% \to 11 : 10 \;(21)

3<5<7<11<213 < 5 < 7 < 11 < 21. Plus le pourcentage est petit, plus les parts sont fines. Le piège : ranger par la taille du pourcentage.

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Exercice 11

Deux groupes d'une même population. Associez chaque cas à sa borne.

  • 80 %80\,\% et 75 %75\,\% : au moins
  • 60 %60\,\% et 50 %50\,\% : au moins
  • 60 %60\,\% et 50 %50\,\% : au plus
  • 40 %40\,\% et 30 %30\,\% : au moins
  • 0 %0\,\%
  • 10 %10\,\%
  • 50 %50\,\%
  • 55 %55\,\%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80 %80\,\% et 75 %75\,\% : au moins — 55 %55\,\% · 60 %60\,\% et 50 %50\,\% : au moins — 10 %10\,\% · 60 %60\,\% et 50 %50\,\% : au plus — 50 %50\,\% · 40 %40\,\% et 30 %30\,\% : au moins — 0 %0\,\%

Corrigé :

min⁡=a+b−100 %\min = a + b - 100\,\%

si la somme dépasse 100 %100\,\%

max⁡=min⁡(a,b)\max = \min(a, b)

40+30=70<10040 + 30 = 70 < 100 : aucun recouvrement n'est forcé. Le piège : soustraire les deux pourcentages.

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