Série 1 — Règle de trois et parts · Proportionnalité et rapport · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : dix minutes pour la série, le rythme de l'examen, une minute par question. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui vous a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe dans cette série : ramenez à l'unité, puis vérifiez le sens. Tout dans la même unité de temps avant de diviser ; deux réductions se multiplient ; une grandeur inverse se compte en produit (peintres-jours) ; deux fractions d'une même référence s'additionnent comme des fractions, jamais numérateur avec numérateur.

Exercices

Exercice 1

Un coureur de Tel-Aviv boucle chaque kilomètre en $4$ minutes et $48$ secondes, à allure constante. Quelle est sa vitesse, en kilomètres par heure ?

environ $13{,}4$
$15$
$12$
$12{,}5$

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Réponse : D $12{,}5$

Corrigé :

\begin{aligned}4\text{ min }48\text{ s} &= 4 \times 60 + 48 \\ &= 288\text{ s}\end{aligned}

tout en secondes d'abord

1\text{ h} = 3\,600\text{ s}

une heure compte $3\,600$ secondes

\dfrac{3\,600}{288} = 12{,}5

le nombre de kilomètres bouclés en une heure

La bonne réponse : « $12{,}5$ ». « environ $13{,}4$ » lit $48$ secondes comme $0{,}48$ minute : $\frac{60}{4{,}48}$ . Or $48$ secondes font $0{,}8$ minute. « $15$ » oublie les secondes : $\frac{60}{4}$ . « $12$ » arrondit le temps à $5$ minutes avant de diviser : l'arrondi coûte un demi-kilomètre par heure.

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Exercice 2

Un troupeau de $40$ vaches mange $6$ tonnes de foin en $12$ jours. Chaque vache mange la même quantité chaque jour. Combien de tonnes de foin mangent $20$ de ces vaches en $4$ jours ?

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Réponse : C $1$

Corrigé :

\dfrac{20}{40} = \dfrac{1}{2}

deux fois moins de vaches : deux fois moins de foin

\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}

trois fois moins de jours : trois fois moins de foin

6 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = 1

les deux réductions se multiplient

La bonne réponse : « $1$ ». « $3$ » ne réduit que le nombre de vaches : $6 \times \frac{1}{2}$ . « $2$ » ne réduit que le nombre de jours : $6 \times \frac{1}{3}$ . « $4$ » traite les vaches comme une grandeur inverse : $6 \times 2 \times \frac{1}{3}$ . Or moins de bouches mangent moins, pas plus.

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Exercice 3

Au guichet d'une poste d'Ashdod, un client se présente en moyenne toutes les $4$ minutes, et chaque client dépose en moyenne $3$ colis. Combien de colis le guichet reçoit-il en moyenne par heure ?

$45$
$80$
$12$
$20$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $45$

Corrigé :

\dfrac{60}{4} = 15

les clients en une heure : une arrivée toutes les 4 minutes

15 \times 3 = 45

chaque client dépose 3 colis

La bonne réponse : « $45$ ». « $12$ » multiplie l'intervalle par le nombre de colis, $4 \times 3$ : un intervalle n'est pas un effectif. « $20$ » divise l'heure par le nombre de colis, $\frac{60}{3}$ : les rôles des deux nombres sont échangés. « $80$ » pousse cet échange jusqu'au bout : $\frac{60}{3} \times 4$ .

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Exercice 4

Dans un club de randonnée, le nombre de garçons est égal aux $\frac{2}{5}$ du nombre d'adultes, et le nombre de filles est égal au $\frac{1}{3}$ du nombre d'adultes. Quel est le rapport du nombre d'enfants (garçons et filles) au nombre d'adultes ?

$11 : 26$
$11 : 15$
$2 : 15$
$3 : 8$

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Réponse : B $11 : 15$

Corrigé :

\begin{aligned}G &= \tfrac{2}{5}A \\ \quad F &= \tfrac{1}{3}A\end{aligned}

les deux fractions portent sur la même référence, les adultes

\begin{aligned}G + F &= \left(\tfrac{2}{5} + \tfrac{1}{3}\right)A \\ &= \tfrac{11}{15}A\end{aligned}

on additionne les fractions

(G + F) : A = 11 : 15

le rapport demandé

La bonne réponse : « $11 : 15$ ». « $3 : 8$ » additionne numérateurs et dénominateurs, $\frac{2+1}{5+3}$ : ce n'est pas une somme de fractions. « $2 : 15$ » multiplie les deux fractions : cela donnerait une fraction d'une fraction, pas une somme. « $11 : 26$ » compare les enfants à tout le club, $11$ parts sur $11 + 15$ : ce n'est pas la question.

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Exercice 5

Dans une boutique de Haïfa, un sac coûte $25\,\%$ de moins qu'une valise, et un parapluie coûte $25\,\%$ de plus que le sac. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

Le parapluie et la valise coûtent le même prix.
Le parapluie coûte plus cher que la valise.
Le parapluie coûte moins cher que la valise.
Les données ne permettent pas de comparer ces deux prix.

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Réponse : C Le parapluie coûte moins cher que la valise.

Corrigé :

S = 0{,}75\,V

« $25\,\%$ de moins » : le sac, rapporté à la valise

\begin{aligned}P &= 1{,}25\,S \\ &= 1{,}25 \times 0{,}75\,V\end{aligned}

le parapluie, rapporté au sac, puis à la valise

1{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}9375 < 1

le parapluie vaut $93{,}75\,\%$ du prix de la valise

La bonne réponse : « Le parapluie coûte moins cher que la valise ». « Le même prix » croit que $-25\,\%$ et $+25\,\%$ s'annulent. Mais la hausse se prend sur le sac, une base plus petite que la valise. « Plus cher » n'a aucun calcul derrière lui : le facteur $0{,}9375$ est inférieur à $1$ . « Les données ne permettent pas… » réclame des prix en shekels. Or deux facteurs qui s'enchaînent suffisent pour comparer.

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Exercice 6

Un verger compte $150$ arbres : des pommiers, des poiriers et des cerisiers. Il y a deux fois plus de pommiers que de poiriers, et trois fois plus de poiriers que de cerisiers. Combien y a-t-il de poiriers ?

$45$
$50$
$90$
$15$

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Réponse : A $45$

Corrigé :

\begin{aligned}C &= 1 \text{ part} \\ \quad Po &= 3 \text{ parts} \\ \quad Pm &= 6 \text{ parts}\end{aligned}

on part de la plus petite grandeur, les cerisiers

\begin{aligned}1 + 3 + 6 &= 10 \text{ parts} \\ &= 150\end{aligned}

une part vaut 15 arbres

\begin{aligned}Po &= 3 \times 15 \\ &= 45\end{aligned}

les poiriers

La bonne réponse : « $45$ ». « $15$ » est le nombre de cerisiers : on s'est arrêté à la valeur d'une part. « $90$ » est le nombre de pommiers : mauvaise catégorie. « $50$ » partage les $150$ arbres en trois parts égales, sans tenir compte des rapports.

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Exercice 7

Dans un bureau de change, $4$ dollars valent $15$ shekels, et $5$ euros valent $6$ dollars. Combien de shekels valent $10$ euros ?

$37{,}5$
$3{,}2$
$45$
$31{,}25$

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Réponse : C $45$

Corrigé :

\begin{aligned}10 \text{ euros} &= 10 \times \dfrac{6}{5} \\ &= 12 \text{ dollars}\end{aligned}

des euros vers les dollars

\begin{aligned}12 \text{ dollars} &= 12 \times \dfrac{15}{4} \\ &= 45 \text{ shekels}\end{aligned}

des dollars vers les shekels

La bonne réponse : « $45$ ». « $37{,}5$ » traite les $10$ euros comme $10$ dollars : $10 \times \frac{15}{4}$ . « $31{,}25$ » inverse le premier cours : $10 \times \frac{5}{6}$ dollars, puis $\times \frac{15}{4}$ . « $3{,}2$ » inverse le second cours : $12 \times \frac{4}{15}$ . Un shekel vaut moins qu'un dollar : on doit obtenir plus de shekels que de dollars.

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Exercice 8

$6$ peintres repeignent les $20$ classes d'une école en $5$ jours. Tous les peintres travaillent au même rythme, et toutes les classes demandent le même travail. En combien de jours $4$ peintres repeignent-ils $24$ classes ?

$4$
$7{,}5$
$9$
$6$

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Réponse : C $9$

Corrigé :

6 \times 5 = 30 \text{ peintres-jours pour } 20 \text{ classes}

le travail se compte en peintres-jours

\dfrac{30}{20} = 1{,}5 \text{ peintre-jour par classe}

le retour à l'unité

\begin{aligned}\dfrac{24 \times 1{,}5}{4} &= \dfrac{36}{4} \\ &= 9\end{aligned}

36 peintres-jours, partagés entre 4 peintres

La bonne réponse : « $9$ ». « $4$ » traite les peintres comme une grandeur directe : $5 \times \frac{4}{6} \times \frac{24}{20}$ . Or moins de peintres mettent plus de temps. « $7{,}5$ » n'ajuste que les peintres, $5 \times \frac{6}{4}$ , et oublie les $4$ classes de plus. « $6$ » n'ajuste que les classes, $5 \times \frac{24}{20}$ .

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Exercice 9

Une citerne est remplie aux $\frac{3}{4}$ . On en tire $150$ litres ; elle n'est plus remplie qu'au $\frac{1}{3}$ . Quelle est la capacité de la citerne, en litres ?

$200$
$360$
$120$
$450$

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Réponse : B $360$

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3} &= \dfrac{9 - 4}{12} \\ &= \dfrac{5}{12}\end{aligned}

les 150 litres tirés valent la différence des deux fractions

\begin{aligned}\dfrac{5}{12}\,V &= 150 \;\Rightarrow\; V \\ &= 150 \times \dfrac{12}{5} \\ &= 360\end{aligned}

la capacité

La bonne réponse : « $360$ ». « $200$ » divise $150$ par $\frac{3}{4}$ seulement : c'est comme si la citerne finissait vide. « $450$ » divise $150$ par $\frac{1}{3}$ seulement : on a pris ce qui reste pour ce qu'on a tiré. « $120$ » est la quantité qui reste dans la citerne, $\frac{1}{3}$ de $360$ : la bonne idée, mais la mauvaise question.

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Exercice 10

Les angles d'un triangle sont dans le rapport $1 : 2 : 3$ . Son plus petit côté mesure $7$ cm. Combien mesure son plus grand côté, en centimètres ?

$7\sqrt{3}$
$14$
$7\sqrt{2}$
$21$

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Réponse : B $14$

Corrigé :

\begin{aligned}x + 2x + 3x &= 180^\circ \;\Rightarrow\; x \\ &= 30^\circ\end{aligned}

les angles valent $30^\circ$ , $60^\circ$ et $90^\circ$

\begin{aligned}\text{hypoténuse} &= 2 \times 7 \\ &= 14\end{aligned}

dans un triangle $30$ - $60$ - $90$ , l'hypoténuse vaut le double du côté opposé à $30^\circ$

La bonne réponse : « $14$ ». « $21$ » croit que les côtés suivent le rapport des angles, $1 : 2 : 3$ . Ce n'est pas le cas : les côtés sont dans le rapport $1 : \sqrt{3} : 2$ . « $7\sqrt{3}$ » est le côté moyen, opposé à l'angle de $60^\circ$ . « $7\sqrt{2}$ » est l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle, avec des angles de $45^\circ$ .

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Exercices

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